Brevet blanc de mathématiques n°1

Toutes 3èmes
Mardi 28 janvier 2014
Brevet blanc
de mathématiques
n°1
Durée de l’épreuve : 2 h
Calculatrice autorisée
Consignes (2 points)
- Ecrire le numéro d’ordre en haut de la première copie.
- Souligner les résultats à la règle, soigner l’orthographe, la rédaction, les
notations.
- Ne pas rendre le sujet mais le garder pour la correction.
- Pour les 3èmes 1 à 9, attacher toutes les copies ensemble, dans l’ordre.
Les exercices sont indépendants.
Toutes les étapes de calculs doivent apparaître sur la copie.
Toutes les réponses doivent être justifiées, sauf si une indication
contraire est donnée.
page 1/4
Exercice 1 (6 points)
∶
On donne A = 2 ×
et
C = √63
2√7
B=
, 5√28
1) Calculer A et donner le résultat sous la forme d’une fraction simplifiée.
2) Calculer B : donner l’écriture scientifique et décimale.
3) Calculer C et écrire le résultat sous la forme √7 où a est un entier relatif.
Exercice 2 (2 points)
Le nombre (– 3) est-il solution de l’inéquation 2a2 – 3a – 5 > 4a + 1 ? Justifier.
Exercice 3 (2 points)
Trois points A, B et C d’une droite graduée ont respectivement pour abscisse :
;
et
. Ces points sont-ils régulièrement espacés sur la droite graduée ?
Justifier par des calculs.
Exercice 4 (7 points)
On considère un rectangle RSTU dont le périmètre mesure 32 cm.
On pose RS = x cm, où x est un nombre positif inférieur ou égal à 16.
1) a. Démontrer que ST = 16 – x cm.
b. En déduire, en fonction de x, l’aire du rectangle RSTU.
2) La représentation graphique en annexe est celle de la fonction m définie par
m (x) = 16 x – x 2 avec 0 x 16 qui, à x, associe l’aire du rectangle RSTU.
Coller la courbe sur la copie et y faire les traits nécessaires aux lectures
graphiques suivantes.
a. Déterminer graphiquement pour quelle(s) valeur(s) de x l’aire du
rectangle RSTU vaut-elle 48 cm² ?
b. Par lecture graphique, déterminer si le nombre 16 a des antécédents par
la fonction m. Si oui, lesquels ?
c. Par lecture graphique, déterminer l’aire du rectangle RSTU lorsque x = 5.
La lecture graphique effectuée vous semble-t-elle précise ?
Pour plus de précision, répondre à cette question en effectuant un calcul.
d. Pour quelle(s) valeur(s) de x l’aire du rectangle RSTU est-elle maximale ?
Quelle est alors la valeur de cette aire ?
Quelle est alors la nature précise du rectangle RSTU ? Justifier.
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Exercice 5 (4 points)
Sur la figure ci-contre :
CE = 13 3 cm ; RF = 9 3 cm ; FC = 5 3 cm ; RE = 15 3 cm ;
les droites (EF) et (RC) sont perpendiculaires en F ;
! arrondie au degré.
1) Calculer la mesure de FEC
2) Calculer EF : écrire le résultat sous la forme √3
où a est un entier.
Exercice 6 (7 points)
Une étagère en bois est schématisée par la figure ci-dessous où la droite (BC)
représente le sol qui est horizontal.
les points K, A, F et C sont alignés ;
les points G, A, E et B sont alignés ;
la planche représentée par [EF] est horizontale
donc (EF) et (BC) sont parallèles ;
AB = 10 dm et AC = 13 dm ;
AE = 6 dm et EF = 9,6 dm ;
AK = 5,2 dm et AG = 4 dm.
1) Démontrer que BC = 16 dm.
2) Une planche fixée sur les points K et G sera-t-elle horizontale ?
Le démontrer.
