[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 17 février 2015
Enoncés
Lois de composition interne
Exercice 1 [ 02190 ] [correction]
On définit une loi de composition interne ? sur R par
∀(a, b) ∈ R2 , a ? b = ln(ea + eb )
Quelles en sont les propriétés ? Possède-t-elle un élément neutre ? Y a-t-il des
éléments réguliers ?
Exercice 2 [ 02191 ] [correction]
Soit E = [0, 1]. On définit une loi ? sur E par
∀x, y ∈ E, x ? y = x + y − xy
a) Montrer que ? est une loi de composition interne commutative et associative.
b) Montrer que ? possède un neutre.
c) Quels sont les éléments symétrisables ? réguliers ?
Exercice 3 [ 02192 ] [correction]
Soit ? une loi de composition interne sur E.
Pour A, B ∈ P(E) on pose
1
Exercice 6 [ 02195 ] [correction]
Soit ? une loi associative sur un ensemble E. Un élément x de E est dit
idempotent si, et seulement si, x ? x = x.
a) Montrer que si x et y sont idempotents et commutent, alors x ? y est
idempotent.
b) Montrer que si x est idempotent et inversible, alors x−1 est idempotent.
Exercice 7 [ 02196 ] [correction]
Soit E et F deux ensembles et ϕ : E → F une application bijective.
On suppose E muni d’une loi de composition interne ? et on définit une loi >
sur F par :
∀x, y ∈ F, x > y = ϕ(ϕ−1 (x) ? ϕ−1 (y))
a) Montrer que si ? est commutative (resp. associative) alors > l’est aussi.
b) Montrer que si ? possède un neutre e alors > possède aussi un neutre à
préciser.
Exercice 8 [ 02197 ] [correction]
Soit ? une loi de composition interne associative sur E.
On suppose qu’il existe a ∈ E tel que l’application f : E → E définie par
f (x) = a ? x ? a soit surjective et on note b un antécédent de a par f .
a) Montrer que e = a ? b et e0 = b ? a sont neutres resp. à gauche et à droite puis
que e = e0 .
b) Montrer que a est symétrisable et f bijective.
A ? B = {a ? b/a ∈ A, b ∈ B}
Etudier les propriétés de ? sur E (commutativité, associativité, existence d’un
neutre) conservées par ? sur P(E). La loi ? est-elle distributive sur l’union, sur
l’intersection ?
Exercice 9 [ 02198 ] [correction]
Soient ? une loi de composition interne associative sur un ensemble fini E et x un
élément régulier de E. Montrer que E possède un neutre.
Exercice 4 [ 02193 ] [correction]
Soit E un ensemble et f : E → E.
Montrer que f est un élément régulier de (E E , ◦) si, et seulement si, f est
bijective.
Exercice 10 [ 02199 ] [correction]
Soit ? une loi associative sur un ensemble E fini. On suppose que la loi ? possède
un neutre e.
Montrer que tout élément régulier de E est inversible.
Exercice 5 [ 02194 ] [correction]
Soit a un élément d’un ensemble E muni d’une loi ? associative.
Montrer que a est symétrisable si, et seulement si, l’application f : E → E définie
par f (x) = a ? x est bijective.
Exercice 11 [ 03043 ] [correction]
Soit E un ensemble fini non vide muni d’une loi de composition interne
associative notée >.
Montrer qu’il existe e ∈ E tel que e>e = e.
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Corrections
Corrections
Exercice 1 : [énoncé]
∀a, b ∈ R, b ? a = ln(eb + ea ) = ln(ea + eb ) = a ? b. ? est commutative.
∀a, b, c ∈ R, (a ? b) ? c = ln(ea ? b + ec ) = ln(ea + eb + ec ) = a ? (b ? c). ? est
associative.
a ? ε = a ⇔ ln(ea + eε ) = a ⇔ eε = 0. Il n’y a donc pas de neutre.
a ? b = a ? c ⇒ ln(ea + eb ) = ln(ea + ec ) ⇒ eb = ec ⇒ b = c. Tout élément est
régulier
Exercice 2 : [énoncé]
a) 1 − (x + y − xy) = (1 − x)(1 − y) donc si x 6 1 et y 6 1 alors x ? y 6 1.
Par suite ? est bien une loi de composition interne sur
? est clairement commutative et associative.
b) 0 est élément neutre de E.
c) Si x ∈ ]0, 1] alors pour tout y ∈ [0, 1], x ? y = x(1 − y) + y > 0 et donc x n’est
pas inversible (dans [0, 1]).
Ainsi, seul 0 est inversible.
Pour tout x, y, z ∈ [0, 1], x ? y = x ? z ⇔ y(1 − x) = z(1 − x).
Par suite, tout x ∈ [0, 1[ est régulier tandis que 1 ne l’est visiblement pas.
Exercice 3 : [énoncé]
? est bien une loi de composition interne sur P(E).
Si ? est commutative sur E, elle l’est aussi sur P(E).
Si ? est associative sur E, elle l’est aussi sur P(E).
Si ? possède un neutre e dans E, alors ? possède un neutre dans P(E) à savoir
{e} car
A ? {e} = {a ? e/a ∈ A} = A
2
Exercice 4 : [énoncé]
Supposons f est bijective.
Soient g, h : E → E. Si f ◦ g = f ◦ h alors f −1 ◦ f ◦ g = f −1 ◦ f ◦ h puis g = h.
