¨ MUNCHEN ¨ TECHNISCHE UNIVERSITAT Zentrum Mathematik Prof. Dr. M. Wolf Dr. M. Pr¨ ahofer Funktionentheorie MA2006/MA2008 Sommersemester 2015 Blatt 3 (28.4.2015) http://www-m5.ma.tum.de/Allgemeines/MA2006 2015S Hausaufgaben H3.1. Stammfunktionen holomorpher Funktionen Geben Sie jeweils eine holomorphe Funktion F : U → C mit maximalem Definitionsbereich an, so dass (a) F 0 (z) = z n , n ∈ N0 , (b) F 0 (z) = ∞ P (c) F 0 (z) = (d) F 0 (z) = an z n , n=0 1 , z n+1 ∞ P n ∈ N, an z −n , n=2 p n wobei R := (lim sup n |an |)−1 > 0. H3.2. Die komplexe Errorfunktion und Fresnel-Integrale Die komplexe Errorfunktion ist f¨ ur z ∈ C definiert als Z 2 2 e−w dw, γ(t) = tz, t ∈ [0, 1]. erf(z) := √ π γ Hinweis: F¨ ur x ∈ R hat erf(x) die bekannte Asymptotik lim erf(x) = ±1. x→±∞ 2 (a) Skizzieren Sie die Linien konstanten Betrags und konstanter Phase von C 3 z 7→ e−z . (b) Warum ist erf holomorph auf C? Man gebe erf(z) als Potenzreihe an und zeige erf(−z) = −erf(z) und erf(z) = erf(z). R 2 ur R → ∞, wobei γR (t) = Reit , t ∈ [0, π4 ]. (c) Man zeige e−w dw → 0 f¨ γR Hinweis: Man benutze an geeigneter Stelle cos 2t ≥ 1 − π4 t f¨ ur t ∈ [0, π4 ]. π (d) Zeigen Sie, dass lim erf(tei 4 ) = 1 ist. Hinweis: durch Integration entlang der reellen t→∞ Achse und dann entlang γR . R∞ R∞ (e) Berechnen Sie cos x2 dx und sin x2 dx unter Benutzung von (d). 0 0 Tutoraufgaben T3.1. Kurvenintegrale H (a) Berechnen Sie z n dz f¨ ur R > 0, n ∈ Z. |z|=R H (b) Berechnen Sie z n dz f¨ ur R > 0, n ∈ Z. |z|=R (c) Warum kann 1 z auf C \ {0} keine Stammfunktion haben? Hausaufgabenabgabe: Dienstag, 5.5.2015, bis 16:00, Briefkasten, Keller FMI-Geb¨aude