Känguru-Sonderedition Lösung des Problems des Monats April 2015 Liebe Kinder, die kleinste 3-stellige Zahl ist die Zahl 100, die größte die Zahl 999; insgesamt sind dies 900 Zahlen. Wir wollen uns zunächst einmal einen Überblick verschaffen und überlegen, welche Zahlen die einzelnen Bedingungen erfüllen: (1) Die drei Ziffern sind voneinander verschieden. Man kann ausrechnen, dass diese Eigenschaft auf 648 der 900 Zahlen zutrifft, also für die meisten der 900 3-stelligen Zahlen, und es wäre zu aufwändig, alle diese Zahlen aufzulisten. Die kleinste Zahl, für die diese Eigenschaft zutrifft, ist 123 (die nächsten dann 124, 125, 126, 127, 128, 129, 130, 132, 134, …), die größte ist 987. • (2) Diese Bedingung brauchen wir im Folgenden nicht weiter zu beachten, denn die Bedingung (3) garantiert uns, dass die Ziffern voneinander verschieden sind. Die Zahl ist gerade. Diese Eigenschaft trifft auf jede zweite Zahl zu, also insgesamt auf 450 3-stellige Zahlen, nämlich auf 100, 102, 104, …, 996, 998. (3) Die drei Ziffern bilden eine absteigende Zahlenfolge. Das sind zwar immer noch ziemlich viele Zahlen, aber wir können die Zahlen einmal alle aufschreiben. Wenn man sich die Zahlen mit unterstrichenen Ziffern anschaut, dann erkennt man ein System: 210 das ist 1 Zahl 321, 320, 310 zu der 1 unterstrichenen Zahl kommen 2 hinzu, zusammen sind dies 3 Zahlen 432, 431, 430, 421, 420, 410 dies 6 Zahlen zu den 3 unterstrichenen Zahlen kommen 3 hinzu, zusammen sind 543, 542, 541, 540, 532, 531, 530, 521, 520, 510 hinzu, zusammen sind dies 10 Zahlen zu den 6 unterstrichenen Zahlen kommen 4 654, 653, 652, 651, 650, 643, 642, 641, 640, 632, 631, 630, 621, 620, 610 strichenen Zahlen kommen 5 hinzu, zusammen sind dies 15 Zahlen zu den 10 unter- 765, 764, 763, 762, 761, 760, 754, 753, 752, 751, 750, 743, 742, 741, 740, 732, 731, 730, 721, 720, 710 zu den 15 unterstrichenen Zahlen kommen 6 hinzu, zusammen sind dies 21 Zahlen 876, 875, 874, 873, 872, 871, 870, 865, 864, 863, 862, 861, 860, 854, 853, 852, 851, 850, 843, 842, 841, 840, 832, 831, 830, 821, 820, 810 zu den 21 unterstrichenen Zahlen kommen 7 hinzu, zusammen sind dies 28 Zahlen 987, 986, 985, 984, 983, 982, 981, 980, 876, 875, 874, 873, 872, 871, 870, 865, 864, 863, 862, 861, 860, 854, 853, 852, 851, 850, 843, 842, 841, 840, 832, 831, 830, 821, 820, 810 zu den 28 unterstrichenen Zahlen kommen 8 hinzu, zusammen sind dies 36 Zahlen Insgesamt gibt es also 1 + 3 + 6 + 10 + 15 + 21 + 28 + 36 = 120 3-stellige Zahlen, die eine absteigende Zahlenfolge bilden! www.mathematik-ist-schoen.de © Heinz Klaus Strick 2015 NEUES ANGEBOT ERLÄUTERUNGEN ZUM KOSTENLOSEN ZU THEMEN AUS DEN DOWNLOAD KALENDERN „MATHEMATIK IST SCHÖN“ NEU IM MAI 2015 (4) Die Zahl ist durch drei teilbar. Diese Eigenschaft trifft auf ein Drittel der 900 Zahlen zu, also auf 300 der 900 Zahlen, nämlich auf die Zahlen 102, 105, 108, 111, …, 999. (5) Die zweite und die dritte Ziffer addiert ergeben die erste Ziffer. Diese Bedingung schränkt am stärksten die Auswahl der Zahlen ein. Um die passenden Zahlen zu finden, müssen wir nur