Finanzmathematik in diskreter Zeit SS 15 Vorlesung: Prof. Dr. Thorsten Schmidt Übung: Wahid Khosrawi-Sardroudi http://www.stochastik.uni-freiburg.de/Vorlesungen/vvSS2015/VorFinMath/ Übung 1 Abgabetermin Hausaufgaben: 29.04.2015 zu Beginn der Vorlesung Aufgabe 1 (Präsenzaufgabe). Seien (Xn )n∈N unabhängige, identisch verteilte (i.i.d.) und gleP ichförmig beschränkte Zufallsvariablen mit Sn = ni=1 Xi . Definiere Mn (λ) = exp(λSn ) , λ ∈ R. (E (exp(λX1 )))n Zeigen Sie das der Prozess (Mn (λ))n∈N ein Martingal bzgl. der natürlichen Filtration ist. Aufgabe 2 (Präsenzaufgabe). Gegeben sei ein Bond B mit Laufzeit 2 Jahren und Nennwert 100 EUR mit jährlichem Kupon von 5 %, halbjährlich ausgezahlt. Dies bedeutet es gibt die Cashflows (2.5 EUR, 2.5 EUR, 2.5 EUR, 102.5 EUR) zu den Zeitpunkten (t = 0.5, t = 1, t = 1.5, t = 2). Ziel ist es den heutigen (t=0) Barwert von B zu berechnen. Dazu würde man die einzelnen Cashflows mit Nullkupon Anleihen (mit entsprechender Laufzeit) diskontieren. Leider sind Preise von solchen Bonds in dem von uns betrachteten Markt nicht bekannt. Bekannt sind die Preise der folgenden Bonds mit Nominal 100 EUR und halbjährlich ausgezahltem Kupon: bond B1 B2 B3 B4 Laufzeit (in Jahren) 0.5 1 1.5 2 coupon p.a. 0 0 6.2 % 8.0 % Barwert 98 95 101 104 Bestimmen Sie mit Hilfe dieser Preise den Barwert von B. Aufgabe 3. Wir betrachten Zwei Aktien mit aktuellen Preisen S1,t und S2,t . Die Preise nach einem Monat bezeichnen wir mit S1,t+1 und S2,t+1 . Nach einem Monat wird nun für jede der beiden Aktien festgestellt, ob Si,t+1 > 1.03 · Si,t , Si,t+1 < 0.97 · Si,t oder Si,t+1 ∈ [0.97 · Si,t , 1.03 · Si,t ], i ∈ {1, 2}. 1. Finden Sie einen geeigneten Grundraum Ω, der diese Zufallssituation beschreibt. Ist Ω eindeutig bestimmt? (1 Punkt) 2. Stellen Sie folgende Ereignisse mit Hilfe der Elementarereignisse dar (2 Punkte): A: Für beide Aktien gilt Si,t+1 > 1.03 · Si,t . B: Für beide Aktien gilt Si,t+1 ∈ [0.97 · Si,t , 1.03 · Si,t ]. C: Für höchstens ein i ∈ {1, 2} gilt Si,t+1 < 0.97 · Si,t . D: Für mindestens ein i ∈ {1, 2} gilt Si,t+1 < 0.97 · Si,t . Aufgabe 4. Seien (Xn )n∈N i.i.d., mit E (|X1 |) < ∞. Definiere Sn = Pn i=1 Xi . 1. Zeigen Sie das σ(S1 , . . . , Sn ) = σ(X1 , . . . , Xn ). (1 Punkt) 2. Wir betrachten nun den Prozess Mn = Sn − nE (X1 ) . Zeigen Sie das (Mn )n∈N ein Martingal bzgl. der natürlichen Filtration ist. (3 Punkte) 3. Als nächstes betrachten wir den Prozess ˜ n = Sn − λ(n), M wobei λ(n) eine deterministische, nur von n abhängende Funktion ist. Bestimmen Sie alle ˜ n )n∈N ein Martingal bzgl. der natürlichen Filtration ist. Wenn Funktionen λ(n), für die (M λ(n) ≡ λ eine konstante Funktion ist die nicht mehr von n abhängt, was muss dann für ˜ n )n∈N ein Martingal wird? (2 Punkte) X1 gelten damit (M Aufgabe 5. Betrachten Sie eine Aktie, deren Wert zum Zeitpunkt t > 0, bezeichnet mit S, durch eine Binomialverteilung B(n, p), p ∈ (0, 1), n ≥ 1 beschrieben wird. (a) Berechnen Sie den Erwartungswert und die Varianz dieser Aktie. (1 Punkt) (b) Berechnen Sie den Erwartungswert E[max(0, K − S)] für die Werte p = 2/5, n = 5 und K = 2. (2 Punkte) (c) Implementieren Sie eine R Funktion die den obigen Erwartungswert für die Werte p = 2/n, K = 2 und n ∈ {10, 20, 30, . . . , 1000} berechnet und plotten Sie die Erwartungswerte als Funktion von n. Was erwarten Sie für n → ∞? (1 Punkt) (d) Welchen erwarteten Wert hat das Portfolio P = S1 +S2 , bestehend aus zwei Aktien, welche als unabhängig und binomialverteilt angenommen werden sollen? (1 Punkt) (e) Berechnen Sie die Kovarianz und den Korrelationskoeffizienten für die Portfolios P1 und P2 , wobei 2 3 P1 = S1 + S2 und P2 = S1 − S2 3 2 gilt. (1 Punkt) Aufgabe 6 (3 Punkte). Wir betrachten einen Markt mit 2 Anlageklassen. Die eine ist ein risikoloses Bankkonto und wird mit B bezeichnet (insbesondere gilt Bt > 0 für alle t ≥ 0. Die andere ist eine Aktie S. Wir definieren eine Handelsstrategie wie folgt: Zu allen Zeiten, soll das Verhältnis des Gesamtwertes der einen Position zum Gesamtwert der anderen Position konstant bleiben. Das bedeutet es soll gelten B B θt+1 θtB Bt−1 t = . S S θtS St−1 θt+1 t Unter welcher Bedingung ist diese Handelsstrategie selbstfinanzierend?