Definitionsbereich von Funktionen mehrerer Variablen

Definitionsbereich von Funktionen mehrerer Variablen
Wir betrachten Funktionen, die von zwei Variablen x und y abhängen. Der (größtmögliche)
Definitionsbereich Df einer Funktion f ist die Menge, die aus allen Paaren (x, y) besteht,
für die die Funktion definiert ist. Die wichtigsten Regeln dafür, welche Paare (x, y) für den
Definitionsbereich stets ausgeschlossen werden müssen, sind:
• Der Nenner eines Bruches muss 6= 0 sein.
• Der Ausdruck, der unter der Wurzel steht, muss ≥ 0 sein.
• Der Ausdruck, der in einem Logarithmus steht, muss > 0 sein.
Zu diesen Fällen gibt es im Folgenden einige Beispiele. Vorher wollen wir noch eine Bemerkung
machen: Der Definitionsbereich einer Funktion, die von zwei Variablen abhängt, ist stets ein
Bereich in der xy-Ebene. In den folgenden Beispielen soll nicht nur der größtmögliche Definitionsbereich bestimmt werden, sondern jeweils auch eine Skizze von Df angefertigt werden.
• Der Nenner eines Bruches muss 6= 0 sein.
Beispiele:
(a) Gesucht ist der größtmögliche Definitionsbereich der Funktion
f (x, y) =
1
.
x−y
Der Nenner darf nicht Null werden, das heißt es muss x 6= y sein. Also gilt
Df = {(x, y) | x 6= y}.
Es sind also alle Punkte der xy-Ebene zugelassen, nur die Gerade mit der Gleichung
y = x muss ausgeschlossen werden. Der Definitionsbereich hat also folgende Gestalt:
y
x
(Der schmale weiße Bereich soll andeuten, dass die Gerade y = x nicht zum Bereich
gehört.)
(b) Gesucht ist der größtmögliche Definitionsbereich der Funktion
f (x, y) =
1
1
.
x2 + y 2
Der Nenner darf nicht Null werden, es muss also x2 +y 2 6= 0 sein. Der Ausdruck x2 +y 2
wird aber nur Null, wenn sowohl x als auch y Null sind. Für den Definitionsbereich
muss also nur der Nullpunkt ausgeschlossen werden, also:
Df = {(x, y) | (x, y) 6= (0, 0)} = R2 \ {(0, 0)}.
Zeichnen wir Df , so ergibt sich:
y
x
(Der kleine weiße Kreis soll andeuten, dass der Nullpunkt nicht zum Bereich gehört.)
• Der Ausdruck, der unter der Wurzel steht, muss ≥ 0 sein.
Beispiele:
(a) Gesucht ist der größtmögliche Definitionsbereich der Funktion
p
f (x, y) = 9 − x2 − y 2 .
Da der Ausdruck unter der Wurzel stets ≥ 0 sein muss, muss gelten:
9 − x2 − y 2 ≥ 0
⇒
x2 + y 2 ≤ 9.
Also ist
Df = {(x, y) | x2 + y 2 ≤ 9}.
Wie sieht die Menge Df in der xy-Ebene aus? Wir wissen, dass die Gleichung x2 +
y 2 = 9 einen Kreis um den Koordinatenursprung mit Radius 3 beschreibt. Bei der
Ungleichung x2 + y 2 ≤ 9 gehören nun nicht nur alle Punkte der Kreislinie dazu,
sondern auch alle Punkte im Inneren des Kreises. Df hat also folgende Gestalt:
y
3
0
−3
−3
2
x
3
(b) Gesucht ist der größtmögliche Definitionsbereich der Funktion
1
f (x, y) = p
.
x2 + y 2 − 9
Wir wissen, dass der Ausdruck unter der Wurzel ≥ 0 sein muss. Hier steht die Wurzel
aber im Nenner, sodass zusätzlich gewährleistet werden muss, dass sie ungleich Null
ist. Das heißt, der Ausdruck unter der Wurzel muss sogar echt > 0 sein, das heißt es
ergibt sich die Bedingung
x2 + y 2 − 9 > 0
⇒
x2 + y 2 > 9.
Also ist
Df = {(x, y) | x2 + y 2 > 9}.
Die Ungleichung x2 + y 2 > 9 beschreibt nun gerade (im Gegensatz zur Aufgabe (a))
das Äußere des Kreises mit Radius 3. Wegen dem echten Ungleichheitszeichen „>“
gehört die Kreislinie selbst nicht dazu. Df hat demnach folgende Gestalt:
y
3
0
−3
x
3
−3
(Die Kreislinie selbst ist gestrichelt, was andeuten soll, dass sie nicht zum Bereich
gehört.)
