¨ MUNCHEN
¨
TECHNISCHE UNIVERSITAT
Zentrum Mathematik
Funktionentheorie
MA2006/MA2008
Sommersemester 2015
L¨osungsblatt 3
(28.4.2015)
http://www-m5.ma.tum.de/Allgemeines/MA2006 2015S
Prof. Dr. M. Wolf
Dr. M. Pr¨
ahofer
Hausaufgaben
H3.1. Stammfunktionen holomorpher Funktionen
Geben Sie jeweils eine holomorphe Funktion F : U → C mit maximalem Definitionsbereich
an, so dass
(a) F 0 (z) = z n , n ∈ N0 ,
(b) F 0 (z) =
∞
P
(c) F 0 (z) =
(d) F 0 (z) =
an z n ,
n=0
1
,
z n+1
∞
P
n ∈ N,
an z −n ,
n=2
wobei R := (lim sup
n
p
n
|an |)−1 > 0.
L¨
osung:
n+1
(a) Wie im Reellen gilt f¨
ur F (z) = zn+1 und z ∈ C, dass F 0 (z) = z n . (Induktion u
¨ber n
mit Produktregel.)
∞
∞
∞
P
P
P
n+1
an−1 n
0
an z n .
an zn+1 =
(b) Auch hier gilt f¨
ur F (z) =
n z , z ∈ BR (0), dass F (z) =
n=1
n=0
n=0
(c) Mit der Quotientenregel und (a) erh¨alt man f¨
ur F (z) = − nz1n und z ∈ C \ {0}, dass
d n
z
z n−1
1
F 0 (z) = − dz 2n = 2n = n+1 .
nz
z
z
(d) Auch hier k¨
onnen wir gliedweise integrieren. Wir setzen F (z) =
Dann gilt mit der Kettenregel und G(w) :=
d
F (z) =
G( 1 ) = −G0 ( z1 ) z12 =
dz z
0
∞
P
∞
P
n=2
−an+1 n
n w
−n+1
an z1−n =
f¨
ur alle z mit |z| >
n=1
∞
X
1
an+1 ( z1 )n−1
z2
n=1
=
∞
X
∞
P
n=1
−an+1 −n
.
n z
1
R
an z −n .
n=2
H3.2. Die komplexe Errorfunktion und Fresnel-Integrale
Die komplexe Errorfunktion ist f¨
ur z ∈ C definiert als
Z
2
2
erf(z) := √
e−w dw, γ(t) = tz, t ∈ [0, 1].
π
γ
Hinweis: F¨
ur x ∈ R hat erf(x) die bekannte Asymptotik lim erf(x) = ±1.
x→±∞
2
(a) Skizzieren Sie die Linien konstanten Betrags und konstanter Phase von C 3 z 7→ e−z .
(b) Warum ist erf holomorph auf C? Man gebe erf(z) als Potenzreihe an und zeige
erf(−z) = −erf(z) und erf(z) = erf(z).
R
2
(c) Man zeige e−w dw → 0 f¨
ur R → ∞, wobei γR (t) = Reit , t ∈ [0, π4 ].
γR
Hinweis: Man benutze an geeigneter Stelle cos 2t ≥ 1 − π4 t f¨
ur t ∈ [0, π4 ].
π
(d) Zeigen Sie, dass lim erf(tei 4 ) = 1 ist. Hinweis: durch Integration entlang der reellen
t→∞
Achse und dann entlang γR .
R∞
R∞
(e) Berechnen Sie cos x2 dx und sin x2 dx unter Benutzung von (d).
0
0
L¨
osung:
2
2
2
(a) e−(x+iy) = ey −x −2ixy . Auf den Hyperbeln y 2 − x2 = const ist der Betrag konstant.
Er wird klein f¨
ur |y| < |x| und groß f¨
ur |y| > |x|. Die Phase ist auf den Hyperbeln
xy = const jeweils konstant.
e-z
2
3
2
1
0
-1
-2
-3
-3
2
(b) Aus e−z =
∞
P
n=0
(−z 2 )n
n!
-2
0
-1
1
2
3
erh¨
alt man durch gliedweises Integrieren erf(z) =
Dies ist eine ganze Funktion und eine Stammfunktion von
gliedweise ableiten kann. Somit gilt
∞
2 X (−1)n (−z)2n+1
erf(−z) = √
= −erf(z),
π n=0 (2n + 1)n!
2
√2 e−z ,
π
√2
π
∞
P
n=0
(−1)n z 2n+1
(2n+1)n! .
da man wieder
∞
2 X (−1)n (z)2n+1
erf(z) = √
= erf(z).
π n=0 (2n + 1)n!
(c) Es gilt
π
π
π
Z
Z4
Z4
Z4
e−w2 dw = e−R2 e2it iReit dt ≤ R e−R2 cos 2t dt ≤ R e−R2 (1− π4 t) dt
γR
0
0
π
4
Z
−R2 ( π4 t)
= R
e
dt = R
e−
−
0
0
4R2
t
π
π
4R2
π
4
=
0
π
π R→∞
2
(1 − e−R ) ≤
−→ 0
4R
4R
(d) Da der Integrationsweg f¨
ur eine Stammfunktion egal ist, gilt
√
π
erf(z) =
2
Z|z|
−x2
e
Z
dx +
0
2
e−w dw
γ
˜
mit γ˜ (t) = |z|eit , t ∈ [0, arg(z)] (nur f¨
ur Im(z) ≥ 0). Somit gilt mit γt (s) = teis ,
π
s ∈ [0, 4 ],
Z
2
2
i π4
lim erf(te ) = lim erf(t) + √
e−w dw = 1
t→∞
t→∞
π
γt
π
(e) Mit der Kurve γ(s) = sei 4 , s ∈ [0, t] gilt
2
erf(te ) = √
π
i π4
Zt
π
e
0
π
2ei 4
e ds = √
π
−s2 e2i 4 i π4
Zt
0
cos(−s2 ) + i sin(−s2 ) ds.
Im Limes t → ∞ also
Z∞
√
2
2
cos(s ) − i sin(s ) ds =
0
woraus
R∞
0
cos x2 dx =
R∞
0
sin x2 dx =
2e
π
i π4
√
2π
4
folgt.
√
=
π
πe−i 4
=
2
√
2π
(1 − i)
4
Tutoraufgaben
T3.1. Kurvenintegrale
H
(a) Berechnen Sie
z n dz f¨
ur R > 0, n ∈ Z.
|z|=R
H
(b) Berechnen Sie
z n dz f¨
ur R > 0, n ∈ Z.
|z|=R
(c) Warum kann
1
z
auf C \ {0} keine Stammfunktion haben?
L¨
osung:
(a) γ(t) = Reit , t ∈ [0, 2π].
(b)
H
|z|=R z
n dz
=
n
|z|=R z dz =
H
R2π
R2π
(Reit )n iReit dt = iRn+1 ei(n+1)t dt = 2πi δn,−1 .
0
0
R2π
R2π
0
0
(Re−it )n iReit dt = iRn+1
e−i(n−1)t dt = 2πi R2 δn,1 .
(c) W¨are F : C \ {0} → C Stammfunktion von z1 , so w¨
urde f¨
ur γ(t) = eit gelten:
I
I
1
0
dz = 2πi.
0 = F (1) − F (1) = F (γ(2π)) − F (γ(0)) = F (z)dz =
z
γ
γ
Widerspruch.
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