angoli 2a parte - Saetta e Livatino

GONIOMETRIA
sistemi di misura
© 2006
Corso multimediale di matematica
Prof. Calogero Contrino
Goniometria:
Sistemi di misura degli angoli
L’unità di misura prescelta determina i vari sistemi di misura degli angoli. I più usati sono :
Sistema di misura
Unità di misura
Espressione della parte non intera
sessagesimale
Grado sessagesimale ( ° )
Primi ( ‘ ) ; secondi ( “ )
sessadecimale
Grado sessagesimale ( ° )
Cifre decimali dopo la virgola ( … , …)
Frazioni di grado
Grado sessagesimale ( ° )
- - - - - - - - - - - - -
Sistema centesimale
Grado centesimale ( c )
Cifre decimali dopo la virgola ( … , …)
radianti
Radiante (rad)
Cifre decimali dopo la virgola ( … , …)
Corso multimediale di matematica
Prof Calogero Contrino
04/03/2014
2/8
Goniometria:
Sistema sessagesimale : il grado
Il sistema sessagesimale, il più noto alla gente comune, assume come unità di misura il grado
sessagesimale per il quale vale la seguente
definizione
Dicesi grado sessagesimale (o semplicemente grado ) (°) l’angolo la cui ampiezza è la 360esima parte dell’angolo giro .
angolo giro
Grado sessagesimale
 == 1° = 1 G
360
Corso multimediale di matematica
Prof Calogero Contrino
04/03/2014
3/8
Goniometria:
Sistema sessagesimale : i primi ed i secondi
Dovendo esprimere la parte non intera di angolo nella notazione sessagesimale si
utilizzeranno i sottomultipli del grado :
 primo (‘) :
sessantesima parte del grado
 secondo (“) : sessantesima parte del primo (3600-esima parte del grado)
Dovendo annotare angoli con parte non intera i primi ed i secondi si giustappongono in
nell’ordine alla destra dei gradi.
esempi
 ° = 12° 25’ 37”
Corso multimediale di matematica
Prof Calogero Contrino
 ° = 2° 35’
 ° = 20° 14”
04/03/2014
4/8
Goniometria:
Sistema sessadecimale
Il sistema sessadecimale ha la stessa unità di misura del sistema sessagesimale ma differisce
da esso per la notazione della parte non intera che invece di essere espressa in primi e
secondi viene indicata con cifre decimali alla destra di una virgola che la separa dalla parte
intera .
esempi
 ° = 12,1345°
Corso multimediale di matematica
Prof Calogero Contrino
 ° = 2, 004°
 ° = 0,0025°
04/03/2014
5/8
Goniometria:
Sistema a frazione di grado
Anche il sistema a frazione di grado usa la stessa unità di misura del sistema sessagesimale
ma l’ ampiezza dell’angolo viene indicata direttamente dal rapporto, sotto la forma di frazione,
con l’unità di misura .
esempi


