QCM-Chap01

Chapitre 1
Notions de base : Nombres,
Structures et Fonctions
1.1
Questions
1A
Pour tout E ⊂ R, on note χE sa fonction indicatrice.
Soit A, B, C ⊂ R non vides.
vrai
faux
χA∪C (x) + χB∪C (x) = χA∪B∪C (x).
vrai
faux
χA (x)χB (x) = χC (x) ⇔ A ∩ B = C.
vrai
faux
(1 − χA (x))(1 − χB (x)) = 1 − χA∪B (x).
vrai
faux
χA∩C (x) + χA∪C (x) = 2 · χA (x).
vrai
faux
R\(A ∩ B) = (R\A) ∩ (R\B).
vrai
faux
A × B = B × A ⇔ A = B.
vrai
faux
χA×B (x, y) = χA (x)χB (y).
vrai
faux
χA×B (x, x) = χA∩B (x).
vrai
faux
A × (B ∩ C) = (A × B) ∩ (A × C).
2
CHAPITRE 1. NOTIONS DE BASE : NOMBRES, STRUCTURES ET FONCTIONS3
1B
Soit A ⊂ R non vide.
vrai
faux
Si sup A ∈ A et inf A ∈ A, alors A est born´e.
vrai
faux
Si sup A ∈ A et inf A ∈ A, alors A est ferm´e.
vrai
faux
Si A est ferm´e, alors sup A ∈ A et inf A ∈ A.
vrai
faux
Si A est ferm´e et born´e, alors sup A ∈ A et inf A ∈ A.
vrai
faux
Si A est major´e, alors sup A est un point adh´erent de A.
vrai
faux
Si A est minor´e, alors inf A est un point limite de A.
vrai
faux
Si sup A 6∈ A et inf A 6∈ A, alors A est ouvert.
vrai
faux
Si A est ouvert, alors inf A 6∈ A et sup A 6∈ A.
vrai
faux
Si sup A < ∞, alors sup A est un point fronti`ere de A.
vrai
faux
Si A est ouvert, alors son bord ∂A est vide.
vrai
faux
Si A = {x : 0 ≤ x2 < 4, x ∈ Q}, alors A n’admet aucun supremum dans Q.
◦
1C
Soit A ⊂ R non vide. On note A son int´erieur, A son adh´erence et ∂A son bord.
vrai
faux
Si a ∈ R\A est un point adh´erent de A, alors a est un point limite de A.
vrai
faux
Si a ∈ R est adh´erent `a A, alors a ∈ A.
vrai
faux
Si a ∈ A, alors a est adh´erent `a A.
vrai
faux
Le bord ∂A de A est un ferm´e.
vrai
faux
vrai
faux
Si a ∈ A est un point limite de A, alors a ∈ A.
vrai
faux
Si a ∈ A, alors a ∈ A.
vrai
faux
Si a ∈ ∂A, alors a est un point limite de A.
vrai
faux
Si a ∈ ∂A, alors a est adh´erent `a A.
Si a ∈ R\A et s’il existe > 0 et x ∈ A tels que |x − a| < ,
alors a est adh´erent `a A.
◦
◦
CHAPITRE 1. NOTIONS DE BASE : NOMBRES, STRUCTURES ET FONCTIONS4
◦
1D
Soit A ⊂ R non vide. On note A son int´erieur, A son adh´erence et ∂A son bord.
vrai
faux
∂A = ∂(R\A).
vrai
faux
Si a ∈ A, alors a est un point limite de A.
vrai
faux
Si A = ∅, alors A n’a pas de points limites.
vrai
faux
Si A = ∅, alors A n’a pas de points adh´erents dans A.
vrai
faux
Si A = ∂A, alors A = ∅.
vrai
faux
Si A est ferm´e, alors A 6= ∅.
vrai
faux
Si A = ∂A et a est un point limite de A, alors a ∈ A.
vrai
faux
Si a 6∈ A est un point limite de A, alors a est un point limite de R\A.
vrai
faux
Si a ∈ ∂A, alors a est un point limite de R\A.
vrai
faux
Le bord de ∂A est ∂A.
vrai
faux
L’int´erieur de A est A.
vrai
faux
L’adh´erence de A est A.
◦
◦
◦
◦
◦
◦
n
◦
n
n+(−1)n , n
o
∈ N∗ \{1} .
