Fakultät f¨ur Informatik ¨Ubungsblatt 1

¨ Informatik
Fakult¨at fur
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Ubung
zu Kognitive Systeme
Sommersemester 2015
Matthias Sperber ([email protected])
Dr. Yuqi Zhang ([email protected])
Darko Katic ([email protected])
Dr. Stefanie Speidel ([email protected])
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Ubungsblatt
1
Signalverarbeitung und Klassifikation
Abgabe online vor 14:00, 15. April 2015
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Abgabe der schriftlichen Ausarbeitung vor der Ubung
am 22. April 2015
Bonuspunkte f¨ur die Klausur werden nur vergeben,
wenn eine schriftliche L¨osung aller Aufgaben (incl. Onlinefragen) abgegeben wurde.
Die Antworten auf die Onlinefragen k¨onnen unter
http://wwwiaim.ira.uka.de/websubmit/
eingegeben werden.
Aufgabe 1: Faltung
Abbildung 1: Faltung
a) Bestimmen Sie die Faltung der Funktion f (x) mit sich selbst (f (x) ∗ f (x)) rechnerisch.
b) Bestimmen Sie f (x) ∗ g(x) grafisch.
Onlinefrage Nr. 1: Was ist der gr¨oßte Wert des Ergebnisses der Faltung f (x) ∗ g(x)?
i)
ii)
iii)
iv)
v)
1,0
1,5
2,0
2,5
3,0
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c) Bestimmen Sie u(x) ∗ h(x) grafisch.
Abbildung 2: Faltung
Aufgabe 2: Digitalisierung von Signalen
Gegeben sei das Signal f (t) = sin(2π40t) + cos(2π20t)
Hinweise:
• Zur Vereinfachung sei in der Zeichnung die H¨ohe von δ = 1
• Zur Fouriertransformation existieren diverse Konventionen! Lassen Sie sich davon nicht verwirren und verwenden Sie zur L¨osung dieser Aufgabe die folgenden Informationen:
Funktion
sin(2πf0 · t)
cos(2πf0 · t)
P+∞
k=−∞ δ(t − kT )
Fouriertransformierte
− f0 ))
− f0 ))
k/T )
i
2 (δ(f + f0 ) − δ(f
1
+ f0 ) + δ(f
2 (δ(f
1 P+∞
k=−∞ δ(f −
T
a) Das Signal wird mit 60 Hz abgetastet. Zeichnen Sie das komplexe Spektrum des abgetasteten Signals f (t), t in Sekunden.
b) Welches Ph¨anomen tritt auf, wie kommt es dazu und wie kann verhindert werden, dass es auftritt?
c) Zeichnen Sie das Betragsspektrum des mit 100 Hz abgetasteten Signals. Was beobachten Sie in
Bezug auf das beschriebene Ph¨anomen?
Onlinefrage Nr. 2: Das Signal wird nun mit 80 Hz, dem doppelten der h¨ochsten im Signal vorkommenden Frequenz, abgetastet. Zeichnen Sie das komplexe Spektrum. Tritt das oben beschriebene Ph¨anomen
ebenfalls auf? Wenn ja, wie a¨ ußert es sich?
i)
ii)
iii)
iv)
tritt nicht auf
tritt auf, f¨uhrt zu sich u¨ berlagernden Frequenzen
tritt auf, f¨uhrt zu sich ausl¨oschenden Frequenzen
tritt auf, f¨uhrt zu neu auftretenden Frequenzen
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Aufgabe 3: Filtern
Betrachten Sie einen Tiefpassfilter mit einer reellen Frequenzantwort wie in Fig. 3.
Abbildung 3: Tiefpassfilter.
a) Welche der folgenden Eigenschaften muss die Frequenzantwort des Filters haben?
i)
ii)
iii)
iv)
Reell
Komplex
Gerade
Ungerade
b) Betrachten Sie die Filter Eingabe
x(t) =
∞
X
δ(t − 9n)
n=−∞
Skizzieren und benennen Sie die Fourier-Transformierte des gefilterten Signals y(t).
Onlinefrage Nr. 3: F¨ur welchen Wert f¨ur Y (ω) ist die Fourier-Transformierte des gefilterten Signals
y(t) ?
i)
ii)
iii)
iv)
π
9
2π
9
4π
9
8π
9
Aufgabe 4: Diskrete Fouriertransformation, Sampling
Berechnen Sie die Koeffizienten der diskreten Fourier Reihenzerlegung f¨ur die gegebenen periodischen
Reihen.
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(a)
x
˜[n] = 1 + cos(
2π
)n
6
(b)
x
˜[n] =
1
−1
falls n gerade
falls n ungerade
˜
Onlinefrage Nr. 4: Welchen Wert hat der gr¨oßte Koeffizient X[k]
der diskreten Fourier Reihenzerlegung f¨ur die Reihe (b) in Aufgabe 4?
i)
ii)
iii)
iv)
0
1
2
4
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