überlegen, wie man die erste Ziffer als Summe darstellen kann: Jedes Mal kommt eine Möglichkeit dazu erste Ziffer 1: 101, 110 erste Ziffer 2: 202, 211, 220, erste Ziffer 3: 303, 312, 321, 330, erste Ziffer 4: 404, 413, 422, 431, 440, erste Ziffer 5: 505, 514, 523, 532, 541, 550, erste Ziffer 6: 606, 615, 624, 633, 642, 651, 660, www.mathematik-ist-schoen.de © Heinz Klaus Strick 2015 erste Ziffer 7: 707, 716, 725, 734, 743, 752, 761, 770, erste Ziffer 8: 808, 817, 826, 835, 844, 853, 862, 871, 880, erste Ziffer 9: 909, 918, 927, 936, 945, 954, 961, 972, 981, 990. Insgesamt sind dies 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7+ 8 + 9 + 10 = 54 Möglichkeiten. Das sind die Mathematik-Kalender zum Schuljahr 2015/16 Ausverkauf der Restexemplare des Grundschulkalenders für das Schuljahr 2014/15 nur noch 1,00 € statt 5,00 € – allerdings nur im Zusammenhang mit der Bestellung eines anderen Kalenders. Wenn wir jetzt eine Zahl suchen, die alle Bedingungen erfüllen soll, dann fangen wir mit den 54 Zahlen an, die übrig bleiben, wenn wir die letzte Bedingung betrachten. Da wir sofort überschauen, welche Zahlen gerade oder ungerade sind, nehmen wir diese Bedingung als nächste hinzu und streichen alle ungeraden Zahlen: 101, 110, 202, 211, 220, 303, 312, 321, 330, 404, 413, 422, 431, 440, 505, 514, 523, 532, 541, 550, 606, 615, 624, 633, 642, 651, 660, 707, 716, 725, 734, 743, 752, 761, 770, 808, 817, 826, 835, 844, 853, 862, 871, 880, 909, 918, 927, 936, 945, 954, 961, 972, 981, 990. Übrig bleiben die 30 Zahlen; von diesen streichen wir alle, deren Ziffern keine absteigende Folge bilden: 101, 110, 202, 220, 312, 330, 404, 422, 440, 514, 532, 550, 606, 624, 642, 660, 716, 734, 752, 770, 808, 826, 844, 862, 880, 918, 936, 954, 972, 990. Jetzt bleiben noch 6 Zahlen übrig, die alle die Bedingungen (1), (2), (3) und (5) erfüllen: 532, 642, 752, 862, 954, 972. Zum Schluss streichen wir noch die Zahlen, die nicht durch 3 teilbar sind, das sind die Zahlen 532, 752, 862, und übrig bleiben drei 3-stellige Zahlen: 642, 954 und 972 Es gibt also drei 3-stellige Zahlen, die alle fünf angegebenen Bedingungen erfüllen! www.mathematik-ist-schoen.de © Heinz Klaus Strick 2015 Wenn nun die Auswahl so verändert werden soll, dass vier der fünf Eigenschaften gelten und das Gegenteil der fünften Bedingung, dann kann man im Prinzip genauso vorgehen, wie hier erläutert. Man muss nur überlegen: Das Gegenteil von Bedingung (1): Von den drei Ziffern können zwei gleich sein oder alle drei. Das Gegenteil von Bedingung (2): Die Zahl ist ungerade. Das Gegenteil von Bedingung (3): Die drei Ziffern bilden keine absteigende Zahlenfolge, d. h. sie können beispielsweise auf und ab gehen oder alle drei gleich sein oder eine aufsteigende Folge bilden. Das Gegenteil von Bedingung (4): Die Zahl ist nicht durch 3 teilbar, d. h. wenn man durch 3 teilt, bleibt als Rest 1 oder 2. Das Gegenteil von Bedingung (5): Die zweite und die dritte Ziffer addiert ergeben mehr als die erste Ziffer oder weniger als die erste Ziffer. www.mathematik-ist-schoen.de © Heinz Klaus Strick 2015