Kurztest Kombinatorik Serie 1 Aufgaben 1. Auf wie viele Arten k¨onnen sich 4 Personen nebeneinander f¨ ur eine Photographie aufstellen? 2. Wie viele verschiedene Fussballmannschaften (11 Spieler) kann ich aus einer Schulklasse mit 20 Sch¨ ulern bilden? 3. Unter den 2542 Personen, die bei einem Kreuzwortr¨atsel das richtige L¨osungswort eingesendet haben, werden drei verschiedene Preise verlost. Auf wie viele Arten geht das? 4. Wie viele verschiedenen Buchstabenfolgen kann ich aus den Buchstaben im Wort TELLER“ bilden? ” 5. In einem Blumengesch¨aft sind ausreichend rote, gelbe und weisse Rosen vorhanden. Wie viele verschiedene Blumenstr¨ausse mit insgesamt 5 Rosen k¨onnen damit gebunden werden? 6. In einer Schublade liegen 8 verschiedenen Paar Socken einzeln herum. Jemand greift ohne hinzuschauen in die Schublade und holt zwei Socken heraus. Wie viele Sockenpaarungen sind m¨oglich? 7. Wie viele Zahlen k¨onnen aus den Ziffern 0, 1, 2, 3 gebildet werden, wenn jede Ziffer genau einmal verwendet werden darf und die Zahlen nicht mit f¨ uhrenden Nullen geschrieben werden d¨ urfen? 8. Ein Stapel Karten besteht aus 36 verschiedenen Karten. Bei einem Kartenspiel im Stil von Tschau Sepp“ erhalten zwei Spieler je 6 Karten. Auf wie viele Arten k¨onnen ” die Karten verteilt werden? Kurztest Kombinatorik Serie 1 L¨ osung+ 1. 4! = 4 · 3 · 2 · 1 = 24 M¨oglickeiten 2. 20 11 = 167 960 Mannschaften 3. 2542 · 2541 · 2540 = 164 0642 3880 Preisverteilungen 4. 5. 6! = 180 Buchstabenfolgen 2! · 2! 5+2 2 = 5+2 5 = 21 Blumenstr¨ausse 6. Da normalerweise die Socken eines Sockenpaares nicht unterscheidbar sind, k¨onnen wir entweder (zuf¨allig) zwei gleiche Socken erwischen oder zwei unterschiedliche. Die Aufgabe enth¨alt keinen Hinweis darauf, dass die Reihenfolge, in der wir die Socken herausgreifen, von Bedeutung ist. Setzen wir f¨ ur die Socken des ersten Sockenpaares den Buchstaben A, f¨ ur die Socken des zweiten Sockenpaares den Buchstaben B, usw., so erhalten wir folgende M¨oglichkeiten: AA AB BB AC BC CC AD BD CD DD AE BE CE DE AF BF CF DF AG BG CG DG AH BH CH DH Hier drei L¨osungswege, EE EF FF EG FG GG EH FH GH HH um die die Gesamtzahl zu berechnen: • 8+7+6+5+4+3+2+1 = 8(8 + 1) = 36 (Summenformel der arithm. Reihe) 2 8·8−8 + 8 = 36 2 (Subtrahiere die 8 Diagonalelemente von der quadratischen Matrix“, halbiere ” das Resultat und addiere die 8 Diagonalelemente wieder hinzu.) • F¨ uge eine Joker-Socke“ X ein, welche anzeigt, dass wir eine identische Socke ” gezogen haben. M = {A, B, C, D, E, F, G, H, X} • Nun berechnen wir die Anzahl der Teilmengen von M mit zwei Elementen: 9 2 = 9·8 = 36 2·1 7. Wenn die Zahl nicht mit der Ziffer 0 beginnt, haben wir kein Problem.  Zahl beginnt mit der Ziffer 1: 3! M¨oglichkeiten  Zahl beginnt mit der Ziffer 2: 3! M¨oglichkeiten 3 · 3! = 18 Zahlen   Zahl beginnt mit der Ziffer 3: 3! M¨oglichkeiten indirekte L¨osung: alle Varianten − verbotene Varianten = 4! − 3! = 24 − 6 = 18 Zahlen 8. 36 30 · 6 6 = 1 156 550 194 800 M¨oglichkeiten