3) Les montants de l’étagère, représentés par les droites (AC) et (AB), sont-ils
perpendiculaires ? Le démontrer.
Exercice 7 (7 points)
Le tableau en annexe donne la répartition des boulangeries d’une ville selon le
prix auquel elles vendent la baguette.
1) Calculer l’étendue de la série.
2) Calculer l’arrondi du prix moyen d’une baguette au centime.
3) a. Déterminer le prix médian d’une baguette.
b. Interpréter ce résultat.
4) a. Déterminer le troisième quartile de la série.
b. Interpréter ce résultat.
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Exercice 8 (3 points)
Ecrire tous les calculs permettant de justifier votre réponse.
Toute trace de recherche, même incomplète, sera prise en compte dans
l’évaluation.
La ville A compte 60 000 voitures et la ville B en comporte 18 000.
Les diagrammes circulaires ci-dessous représentent la répartition des voitures
selon leurs couleurs, dans les villes A et B.
On demande à un élève ce qu’il constate. Voici ce qu’il a répondu :
« On peut dire qu’il y a plus de voitures blanches dans la ville B que la ville A. »
A-t-il raison ?
Ville B
Couleur
Fréquence
voitures
blanches
60 %
voitures
grises
25 %
voitures
noires
10 %
autres
couleurs
5%
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ANNEXES
ANNEXES
Exercice 4 : représentation graphique de la fonction m
Exercice 4 : représentation graphique de la fonction m
Exercice 7 :
Exercice 7 :
Prix (€)
0,60
0,65
0,70
0,80
0,85
0,90
0,95
1
Prix (€)
0,60
0,65
0,70
0,80
0,85
0,90
0,95
1
Effectif
4
14
25
12
7
12
7
5
Effectif
4
14
25
12
7
12
7
5
Exercice 4 (7 points)
Correction du Brevet Blanc n°1
3ème
1) a. RSTU est un rectangle de périmètre 32 cm
or Périmètre d’un rectangle = 2 (Longueur + largeur)
donc 2 (RS + ST) = 32 soit 2 (x + ST) = 32
x + ST = 32 : 2
x + ST = 16
ST = 16 – x cm
Exercice 1 (6 points)
∶
A=2×
A=
− ×
A=
−
×
B=
× × ×
B=
×
× ×
, ×
× ×
×
$
% ×
×
× × ×
b. RSTU est un rectangle
or aire d’un rectangle= Longueur × largeur
donc aire (RSTU) = RS × ST = x (16 – x) = 16 x – x² cm²
A=
− B=
A=
=
B = 2×'(' (écriture scientifique)
B = 20 (écriture décimale)
"
#
× ×
&
2) a. L’aire de RSTU vaut 48 cm² si x = 4 cm ou x = 12 cm
b. Par lecture graphique, 16 a deux antécédents par m : 1 et 15.
C = √63 + 2√7 − 5√28
= √7 × 9 + 2√7 − 5√7 × 4
C = 3√7 + 2√7 − 5 × 2√7 = 5√7 − 10√7 = −-√"
Exercice 2 (2 points)
Si a = (– 3) : 2a2 – 3a – 5 = 2 × (– 3)²– 3 × (– 3) – 5 = 2 × 9 + 9 – 5
2a2 – 3a – 5 = 18 + 9 – 5 = 27 – 5 = 22
et
4a + 1 = 4 × (– 3) + 1 = – 12 + 1 = – 11
or, 22 > – 11
donc (– 3) est une solution de l’inéquation 2a2 – 3a – 5 > 4a + 1
c. Par lecture graphique, lorsque x = 5 cm, l’aire du rectangle
RSTU vaut environ 55 cm².
Cette lecture ne semble pas très précise.
m(5) = 16 × 5 – 5² = 80 – 25 = 55 cm²
Si x vaut 5 cm, l’aire du rectangle vaut réellement 55 cm².
d. L’aire du rectangle est maximale si x = 8 cm.