(c) Gesucht ist der größtmögliche Definitionsbereich der Funktion
p
f (x, y) = (2x − y)(x + y).
Der Ausdruck unter der Wurzel muss ≥ 0 sein, also ergibt sich die Bedingung
(2x − y)(x + y) ≥ 0.
Ein Produkt ist ≥ 0, wenn entweder beide Faktoren ≥ 0 sind oder beide Faktoren
≤ 0 sind. Also muss gelten entweder
2x − y ≥ 0 und x + y ≥ 0
oder
2x − y ≤ 0 und x + y ≤ 0.
Fassen wir die Bedingungen jeweils etwas zusammen, muss somit gelten:
−x ≤ y ≤ 2x oder 2x ≤ y ≤ −x.
3
Also ist
Df = {(x, y) | −x ≤ y ≤ 2x oder 2x ≤ y ≤ −x}.
Zum Zeichnen von Df zeichnen wir am besten die Begrenzungsgeraden y = −x und
y = 2x und schauen dann, welche der umrandeten Flächen zu Df gehören. Es ergibt
sich:
y
y = −x
y = 2x
x
• Der Ausdruck, der in einem Logarithmus steht, muss > 0 sein.
Beispiele:
(a) Gesucht ist der größtmögliche Definitionsbereich der Funktion
f (x, y) = ln(9 − x2 − y 2 ).
Es muss gelten:
9 − x2 − y 2 > 0
⇒
x2 + y 2 < 9.
Also ist
Df = {(x, y) | x2 + y 2 < 9}.
Aus Beispiel (a) von den Wurzelfunktionen wissen wir schon, dass die Ungleichung
x2 + y 2 < 9 das Innere des Kreises um den Ursprung mit Radius 3 beschreibt. Dieses
Mal steht aber ein echtes Ungleichheitszeichen, das heißt die Kreislinie selbst gehört
nicht dazu. Es ergibt sich folgende Zeichnung von Df :
y
3
0
−3
x
3
−3
(b) Gesucht ist der größtmögliche Definitionsbereich der Funktion
p
f (x, y) = ln(9 − x2 − y 2 ) + x2 + y 2 − 4.
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Hier sind zwei Bedingungen zu erfüllen. Der Ausdruck im Logarithmus muss > 0
sein und der Ausdruck unter der Wurzel ≥ 0. Also:
9 − x2 − y 2 > 0 und x2 + y 2 − 4 ≥ 0,
was sich auch umformen lässt zu
4 ≤ x2 + y 2 < 9.
Es ergibt sich
Df = {(x, y) | 4 ≤ x2 + y 2 < 9}.
Die Ungleichung 4 ≤ x2 + y 2 beschreibt das Äußere eines Kreises mit Radius 2
(inklusive Kreislinie), die andere Ungleichung x2 + y 2 < 9 beschreibt das Innere eines
Kreises mit Radius 3 (ohne Kreislinie). Insgesamt ergibt sich somit ein Kreisring,
wobei die innere Linie dazugehört, die äußere nicht.
y
3
2
−3
−2
0
2
x
3
−2
−3
• Es gibt noch weitere Funktionen, die Einschränkungen an den Definitionsbereich erfordern. Als Beispiele seien hier genannt:
– Der Ausdruck in einem Tangens darf kein ungeradzahliges Vielfaches von
π
2
sein.
– Der Ausdruck in arcsin und arccos darf nur im Bereich [−1, 1] liegen.
Ein Beispiel noch dazu.
Beispiel: Gesucht ist der größtmögliche Definitionsbereich der Funktion
f (x, y) = arccos(x + y).
Wie gerade erwähnt, muss der Ausdruck, der im Arcus Cosinus steht, im Bereich [−1, 1]
liegen. Also lautet die Bedingung:
−1 ≤ x + y ≤ 1
⇒
−x − 1 ≤ y ≤ −x + 1.
Also ist
Df = {(x, y) | −x − 1 ≤ y ≤ −x + 1}.
Df besteht aus allen Punkten, die zwischen den beiden Geraden mit den Gleichungen
y = −x − 1 und y = −x + 1 liegen. Somit ergibt sich folgende Skizze:
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y
y
=
−
x
+
1
y
=
−
x
−
1
x
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