Aufgaben - LionsExchange

Draft version October 27, 2014
Preprint typeset using LATEX style emulateapj v. 12/16/11
MID-TERM REVISION MATHEMATICS 1
MID-TERM REPETITORIUM MATHEMATIK 1
O. Trpisovsky
Institute for Astronomy, ETH Z¨
urich, CH-8093, Switzerland
Draft version October 27, 2014
ABSTRACT
Revision based of the lecture Mathematics I for economists held at the University of Zurich. The
aim of this article is to present a variety of sample exam questions. It is not required to have an
extensive mathematical background as several hints and inputs will be given. It is not meant to
substitute a whole lecture and is loosely based on the lecture notes of Prof. Dr. D. Klatte. No proofs
are given.
¨
Repetitorium basierend auf der Mathematik I f¨
ur Okonomen
gehalten an der Universit¨at Z¨
urich.
Dieser Artikel pr¨
asentiert eine Sammlung von Beispielen von Pr¨
ufungsaufgaben. Es ist nicht
erforderlich einen ausgeschweiften mathematischen Hintergrund zu besitzen da viele Tipps und
Erkl¨
arungen gegeben werden. Es ist nicht als Ersatz von einer ganzen Vorlesung gedacht und ist
teilweise basierend auf den Vorlesungsunterlagen von Prof. Dr. D. Klatte. Es werden keine Beweise
gegeben.
1. SET THEORY / MENGENLEHRE
2.
3
k=1
3.
4
m=2
2
p=0
kp
Define the correct sets!
Bestimme die folgenden Mengen!
m2 −1
j
j=1 (m
− m)
Answer the following questions!
1. M1 = {x ∈ R |x + 3| > 2}, Graph?
Beantworte die folgenden Fragen!
1.
2. M2 = {x ∈ R |x + 1| + |x − 2| > 2}, Graph?
3. M3 = {x ∈ R log10 100 = x}
4. M4 = {x ∈ N x =
√
16}
5. M5 = {x sin(x) = 0}
6. M6 = R ∩ {x ∈ N x > 3}
Answer the following questions!
Beantworte die folgenden Fragen!
1
n n
< ∞?
−n
< ∞?
2.
n
e
3.
2
n n1 < ∞?
3. STATIONARY POINTS / EXTREMWERTE
Let f (x) = ||x| − 5|. What are the relative, local and
global stationary points of f for the following domains
D?
Sei f (x) = ||x| − 5|. Was sind die relativen, lokalen
und globalen Extremwerte von f fr die folgenden
Definitionsbereiche D?
1. D = R, invertible?
2. D = [−2, 8), invertible?
1. ∅ ∪ {0} =?
3. D = [0, 5], invertible?
2. |Q| = |N|?
4. CONTINUITY AND DIFFERENTIABILITY OF
2. SUMS AND DOUBLE SUMS / SUMMEN UND
DOPPELSUMMEN
Compute the following sums and double sums!
Berechne die folgenden Summen und Doppelsummen!
1.
5
k=0
2k
FUNCTIONS / STETIGKEIT UND
DIFFERENZIERBARKEIT VON FUNKTIONEN
Which values of a, b ∈ R allow g to be differentiable?
Welche Werte von a, b ∈ R erlauben g differenzierbar zu sein?
g(x) =
(a − x)2 : x < 3
x+b
:x≥3
2
Trpisovsky
5. DIFFERENTIABILITY OF FUNCTIONS /
2.
d2
dx2
sin(cos(x))
3.
d2
dx2
ln(k(x)), k(x) > 0, k(x) ∈ C 2 (R)
DIFFERENZIERBARKEIT VON FUNKTIONEN
Where is h differentiable?
Wo ist h differenzierbar?
10. FUNCTIONS / FUNKTIONEN
x2
e
:x≤1
e2x−1 : x > 1
h(x) =
1 1
f (x) : D = [− , ] → R,
2 2
6. LIMITS / GRENZWERTE
¨
Check the following statements / Uberpr¨
ufe die folgenden Behauptungen
1. limx→4−
x−4
2|x−4|
2. limn→∞
4n +52n
3n +6·52n−1
3. limy→0+
ey −1
4 sin(y)
4. limk→0+ k +
5.
1−k2
4+k
12n2
limn→∞ 3n
2 +1
7. limx→0
1+
3 2n
n
2
1 2
x − 1 ex −1 − 1,
2
x∈R
1. What are the relative stationary points of f (x)?
Was sind die relativen Extremwerte von f (x)?
2. Restrict f (x) on I = [−2, 2]. Where are the global
stationary points now?
Betrachte f (x) auf I = [−2, 2].
nun die globalen Extremwerte?
Was sind
3. Prove that the continuous function f (x) has
exactly one root in J = [ 43 , 2].
Beweise, dass die stetige Funktion f (x) auf
dem Intervall J = [ 34 , 2] genau eine Nullstelle hat.
8. DOMAIN AND IMAGE / DEFINITIONSBEREICH UND
WERTEBEREICH
1 + x2 ,
g(y) =
1
y
with their respective natural domains. What are the
natural domain and image of the composite function
h(x) := g(f (x))?
mit ihren nat¨
urlichen Definitionsbereichen. Bestimme
f¨
ur die zusammengesetzte Funktion h(x) := g(f (x)) den
nat¨
urlichen Definitionsbereich und Wertebereich.
9. DIFFERENTIABILITY / DIFFERENZIERBARKEIT
1.
d2 x2 +1
dx2 e
is a monotonic function
f
D
ist eine monotone Funktion
2. f
D
is convex or concave
f
D
ist konvex oder konkav
D
D
.
.
11. TRUE OR FALSE / WAHR ODER FALSCH
7. WEIERSTRASS THEOREM / SATZ VON WEIERSTRASS
f (x) =
D
Berechne die globalen Extremwerte von f
sin2 (x)
4x2
f (x) =
1. f
Compute the global stationary points of f
1 1−x
x
6. limx→∞ 1 +
x → xe−4x
f : R → R, f strictly monotonically decreasing. Are
the following statements true or false?
f : R → R, f strikt monoton fallend.
folgenden Aussagen wahr oder falsch?
Sind die
1. f injective
f injektiv
2. f (R) has an inverse function which is also strictly
monotonically decreasing.
f (R) besitzt eine inverse Funktion welche auch
strikt monoton fallend ist.
3. f ∈ C 1 (R) ⇒ f (x) < 0
∀x ∈ R
4. |{x|f (x) = 0}| ≤ 1
5. |{x|f (x) = 0}| = 1
6. It is possible that f is bounded
Es ist m¨oglich, dass f beschr¨ankt ist.
7. max f (x) on R does not exist
max f (x) auf R existiert nicht
8. f is either convex or concave on the whole domain
f ist entweder konvex oder konkav auf dem
ganzen Definitionsbereich

Download Report