数学 A2 §9 陰関数と条件付極値演習問題演習の進め方：以下の問題を解き, 裏面の解答例を見て答え合わせをすること. 赤ペンなどを用い, 正解ならば○, 誤りは×をつけたうえで訂正せよ. 解答例を見ても分からない個所や, 質問があれば⃝ ? のマークを付けて, 不明な点をできるだけ明確にすること. ウォーム・アップ問題 1. f (x, y) = 0 によって定まる次の 2 種類の陰関数に対する導関数を下から選べ: dy dx (1) y を x の関数とみなしたときの (2) x を y の関数とみなしたときの dx dy fx fy fx fy a. b. c. − d. − fy fx fy fx 課題問題 2. x2 + y 2 = a2 で定まる陰関数 y = y(x) について数とする. dy を x と y を用いて表わせ. ただし a は定 dx 問題 3. ラグランジュの未定乗数法を用いて, φ(x, y) = x2 +y 2 −1 = 0 の条件のもとで f (x, y) = 2x+y が極値をとり得る点を求めよ. 問題 4. 曲線 x2 − xy + y 2 = 3 の点 P (1, −1) における接線の方程式を求めよ. dy 問題 5. 2x2 + 2xy + y 2 − 1 = 0 で定まる陰関数 y = y(x) について, を求めよ. dx dy 問題 6. tan2 (y + 1) = 3 sin x で定まる陰関数 y(x) について, を x と y の式として表わせ. dx 問題 7. ラグランジュの未定乗数法を用いて, φ(x, y) = xy − 1 = 0 の条件のもとで f (x, y) = x2 + y 2 が極値をとり得る点を求めよ. 問題 8. ラグランジュの未定乗数法を用いて, φ(x, y) = x + 2y − 2 = 0 の条件のもとで f (x, y) = x2 y が極値をとり得る点を求めよ. 追加課題提出すれば答案は添削する1. 問題 9. f (x, y) = 0 の定める陰関数 y = y(x) について, y ′′ = − を示せ. さらに, y ′ = 0 のときは y ′′ = − fxx fy2 − 2fxy fx fy + fyy fx2 であること fy3 fxx であることも示せ. fy 問題 10. 2x2 + 2xy + y 2 − 1 = 0 で定まる陰関数 y = y(x) の極値を調べよ. 問題 11. φ(x, y) = x2 + 2y 2 − 1 = 0 の条件のもとで, f (x, y) = xy が極値をとる候補点 (計 4 点ある) のうち P1 ( √12 , 12 ), P2 ( √12 , − 12 ) の 2 点の極大・極小性を以下の手順で調べよ. (1) φ(x, y) = 0 の陰関数を y = y(x) とおくとき, P1 , P2 における y ′ , y ′′ の値をそれぞれ求めよ. (2) p(x) = f (x, y(x)) とおくとき, P1 , P2 における y ′′ (x) の正負を調べよ. (3) P1 , P2 における極大・極小性と極値を述べよ. 問題 12. φ(x, y, z) = x2 + y 2 + z 2 − 1 = 0 の条件のもとで f (x, y, z) = x + y + z の最大値を求めよ. ただし, この条件で f が最大値と最小値を必ず取ることを仮定してよい . また 3 変数関数についての   fx − λφx = 0 fy − λφy = 0 で与えられる. ラグランジュの未定乗数法は  fz − λφz = 0 問題 13. φ(x, y, z) = x2 + y 2 + z 2 − 1 = 0 の条件のもとで f (x, y, z) = xy + yz + zx の最大値を求めよ. ただし, この条件で f が最大値と最小値を必ず取ることを仮定してよい. 1解答例の公開 (約 2 週間) → http://www.lab2.toho-u.ac.jp/sci/c/math/noda/ 解 1. (1) c. (2) d. 解 2. f (x, y) = x2 + y 2 − a2 とおくと, fx = 2x, fy = 2y. よって dy fx x =− =− . dx fy y 別解. y を x の関数とみなして x2 +y 2 = a2 の両辺を x で微分すると, 2x+2y dy dy x = 0. よって =− . dx dx y   fx − λφx = 2 − 2λx = 0 1 fy − λφy = 1 − 2λy = 0 . 第 1,2 式より x = , y = 解 3. ラグランジュの未定乗数法により,  λ φ = x2 + y 2 − 1 = 0 √ 1 1 1 5 , 第 3 式に代入して 2 + 2 − 1 = 0, よって λ = ± . ゆえに極値をとる候補点は (x, y) = 2λ λ ) 4λ 2 ) ( ( 2 1 2 1 √ , √ , −√ , −√ . 5 5 5 5 解 4. f (x, y) = x2 − xy + y 2 − 3 とおくと, fx = 2x − y, fy = −x + 2y より x = 1, y = −1 を代入するとわち y = x − 2. dy 2x − y =− . よって dx −x + 2y dy = 1. 接線は (1, −1) を通り傾き 1 の直線なので y = (x − 1) − 1, すな dx 解 5. f (x, y) = 2x2 + 2xy + y 2 − 1 とおくと, fx = 4x + 2y, fy = 2x + 2y より解 6. f (x, y) = tan2 (y + 1) − 3 sin x とおくと fx = −3 cos x, fy = dy 2x + y =− . dx x+y 2 tan(y + 1) よって cos2 (y + 1) 3 cos x cos2 (y + 1) dy = . dx 2 tan(y + 1)   fx − λφx = 2x − λy = 0 1 fy − λφy = 2y − λx = 0 . 第 1,2 式より x = λy, y = 解 7. ラグランジュの未定乗数法により,  2 φ = xy − 1 = 0 1 1 λx, 後者を前者に代入して x = λ2 x, よって x(λ2 − 4) = 0 となるので x = 0 または λ = ±2. 2 4 1 x = 0 とすると y = λx = 0 となり xy = 1 を満たさず不適. λ = ±2 とすると, y = ±x であるか 2 ら,y = x なら xy = 1 より x = ±1, y = −x なら x2 = −1 となり不適. 以上より極値をとる候補点は (x, y) = (1, 1), (−1, −1). 解 8. ラグランジュの未定乗数法により, fx − λφx = 2xy − λ = 0, fy − λφy = x2 − 2λ = 0, φ = x + 2y − 2 = 0. 第 1,2 式から λ を消去して x2 = 4xy, よって x(x − 4y) = 0 より x = 0 または x = 4y. 1 4 x = 0 とすると φ = 0 より y = 1. x = 4y とすると φ = 0 より 6y = 2, ゆえに y = , x = . 以上 3 3 ( ) 4 1 より極値をとる候補点は (x, y) = (0, 1), , . 3 3