1E
Soit l’ensemble E =
vrai
faux
E ∪ {1} est ferm´e.
vrai
faux
2
3
vrai
faux
E admet une infinit´e de points isol´es.
vrai
faux
E = E.
vrai
faux
∂E = E ∪ {1}.
est un point limite de E.
◦
CHAPITRE 1. NOTIONS DE BASE : NOMBRES, STRUCTURES ET FONCTIONS5
1F**
Soit E, F ⊂ R non vides.
vrai
faux
Si E et F sont ouverts, alors E ∩ F est ouvert.
vrai
faux
Si E et F sont ouverts, alors E ∪ F est ouvert.
vrai
faux
Si E ∩ F = ∅, alors ∂E ∩ ∂F = ∅.
vrai
faux
Si E ⊂ F , alors E ⊂ F .
vrai
faux
Si E ⊂ F , alors E ⊂ F .
vrai
faux
Si E ⊂ F , alors ∂E ⊂ ∂F .
vrai
faux
Si E ⊂ F et E 6= F , alors ∂E ⊂ F .
vrai
faux
Si E ⊂ F ⊂ E, alors F = E .
vrai
faux
Si F ⊂ E ⊂ F , alors E = F .
vrai
faux
Si F ⊂ E, alors F ⊂ E.
◦
◦
◦
◦
◦
CHAPITRE 1. NOTIONS DE BASE : NOMBRES, STRUCTURES ET FONCTIONS6
1G
Soit f, g : R → R deux fonctions.
vrai
faux
Si f est strictement monotone, alors f est injective.
vrai
faux
Si f est injective, alors f est monotone.
vrai
faux
Si f est bijective et croissante, alors son inverse f −1 est d´ecroissante.
vrai
faux
Si f est bijective et impaire, alors son inverse f −1 est impaire.
vrai
faux
f ◦ g = g ◦ f ⇔ f = g.
vrai
faux
Si f et g sont injectives, alors f ◦ g est injective .
vrai
faux
Si f ◦ f est injective, alors f est injective.
vrai
faux
Si f ◦ g est injective, alors g est injective.
vrai
faux
Si f ◦ g est injective, alors f est injective.
vrai
faux
Si f ◦ g est surjective, alors f est surjective.
vrai
faux
Si f ◦ g est d´ecroissante, alors f et g sont d´ecroissantes.
vrai
faux
Soit A, B deux sous-ensembles de R, alors f ([A ∩ B]) = f ([A]) ∩ f ([B]).
1H*
Soit k ∈ N∗ et Ek = {sin n πk , n ∈ N}.
vrai
faux
Ek admet au plus 2k − 1 points isol´es.
vrai
faux
Ek = ∂Ek
vrai
faux
vrai
faux
S
Ek = [−1, 1]
k∈N∗
max(Ek ) = 1 si et seulement si k est pair.
CHAPITRE 1. NOTIONS DE BASE : NOMBRES, STRUCTURES ET FONCTIONS7
1I
Sommes et produits finis.
vrai
faux
41000 − 6500 est divisible par 10.
vrai
faux
Pour tout nombre r´eel x1 , · · · xn ,
vrai
faux
vrai
faux
vrai
faux
1J
n P
n
P
xi xj (xi − xj ) = 0.
i=1j=1
n P
i
P
Pour tout nombre r´eel a1 , · · · an et b1 , · · · bn ,
a i bj =
i=1j=1
Si n est impair, alors n divise
n
P
j
n P
P
ai bj .
j=1i=1
k.
k=1
Pour tout nombre r´eel a1 , · · · an ,
n P
n
Q
i=1k=1
kai =
n Q
n
P
kai .
k=1i=1
Nombres complexes
vrai
faux
L’image du cercle S1 (i) par l’application f (z) =
vrai
faux
z 2 + 1 divise z 6 + 3z 4 + z 2 − 1.
vrai
faux
1
z
est un cercle.
Soit zk, k=1,··· ,n les n racines de z n + bn−1 z n−1 + · · · + b0 ,
n
Q
alors
zi = (−1)n b0 .
i=1
vrai
faux
vrai
faux
√
Il existe un entier n ∈ N∗ tel que (1 + 1 3)n soit imaginaire pur.
√
Il existe un entier n ∈ N∗ tel que (1 − 1 3)n soit r´eel.

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