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Il problema della trisezione dell’angolo: il metodo di Archimede e la sua insolubilità con riga e compasso Quello della trisezione dell’angolo rientra tra i tre problemi greci insolubili mediante riga e compasso. È bene osservare che, nel caso di particolari angoli, come quelli di 90° e 180°, la trisezione si può realizzare, ma non è generalizzabile al caso di un qualsiasi angolo. Il risultato secondo cui un angolo generico non possa essere trisecato utilizzando solamente riga e compasso, è una conseguenza del fatto che la riga deve essere utilizzata solamente come strumento per tracciare rette passanti per due punti dati, quindi priva di scala graduata. Se si utilizza la riga anche per altri scopi, come per esempio quello di effettuare e riportare misure, si possono ottenere differenti costruzioni. Archimede, per risolvere il problema della trisezione dell’angolo, effettuò la seguente costruzione. Si consideri un qualsiasi angolo α e si prolunghi il suo lato orizzontale verso sinistra. Si tracci un semicerchio di centro O e raggio r. Sul bordo della riga si segnino due punti A e B in modo tale che il segmento AB abbia lunghezza pari a r. Tenendo il punto B fisso sul semicerchio, è necessario inclinare la riga in modo tale che il punto A si trovi sul prolungamento del lato dell’angolo α, mentre il bordo della riga passi per l’intersezione dell’altro lato dell’angolo α con il semicerchio di centro O. Si tracci, con la riga in questa posizione, una retta che formerà un angolo β con il prolungamento del lato orizzontale dell’angolo originario. Dimostriamo adesso che l’angolo β è la terza parte dell’angolo α. Si considerino i triangoli ABO e BOC, i quali risultano isosceli per costruzione. Da ciò segue che: 1) 𝐵𝐴𝑂 ≅ 𝐵𝑂𝐴 2) 𝑂𝐶𝐵 ≅ 𝑂𝐵𝐶 Essendo l’angolo 𝐶 𝑂𝐷 esterno al triangolo AOC, si ha che: 3) 𝐶𝑂𝐷 ≅ 𝐵𝐴𝑂 + 𝑂𝐶𝐵 Ma l’angolo 𝑂𝐶𝐵 ≅ 𝑂𝐵𝐶, che è angolo esterno del triangolo AOB e quindi si ha: 4) 𝑂𝐵𝐶 ≅ 𝐵𝐴𝑂 + 𝐵𝑂𝐴 ≅ 2𝐵𝐴𝑂 Dalle relazioni 3) e 4) discende che: 5) 𝐶𝑂𝐷 ≅ 𝐵𝐴𝑂 + 2𝐵𝐴𝑂 = 3𝐵𝐴𝑂 ossia, !
6) 𝐵𝐴𝑂 ≅ ! 𝐶𝑂𝐷 Se si considerano le rette su cui giacciono i segmenti AB e OX, esse sono parallele e, tagliate dalla trasversale AD, formano gli angoli corrispondenti e congruenti: 7) 𝐵𝐴𝑂 ≅ 𝑋𝑂𝐷 http://dida.orizzontescuola.it Dalle relazioni 6) e 7) discende che: 1
𝑋𝑂𝐷 ≅ 𝐶𝑂𝐷 3
A livello algebrico, il problema della trisezione dell’angolo può essere posti in differenti modi, dei quali il seguente è il più semplice: dato un angolo ϑ il cui coseno è pari a k, determinare la quantità x tale che: 𝜗
𝑥 = cos 3
!
Usando una nota relazione trigonometrica, esiste il seguente legame fra il cos ! e il cos 𝜗 , ossia: 𝜗
𝜗
𝑘 = cos 𝜗 = 4 cos ! − 3 cos 3
3
Quindi possiamo ulteriormente pensare al problema della trisezione dell’angolo come alla necessità di determinare una soluzione algebrica dell’equazione: 4𝑡 ! − 3𝑡 − 𝑘 = 0 Per dimostrare che questa equazione non ammette nessuna soluzione algebrica, consideriamo !
il caso in cui 𝜗 = 60°. Essendo 𝑘 = cos 60° = !, l’equazione precedente diventa: 8𝑡 ! − 6𝑡 = 1 e, se si dimostra che questa equazione non ammette nessuna soluzione razionale, allora perveniamo alla tesi. Sia 𝑣 = 2𝑡, l’equazione diventa: 𝑣 ! − 3𝑣 = 1 !
Se supponiamo per assurdo che esista un numero razionale ! che sia soluzione di quest’ultima equazione, con 𝑀𝐶𝐷 𝑚, 𝑛 = 1, si avrebbe che: 𝑚 !
𝑚
−3
= 1 𝑛
𝑛
da cui: 𝑚! − 3𝑚𝑛! = 𝑛! Quindi: 𝑛! = 𝑚 𝑚! − 3𝑛! sarebbe una quantità divisibile per m e quindi proprio m ed n avrebbero un fattore comune maggiore di 1, a meno che non fosse 𝑚 = ±1. http://dida.orizzontescuola.it Analogamente, 𝑛! sarebbe un fattore di 𝑚! = 𝑛! 𝑛 + 3𝑚 , ossia m ed n avrebbero un fattore comune maggiore di 1, a meno che non fosse 𝑛 = ±1. Avendo supposto che 𝑀𝐶𝐷 𝑚, 𝑛 = 1, si è pervenuti al fatto che gli unici numeri razionali che eventualmente potrebbero soddisfare le equazioni di partenza sono +1 e -‐1. Si nota facilmente che questi due numeri, sostituiti all’equazione 𝑣 ! − 3𝑣 = 1 non la soddisfano, di conseguenza l’equazione da cui si è partiti non ammette alcuna radice reale. Da qui discende che il problema della trisezione dell’angolo è un problema insolubile. http://dida.orizzontescuola.it

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