Corso multimediale di matematica
Prof Calogero Contrino
° =  13
 27


°
°


° =  283
 15
°
° =  1
 125
04/03/2014
6/8
Goniometria:
Sistema centesimale : il grado centesimale
Il sistema centesimale assume come unità di misura il grado centesimale per il quale vale la
seguente
definizione
Dicesi grado centesimale (o semplicemente grado ) (c) l’angolo la cui ampiezza è la 400esima parte dell’angolo giro .
angolo giro
Grado centesimale
 == 1c = 1 G
400
Corso multimediale di matematica
Prof Calogero Contrino
04/03/2014
7/8
Goniometria:
Sistema centesimale : parte non intera
La parte non intera nel sistema centesimale viene espressa con cifre decimali alla destra di
una virgola che la separa dalla parte intera.
esempi
c = 42,1345c
Corso multimediale di matematica
Prof Calogero Contrino
c = 1,45c
c = 0,0046c
04/03/2014
8/8
Goniometria:
Sistema di misura in radianti: premesse
Per introdurre il sistema di misura in radianti, che è il sistema di misura usato in ambito
scientifico, bisogna riprendere ancora una volta alcuni concetti e definizioni di geometria
euclidea
Corso multimediale di matematica
Prof Calogero Contrino
04/03/2014
9/8
Richiami di geometria euclidea:
angoli al centro di una circonferenza
Dati un angolo ed una circonferenza si ha la seguente
definizione
Dicesi angolo al centro di una circonferenza il generico angolo complanare alla circonferenza
il cui vertice coincide con il centro della circonferenza.
Angoli al centro
VC
Corso multimediale di matematica
Prof Calogero Contrino
VC
04/03/2014
10/8
Richiami di geometria euclidea:
angoli al centro : una proprietà
In una circonferenza dato un angolo al centro i suoi lati intercettano su di essa un arco la cui
lunghezza l è proporzionale all’ampiezza dell’angolo.
Pertanto si può scrivere la seguente proporzione, avendo assunto per la misura degli angoli il
sistema sessadecimale ed essendo r il raggio della circonferenza : l : 2r =  : 360°
Pertanto la lunghezza l dell’arco, noto , è : l =  r °
180°
Proporzionalità tra archi e angoli al centro
VC
r
l
l’
Corso multimediale di matematica
Prof Calogero Contrino
04/03/2014
11/8
Goniometria:
Sistema di misura in radianti
Il sistema di misura dell’ampiezza degli angoli in radianti è il più usato in ambito scientifico .
Allo scopo di definire il nuovo sistema di misura facciamo alcune considerazioni preliminari .
Dato un generico angolo  , si considerino delle circonferenze concentriche il cui centro
coincide con il vertice dell’angolo dato ed i cui raggi sono rispettivamente r, r1 , r2 … .
I lati dell’angolo intercettano sulle circonferenza gli archi l , l1 , l2 ….
Per la formula vista in precedenza si avrà :
l =  r °
180°
l1 =  r1 °
180°
l2 =  r2 °
180°
r1
Da cui si ottiene successivamente:
l : l 1 = r : r1
l
r
=
l : l 2 = r : r2
l1
l
r1
r
=
r2
r
 l
l1 l2
l2
r2
Ne segue che, se l ed r sono uguali, saranno uguali
anche l1 e r1 , l2 e r2 , e cosi via .
Corso multimediale di matematica
Prof Calogero Contrino
04/03/2014
12/8
Goniometria:
Sistema di misura in radianti
A tale situazione corrisponde ovviamente un unico valore di  .
Tale angolo può essere pensato come una nuova unità di misura degli angoli; si quindi la
seguente
definizione
Si dice angolo radiante ,o semplicemente radiante, l’angolo al centro di una circonferenza il
quale insiste su un arco di lunghezza uguale al raggio.
Ha interesse sapere quanto misura l’ampiezza della
nuova unità di misura rispetto alle vecchie, p.e. nel
sistema sessadecimale .
Da l =  r ° , dovendo essere l = r si ha:
180°
°
 ° = 180°  57,29577951…..
1= 

180°
r1
r2
r
 = 1 rad
l l1 l2
Per la presenza di  tale valore è espresso da un
numero irrazionale .
Corso multimediale di matematica
Prof Calogero Contrino
04/03/2014
13/8
Goniometria:
Angoli particolari misurati in radianti
Definita la nuova unità di misura la misura del generico angolo espressa in radianti sarà :
l
R =
; con l ed r rispettivamente misure di un arco di circonferenza, con centro sul
r
vertice dell’angolo, su cui insiste l’ angolo e del relativo raggio .
E’ utile conoscere le misure in radianti di alcuni angoli significativi quali R , P e G .
A questo scopo basterà tenere presente che R , P e G insistono rispettivamente su un quarto
di circonferenza, metà circonferenza e l’intera circonferenza .
Pertanto da R =
 
