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第９節固有値
定理
B を n 次正方行列とする．このとき，次は同値である．
(1) Bx = 0 を満たす x ̸= 0 が存在する．
(2) |B|=0
∵
|B| ̸= 0
⇐⇒
B は正則（逆行列が存在する）
⇐⇒
『Bx = 0
□
x = 0』
=⇒
固有値と固有ベクトル
A : n 次正方行列， x ̸= 0 : n 次（列）ベクトル， λ : 定数
Ax = λx
(1)
を満たすとき，λ を A の固有値といい，x を A の固有値 λ に対する固有ベクトルと
いう．

例
A=

2
1

 とする。このとき，λ = 3 は行列 A の固有値であり，x = 
−3 6
A の固有値 λ = 3 に対する固有ベクトルである。実際，

 
 
2 1
1
1
   = 3   = λx
Ax = 
−3 6
1
1

1
は
1
が成り立つ。
(1) を変形すると Ax = λx = λIx より，
(λI − A)x = 0,
(x ̸= 0)
(2)
となる．ここで，B = λI − A とおいて，定理を適用すると
|λI − A| = 0
を得る．この方程式 (3) を行列 A の固有方程式という．
したがって，固有値とその固有ベクトルを次の手順で求めることができる．
1
(3)
（イ）行列 A の固有値 λ を固有方程式 (3) の解として求める．
（ロ）（イ）で求めた固有値 λ に対する固有ベクトル x を連立方程式 (2) の解と
して求める．

例
2 次正方行列 A = 

2
1
−3 6
解
固有方程式は
λ − 2 −1
|λI − A| = 3
λ−6
 の固有値と固有ベクトルを求めよ．
= (λ − 2)(λ − 6) + 3 = λ2 − 8λ + 15 = (λ − 3)(λ − 5) = 0
よって，A の固有値は λ = 3, 5 である．

固有値 λ = 3 に対する固有ベクトルを x = 

x
 とおくと，連立方程式 (2) より
y
(3I − A)x = 0
   
0
1 −1
x

  =  
0
3 −3
y

第１行と第２行は同値であるから，この連立方程式は
x−y =0
ここで，x = s とおくと，固有値 λ = 3 に対する固有ベクトルは
 
 
x
1
x =   = s   , (s ∈ R, s ̸= 0)
y
1
と表されるベクトル全体（自由度 1）である．
 
1
【検算】s = 1 の場合，x =   であるが
1
Ax = 



2
1

1


=
3


 = 3
1
 = 3x
1
3
1
−3 6
 
1
となるから，確かに x =   は固有値 λ = 3 に対する固有ベクトルである．
1
2
□

固有値 λ = 5 に対する固有ベクトルを x = 

x
 とおくと，連立方程式 (2) より
y
(5I − A)x = 0
   
3 −1
x
0

  =  
3 −1
y
0

第１行と第２行は全く同じものであるから，この連立方程式は
3x − y = 0
ここで，x = t とおくと，固有値 λ = 5 に対する固有ベクトルは
 
 
x
1
x =   = t   , (t ∈ R, t ̸= 0)
y
3
と表されるベクトル全体（自由度
  1）である．
1
【検算】t = 1 の場合，x =   であるが
3

  

 
2 1
1
5
1
  = 
 = 5   = 5x
Ax = 
−3 6
3
15
3
 
1
となるから，確かに x =   は固有値 λ = 5 に対する固有ベクトルである．
3

例
解
2 次正方行列 A = 
□

11 4
−2 5
固有方程式は
λ − 11 −4
|λI − A| = 2
λ−5
 の固有値と固有ベクトルを求めよ．
= (λ − 11)(λ − 5) + 8 = λ2 − 16λ + 63 = (λ − 7)(λ − 9) = 0
よって，A の固有値は λ = 7, 9 である．