L’aire maximale est alors égale à 64 cm².
Dans ce cas, RS = 8 cm et ST = 16 – 8 = 8 cm
Donc le rectangle RSTU est un carré.
Exercice 5 (4 points)
Exercice 3 (2 points)
A.
1) Dans le triangle FEC rectangle en F
4
3
/ , B . / et C . / c’est-à-dire A.12/, B.12/ et C . /
On en déduit que A est situé entre les points B et C
AB = x A – x B =
4
3
−
12
12
1
! =
sin FEC
12
32
=
√
√
=
! ≈ 23°
d’où 456
2) Dans le triangle REF rectangle en F,
d’après le théorème de Pythagore, on a ER² = EF² + FR²
5
4
1
= 12 et AC = x C – x A = 12 − 12 = 12
donc AB = AC
donc B, A et C sont régulièrement espacés sur la droite graduée.
d’où EF ² = ER² – FR² = 15√3 − 9√3 = 15 × 3 − 9 × 3
EF² = 225× 3 − 81 × 3 = (225 – 81) × 3 = 144× 3
Or une longueur est positive
Donc EF = √144 × 3 = '8√#cm ou EF² = EC² – FC² dans FEC rectangle en F
Exercice 6 (7 points)
2) m=
1) (EB) et (FC) sont sécantes en A et (EF) //(BC)
D’après le théorème de Thalès on a :
En particulier :
D’où BC = 93
9:
=
9:×31
93
31
:2
=
× ,
=
93
9:
=
91
92
=
m=
31
, × G ,
H
×
G ,H×
G , ×
G ,
×HG , ×
G ,
×HG ×
≈ 0,78
Le prix moyen d’une baguette est environ 0,78 €.
:2
3) a. L’effectif total est 86. 86 : 2 = 43
donc la médiane est la moyenne de la 43ème et la 44ème donnée de
,HG ,
la série ordonnée : Me =
= 0,75
= ';<=
La médiane est de 0,75 €.
2) (KC) et (BG) sont sécantes en A
AK 5,2
52
4 × 13
2
=
=
=
=
AC 13 130 10 × 13 5
AG
4
2
=
=
AB 10 5
b. Au moins 50 % des baguettes coûtent 0,75 € ou moins et au
moins 50 % des baguettes coûtent 0,75 € ou plus.
4) a.
AG AK
donc
=
AB AC
×86 = 64,5.
Le 3ème quartile est la 65ème donnée de la série ordonnée.
Le 3ème quartile est de 0,90 €.
De plus, K, A et C sont alignés dans le même ordre que G, A et B
Donc, d’après la réciproque du théorème de Thalès, (KG) // (CB)
donc la planche fixée sur G et K sera horizontale.
b. Au moins 75 % des baguettes coûtent 0,90 € ou moins.
Exercice 8 (3 points)
3) BC² = 16² = 256
AB² + AC² = 10² + 13² = 100 + 169 = 269
Donc BC² ≠ AB² + AC²
Le triangle ABC n’est donc pas rectangle en A
et les montants de l’étagère ne sont pas perpendiculaires.
Dans la ville A :
le secteur angulaire représentant les voitures blanches mesure 90°
donc
des voitures sont blanches.
60 000 : 4 = 15 000.
Dans la ville A, il y a 15 000 voitures blanches.
Exercice 7 (7 points)
Prix (€)
0,60
0,65
0,70
0,80
0,85
0,90
0,95
1
Effectif
4
14
25
12
7
12
7
5
Effectifs
Cumulés
Croissants
4
18
43
55
62
74
81
86
1) e = vmax – vmin = 1 – 0,60 = 0,4 . L’étendue est de 0 ,40 €.
Dans la ville B :
60 % des 18 000 voitures sont blanches.
× 18000 = 10800 .
Dans la ville B, il y a 10 800 voitures blanches.
Donc l’élève a tort.

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