De même g ◦ f = h ◦ f ⇒ g = h et donc f est un élément régulier.
Supposons que f est un élément régulier.
Soient x, x0 ∈ E. Si f (x) = f (x0 ) alors f ◦ g = f ◦ h avec g et h les fonctions
constantes égales à x et x0 .
Par la régularité de f , on obtient g = h et donc x = x0 .
Si E est un singleton alors f est nécessairement surjective.
Sinon, on peut construire deux fonctions g et h telle que
∀x ∈ E, g(x) = h(x) ⇔ x ∈ Imf
On a g ◦ f = h ◦ f donc, par la régularité de f , g = h d’où Imf = E puis f
surjective.
Exercice 5 : [énoncé]
Si a est symétrisable alors considérons l’application g : E → E définie par
g(x) = a−1 ? x.
On a f ◦ g = IdE et g ◦ f = IdE donc f est bijective.
Si f est bijective alors considérons b l’antécédent du neutre e. On a a ? b = e.
De plus f (b ? a) = a ? b ? a = e ? a = a = f (e) donc b ? a = e car f injective.
Par suite, a est symétrisable et b est son symétrique.
Exercice 6 : [énoncé]
a) On a
(x ? y) ? (x ? y) = (x ? x) ? (y ? y) = x ? y
b) On a
x ? x = x ⇒ (x ? x)−1 = x−1 ⇒ x−1 ? x−1 = x−1
La loi ? est distributive sur l’union
A ? (B ∪ C) = {a ? x/a ∈ A, x ∈ B ∪ C} = (A ? B) ∪ (A ? C)
En revanche la distributivité sur l’intersection est fausse. On obtient un contre
exemple dans R avec ? = +, A = {1, −1}, B = {1} et C = {−1} où
A?B∩C =A?∅=∅
et
(A ? B) ∩ A ? C = {2, 0} ∩ {−2, 0} = {0}
Exercice 7 : [énoncé]
a) Supposons ? commutative :
∀x, y ∈ F, y > x = ϕ(ϕ−1 (y) ? ϕ−1 (x)) = ϕ(ϕ−1 (x) ? ϕ−1 (y)) = x > y
donc > est commutative.
Supposons ? associative :
∀x, y, z ∈ F, (x > y) > z = ϕ(ϕ−1 (x > y) ? ϕ−1 (z)) = ϕ(ϕ−1 (x) ? ϕ−1 (y) ? ϕ−1 (z)) = x > (y >
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donc > est associative.
b) Supposons que ? possède un neutre e et montrons que f = ϕ(e) est neutre
pour > .
∀x ∈ F, x > f = ϕ(ϕ−1 (x) ? e) = ϕ(ϕ−1 (x)) = x
Exercice 11 : [énoncé]
Soit x ∈ E. Considérons la suite (xn )n∈N? déterminée par
et
i.e.
f > x = ϕ(e ? ϕ−1 (x)) = ϕ(ϕ−1 (x)) = x
donc f est neutre pour > .
x1 = x et xn+1 = xn >xn
xn+1 = x2
n
Puisque l’ensemble E est fini, les éléments x1 , x2 , . . . ne peuvent être deux à deux
distincts et donc il existe p < q tels que
Exercice 8 : [énoncé]
Par la surjectivité de f , il existe b ∈ E tel que a ? b ? a = a.
a) a ? b = a ? a ? c ? a
Pour tout x ∈ E, il existe α ∈ E tel qu’on peut écrire x = a ? α ? a.
Pour e = a ? b, e ? x = a ? b ? a ? α ? a = a ? α ? a = x.
Pour e0 = b ? a, x ? e0 = x ? b ? a = a ? α ? a ? b ? a = a ? α ? a.
e ? e0 = e = e0 .
b) Puisque a ? b = b ? a = e, a est symétrisable et sym(a) = b.
De plus g : x → b ? x ? b est clairement application réciproque de f .
Exercice 9 : [énoncé]
Considérons l’application f : N → E définie par f (n) = x ? n .
Puisque N est infini et que l’ensemble E est fini, l’application f n’est pas injective
et donc il existe p > q ∈ N tels que f (p) = f (q) i.e.
p
x2 = x2
q
p
Posons alors a = x2 et n = q − p ∈ N? de sorte que
n
a2 = a
Si n = 1, e = a convient.
Si n > 1, il faut construire e à partir de a. . . Après quelques essais pour de
n
premières valeurs de n, on est amené à proposer e = a2 −1 ∈ E. On constate alors
e>e = e2 = a2
n+1
−2
n
= a2 >a2
n
−2
= a>a2
n
−2
= a2
n
−1
=e
x?p = x?q
Pour tout y ∈ E.
x?p ? y = x?q ? y
Puisque x est régulier, on obtient :
x ? (p−q) ? y = y
De même y ? x ? (p−q) = y et donc e = x ? (p−q) est neutre.
Exercice 10 : [énoncé]
Soit a un élément régulier.
Considérons l’application f : E → E définie par f (x) = a ? x.
L’application f est injective.
E est fini donc f est bijective et par suite surjective d’où ∃b ∈ E tel que a ? b = e.
f (e) = a et f (b ? a) = a ? b ? a = e ? a = a donc par l’injectivité de f : b ? a = e.
Finalement a est inversible.
On peut aussi partir de f : N → E définie par f (n) = a ? n qui n’est pas injective.
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