固有値 λ = 7 に対する固有ベクトルを x = 
x
 とおくと，連立方程式 (2) より
y
(7I − A)x = 0
   
0
x
−4 −4
  =  

0
y
2
2

3
第１行と第２行は同値であるから，この連立方程式は
x+y =0
ここで，x = s とおくと，固有値 λ = 7 に対する固有ベクトルは


 
x
1
, (s ∈ R, s ̸= 0)
x =   = s
−1
y
と表されるベクトル全体（自由度 1）である．
 
x
固有値 λ = 9 に対する固有ベクトルを x =   とおくと，連立方程式 (2) より
y
(9I − A)x = 0
   
−2 −4
x
0

  =  
2
4
y
0

第１行と第２行は同値であるから，この連立方程式は
x + 2y = 0
ここで，y = t とおくと，固有値 λ = 9 に対する固有ベクトルは
 


x
−2
, (t ∈ R, t ̸= 0)
x =   = t
y
1
と表されるベクトル全体（自由度 1）である．

1
例
解
−1 1


3 次正方行列 A =  −2 −1 2

−4 −5 6



 の固有値と固有ベクトルを求めよ．

行列式の多重線形性より，固有方程式を求めると次のようになる．
λ−1
1
−1
1
−1 −1
1
−1 λ
|λI − A| = 2
λ + 1 −2 = 0 λ + 1 −2 + 2 λ + 1 −2
4
5
λ−6
5
λ−6 4
5
λ−6 0
−1
1
−1 λ + 1 −2 = λ
−4 + 0 λ + 3
5
λ−6 0
9
λ − 10 = (λ − 1)(λ − 2)(λ − 3) = 0
4
よって，A の固有値は λ = 1, 2, 3 である． 

x
 
 
固有値 λ = 1 に対する固有ベクトルを x =  y  とおくと，連立方程式 (2) より
 
z





(I − A)x = 0
   
0 1 −1
x
0
   
   
2 2 −2   y  =  0 
   
4 5 −5
z
0
この連立方程式を掃き出し法を用いて解くと，





2 2 −2 0
0 1 −1 0










 2 2 −2 0  −→  0 1 −1 0  −→ 





4 5 −5 0
4 5 −5 0



1 1 −1 0






−→  0 1 −1 0  −→ 



0 0 0 0
1 1 −1 0

1 1 −1 0




0 1 −1 0  −→  0 1 −1 0


4 5 −5 0
0 1 −1 0

1 0 0 0


0 1 −1 0 

0 0 0 0
すなわち，この連立方程式は
y−z =0
x = 0,
ここで，y = s とおくと，固有値 λ = 1 に対する固有ベクトルは
 
 
x
0
 
 
 
 
x =  y  = s  1  , (s ∈ R, s ̸= 0)
 
 
z
1
と表されるベクトル全体（自由度 1）である．


0
 
 
【検算】s = 1 の場合，x =  1  であるが
 
1

1
−1 1


Ax =  −2 −1 2

−4 −5 6


0


0
   
   
 1  =  1  = x
   
1
1
5








0
 
 
となるから，確かに x =  1  は固有値 λ = 1 に対する固有ベクトルである．
 
1
□
同様に，固有値 λ = 2 に対する固有ベクトル x は，
 
1
 
 
x = s  0  , (s ∈ R, s ̸= 0)
 
1
と表されるベクトル全体（自由度 1）であり，固有値 λ = 3 に対する固有ベクトル x は，
 
1
 
 
x = s  1  , (s ∈ R, s ̸= 0)
 
3
と表されるベクトル全体（自由度 1）である．

5
例
解
1 −1


3 次正方行列 A =  4 5 −2

10 5 −2



 の固有値と固有ベクトルを求めよ．

固有方程式は
λ − 5 −1
1
|λI − A| = −4 λ − 5
2
−10
−5 λ + 2
λ − 5 −1 +
= λ −4 λ − 5 λ − 5 −1 0 λ − 5 −1 1 =
+
−4 λ − 5 0 −4 λ − 5 2 −10
−5 λ −10
−5 2 λ−5
−1 1 −2λ + 6 λ − 3 0 −2λ
−3 0 −2λ + 6 λ − 3 = λ{(λ − 5)(λ − 5) − 4} + −2λ
−3 = λ(λ2 − 10λ + 21) + −3(−2λ + 6) − (λ − 3)(−2λ)
= λ3 − 8λ2 + 21λ − 18 = (λ − 3)2 (λ − 2)
よって，A の固有値は λ = 3, 3, 2 である．
6


x
 
 
固有値 λ = 3 に対する固有ベクトルを x =  y  とおくと，連立方程式 (2) より
 
z





(3I − A)x = 0
   
−2 −1 1
x
0
   
   
−4 −2 2   y  =  0 
   
−10 −5 5
z
0
第１行と第２行と第３行は同値であるから，この連立方程式は
−2x − y + z = 0
ここで，x = s, y = t とおくと，z = 2s + t である．従って，固有値 λ = 3 に対する固有
ベクトルは


x


1


0
 
 
 
 
 
 
x =  y  = s  0  + t  1  , (s, t ∈ R, (s, t) ̸= (0, 0))
 
 
 
2
1
z
と表されるベクトル全体（自由度 2）である．
前の例と同様に，固有値 λ = 2 に対する固有ベクトル x は
 
1
 
 
x = u  2  , (u ∈ R, u ̸= 0)
 
5
と表されるベクトル全体（自由度 1）である．
7

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