(2r)/4
=
 2
r


=
 
(2r)/2
=

r


=
 2




=


mis G =  G

Si ottiene :


mis P =  P

r


mis R =  R
l
rad
rad
rad
Corso multimediale di matematica
Prof Calogero Contrino
2r
r
=
rad
rad
rad
04/03/2014
14/8
Goniometria:
Conversione tra i sistemi di misura : sessagesimale – frazione di grado
Ci occuperemo ora della conversione dei valori tra i vari sistema di misura. Le varie tecniche di
conversione saranno introdotte mediante esempi
conversione sessagesimale – frazione di grado
Sia l ‘angolo  la cui ampiezza in gradi sessagesimali è : ° = 10° 2’ 5”


° , il precedente valore si può riscrivere nel
e 1” =  1
 3600




Ricordando che 1’ =  1 °
 60


° Da cui successivamente si ottiene :
seguente modo : ° = 10° + 2  1 ° + 5  1
 60
 3600











° = 10 +
2 + 5
°  10 + 1 + 1
°  7200 + 24 + 1 °  7225 °  1445 °
=
=
=
=
60
3600
30
720
720


 720
 144
La conversione è pertanto effettuata .
Corso multimediale di matematica
Prof Calogero Contrino
04/03/2014
15/8
Goniometria:
Conversione tra i sistemi di misura : sessagesimale – frazione di grado
Riferendoci all’esempio precedente si procede ora all’operazione inversa:
conversione frazione di grado – sessagesimale
Sia l ‘angolo  la cui ampiezza in frazione di grado è :  1445 °
 144
Inizialmente si divide il numeratore per il denominatore della frazione. Il


quoziente in
decimale è : ° = ( 1445 :144 )° = (10,03472 )°
Si sottrae al quoziente la sua parte intera ottenendo la parte decimale che dovrà essere
trasformata in primi e secondi: (10,03472)° - 10° = (0,03472)°
Il numero dei primi è dato dalla parte intera del numero che si ottiene moltiplicando la
parte decimale così ottenuta per 60 : (0,03472)° x 60’ = (2,083)’
Sottraendo la nuova parte intera si otterrà una nuova parte decimale (quella dei primi) che
moltiplicata per 60 ci fornirà il numero dei secondi :
(2,083)’ – 2’ = (0,083)’

(0,083)’ x 60” = 5”
Le cifre in rosso rappresentano ordinatamente il numero dei gradi, dei primi e dei secondi e
pertanto si ha che : ° =  1445 ° = 10° 2’ 5” . Naturalmente come ci si aspettava.
 144


Corso multimediale di matematica
Prof Calogero Contrino
04/03/2014
16/8
Goniometria:
Conversione tra i sistemi di misura : sessadecimale – frazione di grado
conversione sessadecimale – frazione di grado
Sia l ‘angolo  la cui ampiezza in gradi sessadecimali è : ° = 5,125°
La conversione avviene in modo banale , infatti basta scrivere il numero sotto forma di
frazione ed eventualmente ridurre ai minimi termini :


° = 5,125° =  5125 ° =  41 °
 1000
8


conversione frazione di grado - sessadecimale
Conversione altrettanto banale , infatti basta effettuare la divisione tra numeratore e
denominatore della frazione data . Il quoziente ottenuto è il valore convertito.
° =  41 ° = (41 : 8)° = 5,125°
8


Corso multimediale di matematica
Prof Calogero Contrino
04/03/2014
17/8
Goniometria:
Conversione tra i sistemi di misura : sessagesimale – sessadecimale
conversione sessagesimale – sessadecimale
Sia l ‘angolo  la cui ampiezza in gradi sessagesimali è : ° = 1° 6’ 45”
Essendo la parte intera identica nelle due notazioni si procede alla conversione soltanto
dei primi e dei secondi in modo analogo a quanto visto in precedenza .
1 °
1
°
°=  9
° = 0,1125 °
6’ 45” = 6 
=  1 + 1
+ 45 
80
 60
 3600
 80
 10








