α GONIOMETRIA RADIANTI Un altro modo di misurare gli angoli è quello di assumere come unità di misura il radiante. Per arrivare alla sua definizione consideriamo un angolo AOˆ B di vertice O e ampiezza α e le infinite circonferenze che hanno centro in O e raggio r variabile. I lati di α determinano sulle varie circonferenze un arco l anch’esso variabile, ma il rapporto l/r rimane costante e viene assunto come misura in radianti di α , ovvero α (rad)=l/r , il che equivale a prendere il raggio come unità di misura degli archi. Perciò un angolo α misura 1rad quando l’arco ed il raggio sono uguali. B l α In particolare l’angolo di 360° sottende un arco pari alla A circonferenza e, perciò, la sua misura in radianti è data dal rapporto 2πr = 2π rad. r Per la trasformazione da gradi a radianti e viceversa possiamo utilizzare sempre la proporzione α ( rad ) : 2π = a° : 360° oppure α ( rad ) : π = a° : 180° . O 0° 0 gradi radianti 30° π 6 45° π 4 60° π 3 90° π 2 120° 2π 3 135° 3π 4 150° 5π 6 180° π 360° 2π FUNZIONI GONIOMETRICHE DEGLI ANGOLI CONVESSI Sia α un angolo convesso, la freccia sul simbolo dell’angolo indica quale è il suo primo lato e quale il secondo. L’orientamento può essere orario o antiorario. 2° lato 1° lato P’ H’ P O H H H’ O 1° lato P P’ 2° lato 2° lato 1° lato P’ P P O P’ 2° lato H H’ H O H’ 1° lato Siano P, P’,…. Punti sul secondo lato dell’angolo e H, H’,……. le relative proiezioni ortogonali sul primo lato. La freccia sui lati dell’angolo indicano l’orientamento dei segmenti presi su essi, per cui se α è acuto OH e OH’ sono considerati positivi, mentre se α è ottuso OH e OH’ sono considerati negativi. Con α convesso, OP e OP’ risultano invece sempre positivi. 1 I triangoli rettangoli OPH, OP’H’,…..che si vengono a formare vengono chiamati TRIANGOLI DELLE PROIEZIONI , essi sono triangoli simili. PH OH PH Prendiamo in esame i rapporti . Possiamo notare che tali rapporti non variano al , , OP OP OH variare del punto P sul secondo lato dell’angolo e dipendono quindi esclusivamente dall’ampiezza dell’angolo. Ogni ampiezza di α determina uno ed un solo valore del singolo rapporto. Questi rapporti sono pertanto FUNZIONI DELL’ANGOLO α e sono chiamate funzioni goniometriche. In particolare, si definisce: cateto opposto ad α PH P' H ' = = = ....... ipotenusa OP OP' cateto adiacente ad α OH OH ' cos α = = = = ....... ipotenusa OP OP' cateto opposto ad α PH P' H ' tgα = = = = ....... cateto adiacente ad α OH OH ' senα = Si definisce anche la funzione reciproca di tgα , cioè cot gα = cateto adiacente ad α OH OH ' = = = ....... cateto opposto ad α PH P ' H ' Le funzioni goniometriche, così introdotte, essendo rapporti tra due segmenti, sono numeri reali (e pertanto non indicano la misura dei segmenti ma solo un confronto tra essi). In base all’orientamento assunto per i segmenti, HP e OP sono sempre positivi, mentre OH è positivo o negativo a seconda che α sia acuto od ottuso. Pertanto con α convesso, senα sarà positivo sia con α acuto che con α ottuso, mentre cos α , tgα , cot gα saranno positivi con α acuto e negativi con α ottuso. Se α =0° i punti P e H coincidono e si avrà così sen 0° = O P≡ H PH 0 OH OH PH 0 OH OH = = 0 ; cos 0° = = = 1 ; tg 0° = = = 0 ; cot g 0° = = = non esiste OP OP OP OH OH OH PH 0 P Se α =90° i punti O e H coincidono e si avrà così O≡ H PH OH PH PH OH sen 9 0° = = 1 ; cos 90° = = 0 ; tg 90° = = = non esiste ; cot g 90° = =0 OP OP OH 0 PH Se α =180° i punti P e H coincidono e si avrà così P≡ H sen 180° = O PH 0 OH PH 0 OH OH = = 0 ; cos 180° = = −1 ; tg18 0° = = = 0 ; cot g18 0° = = = non esiste OP OP OP OH OH PH 0 2 RELAZIONI TRA LE FUNZIONI GONIOMETRICHE P P O H H O Il teorema di Pitagora applicato al triangolo rettangolo OPH dà OH²+HP²=OP² e dividendo tutto per OP² si ottiene la RELAZIONE FONDAMENTALE DELLA GONIOMETRIA: 2 2 2  OH   PH   OP  2 2 2 2   +  =  ⇒ (cos α ) + (senα ) = 1 ⇒ cos α + sen α = 1 OP OP OP       PH Consideriamo la relazione che esprime la tangente di un angolo tgα = , dividendo entrambi i OH PH PH senα = OP ⇒ tgα = segmenti per OP si ottiene tgα = e, naturalmente, allo stesso modo OH OH cos α OP cos α cot gα = senα FUNZIONI GONIOMETRICHEDI ANGOLI PARICOLARI Se α =45° il triangolo rettangolo OPH è isoscele, con OH=HP, e per il T. Pitagora OP = OH 2 + PH 2 = PH 2 + PH 2 = 2 ⋅ PH 2 = PH 2 PH PH 1 P ⇒ sen 45° = = = = cos 45° e tg 45° = 1 OP PH 2 2 P O H Se α =30° il triangolo rettangolo OPH è la metà di un triangolo equilatero O con PH =OP/2 e per il T. Pitagora OH = OP 2 − PH 2 = ⇒ sen30° = (2 PH )2 − PH 2 H = 4 PH 2 − PH 2 = 3PH 2 = PH 3 12 PH PH 1 OH PH 3 3 = = ; cos 30° = = = e tg 30° = = 1 3 OP 2 PH 2 OP 2 PH 2 3 2 Se α =60° il triangolo rettangolo OPH è la metà di un triangolo equilatero P Con OH=OP/2 e per il T. Pitagora PH = OH 3 ⇒ sen 60° = 3 2 PH OH 3 3 OH OH 1 = = ; cos 60° = = = ; tg 60° = = 3 OP 2OH 2 OP 2OH 2 12 O 3 H