Blatt 5 - Goethe

Goethe Universität Frankfurt am Main
Bereich Stochastik und Finanzmathematik
Blatt 5
Wintersemester 2016/17
Version vom 22. November 2016
Dr. Klebert Kentia
Prof. Dr. Christoph Kühn
Alexander Molitor
Übungen zur Stochastischen Analysis mit Finanzmathematik
Aufgabe 1 (4 Punkte)
Sei (Xt )t≤T ein adaptierter stetiger Prozeß auf (Ω, F, (Ft )t≤T , P ) mit stetiger quadratischer
Variation ([X, X]t )t≤T , und sei (At )t≤T ein adaptierter stetiger monoton wachsender Prozeß mit
A0 = 0. Zeigen Sie, dass folgende Aussagen äquivalent sind:
a) X ist ein lokales Martingal mit [X, X]t = At P -f.s. für alle t ∈ [0, T ].
b) Der Prozeß
1
Gαt := exp(αXt − α2 At ),
2
t ≤ [0, T ]
ist ein lokales Martingal für alle α ∈ R.1
Aufgabe 2 (4 Punkte)
a) Seien a, σ, x0 Parameter in R. Sei t 7→ Bt , t ∈ [0, T ], ein ‘typischer’ Pfad der Brownschen
Bewegung, also eine stetige Funktion mit B0 = 0 und quadratischer Variation [B, B]t =
t, t ∈ [0, T ]. Finden Sie ein X = (Xt )t≤T , welches die stochastische Differentialgleichung
(SDE)
dXt = −aXt dt + σdBt , t ∈ [0, T ],
mit Anfangsbedingung X0 = x0 löst.2
b) Wir betrachten eine geometrische Brownsche Bewegung
Xt = x0 exp(σBt + αt),
t ∈ [0, T ]
mit Start in x0 > 0, wobei (Bt )t∈[0,T ] eine (Standard) Brownsche Bewegung bezeichnet.
(i) Berechnen Sie [X, X].
(ii) Gegeben p 6= 0, für welche Parameterwerte σ, α ist (Xtp )t∈[0,T ] ein Martingal?
Aufgabe 3 (4 Punkte)
Sei (Ω, F, P ) ein Warscheinlichkeitsraum.
Sei
Bewegung auf [0, ∞)
B eine Standard-Brownsche
bzgl. einer Filtration Ft t≥0 und τ := inf t ≥ 0 | Bt = 1 . Mit der Zeittransformation σ(t) =
t/(1 − t) für t < 1, definieren wir auf dem Zeitintervall [0, 1] einen Prozess X mit Xt := Bσ(t)∧τ
für t < 1 und Xt := 1, t = 1. Zeigen Sie:
a) X is stetig und (Fet )t∈[0,1] -adaptiert, für Fet := Fσ(t) , t < 1, und Fe1 = F.
b) X ist ein (Fet )t∈[0,1] -lokales Martingal, aber kein Martingal.
Abgabe: Dienstag, 29.11.2016 vor der Vorlesung.
1
Hinweis: Schreiben Sie Gα mittels ein stochastisches Exponential, und benutzen Sie Bemerkung 3.84.2) aus
dem Skript.
2
Hinweis: Leiten Sie zunächst mittels Itô-Formel eine SDE dYt = . . . für Yt = eat Xt her.

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