Pertanto il valore dell’ampiezza di  nel sistema sessadecimale è : ° = ( 1,1125 )°
Corso multimediale di matematica
Prof Calogero Contrino
04/03/2014
18/8
Goniometria:
Conversione tra i sistemi di misura : sessagesimale – sessadecimale
Riferendoci all’esempio precedente si procede ora all’operazione inversa:
conversione sessadecimale – sessagesimale
Sia l ‘angolo  la cui ampiezza in gradi sessadecimali è : ° = ( 1,1125 )°
La parte decimale è : ( 1,1125 )° - 1° = ( 0,1125 )°
Per trasformarla in primi ed in secondi si opererà come visto in precedenza :
( 0,1125 )° x 60’ = (6,75)’
Sottraendo la nuova parte intera si otterrà una nuova parte decimale (quella dei primi ) che
moltiplicata per 60 ci fornirà il numero dei secondi :
(6,75)’ – 6’ = (0,75)’

(0,75)’ x 60” = 45”
Pertanto il corrispondente dell’angolo dato nel sistema sessadecimale ° = ( 1,1125 )° , nel
sistema sessagesimale ha la misura ° = 1° 6’ 45”
Corso multimediale di matematica
Prof Calogero Contrino
04/03/2014
19/8
Goniometria:
Conversione tra i sistemi di misura : radiante – sessadecimale
In questo caso ci si riferirà ad una situazione generale è non ad un esempio concreto:
conversione radiante – sessadecimale
Sia  l ‘angolo la cui ampiezza in radianti è R e in gradi sessadecimali è ° :
I valori R e ° stanno in un determinato rapporto di proporzionalità con i corrispondenti
valori R e ° di un qualsiasi angolo  .
In particolare se  è l’angolo piatto P ,si ha : R =  rad ; ° = 180°
Pertanto :
R :  rad = ° : 180°
da cui seguono le formule di trasformazione dall’uno all’altro dei due sistemi di misura :
° =
R

180°
Corso multimediale di matematica
Prof Calogero Contrino
1)
R =
°
180°

2)
04/03/2014
20/8
Goniometria:
Conversione tra i sistemi di misura : radiante – rimanenti sistemi
Per convertire la misura in radianti in qualsiasi altra misura e viceversa si procederà come
segue :
conversione da radianti
a) Si eseguirà la trasformazione, mediante la 1), in sessadecimale del valore in radianti
assegnato .
b) Si eseguirà la trasformazione del valore sessadecimale ottenuto nel valore del sistema
richiesto mediante i metodi studiati in precedenza .
conversione in radianti
a) Si eseguirà la trasformazione in sessadecimale del valore nel sistema assegnato
mediante i metodi studiati in precedenza
b) Si eseguirà la trasformazione, mediante la 2), del valore sessadecimale ottenuto nel
valore in radianti richiesto.
Corso multimediale di matematica
Prof Calogero Contrino
04/03/2014
21/8
Goniometria:
Misura relativa di angoli orientati
Come detto in precedenza, ci si è occupati fin qui della misura euclidea degli angoli
(misura assoluta per angoli non orientati ) limitandoci a valori in R+ .
Volendoci occupare della misura di archi orientati bisognerà scegliere un orientamento di
riferimento a cui associare valori in R+ , quindi estendere i valori ammissibili a tutto R ,
associando agli archi orientati in senso contrario a quello di riferimento i valori in RNormalmente si assume come orientamento di riferimento quello che porta il primo lato
dell’angolo a sovrapporsi al secondo mediante una rotazione antioraria.
Angoli positivi e negativi nel riferimento antiorario
  R+
Corso multimediale di matematica
Prof Calogero Contrino
  R-
04/03/2014
22/8

Download Report