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Limite d’une fonction
Approche intuitive de la notion de limite
Dans ce chapitre, nous avons besoin d’un outil mathématique appelé « Limite » qui est une notion
fort nécessaire pour la compréhension et la pratique des mathématiques.
Pour introduire cette notion, je commence par un exemple géométrique :
Considérons un polygone régulier de n côtés ( n ≥ 5 ), inscrit dans un cercle C. Soit Pn ce
polygone. À l’aide du logiciel « Geogebra », j’ai tracé P5 , P12 et P30 :
Il semble que P30 soit confondu avec son cercle circonscrit C (par définition un polygone est un
polygone et non pas un cercle).
Or, si l’on trace P5000 , on aura du mal à distinguer le polygone de son cercle circonscrit C.
On dit alors que la limite de ces polygones est le cercle circonscrit C et mathématiquement, on
écrit :
lim Pn = C
n→ +∞
Exemple (d’approche à l’aide d’une fonction) 1:
x2 − 4
Soit la fonction f définie sur ℝ − {− 2} par f ( x ) =
.
x+2
f n'est pas définie en x = −2. Evaluons f sur des nombres de plus en plus proches de x = −2 :
f (-1,99) = − 3,99 ; f (-1,999) = − 3,999 ; f (-1,9999) = − 3,9999 ; f (-1,99999) = − 3,99999
f (-2,01) = − 4,01 ; f (-2,001) = − 4,001 ; f (-2,0001) = − 4,0001 ; f (-2,00001) = − 4,00001
On constate qu’en évaluant f autour de −2, on se rapproche de plus en plus de − 4 .
Limite de f (x), pour x tendant vers −2, est égale à −4 et on écrit lim f ( x ) = −4 .
x → −2
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Cours : Limites
I- Limite finie d’une fonction en x0 (avec x0 fini )
Soit f une fonction définie sur ℝ ou une partie de ℝ.
Soit x0∈ℝ, le but de cette partie de ce chapitre est de savoir comment f se comporte, lorsque x se
rapproche de x0 (où x0 est une valeur finie).
Définition 1:
Un voisinage V d’un réel x0 , est un intervalle ouvert de la forme ]x0 − α ; x0 + α [ ⊂ D f ou
]x0 − α ; x0 [ ∪ ]x0 ; x0 + α [ ⊂ D f
( suivant que x0 est inclus dans Df ou non) , avec α > 0.
Exemples :
1) Les fonctions x ֏ x 2 − 2 et x ֏ 3 − x 2 sont définies au voisinage de 0.
x2 + 2
1
2) Les fonctions x ֏
et x ֏ sont définies respectivement au voisinage de 1 et de 0,
x −1
x
même si ces deux dernières fonctions sont définies sur ]− ∞,1[ ∪ ]1,+∞[ et sur ]− ∞,0[ ∪ ]0,+∞[ .
I-1- Limite finie en x0 (avec x0 fini)
Soit ℓ∈ℝ et f une fonction définie au voisinage de x0, , sauf peut-être en x0.
Définition 2: On dit que f tend vers ℓ, lorsque x tend vers x0 , si on peut rendre | f(x)− ℓ | «aussi
petit que l’on veut » à condition de prendre x « suffisamment proche de x0 ».On écrit alors :
lim f ( x ) = ℓ.
x→ x
0
Deuxième variante de la définition précédente
Définition 3: Soit f une fonction définie au voisinage V du nombre réel x0, sauf peut-être en x0, on
dit que f admet une limite réelle ℓ au point x0 si :
∀ℇ >0 , ∃α > 0 tel que ∀x∈V, 0 < x − x0 < α ⇒
f(x)− ℓ
<ℇ
Remarques : 1) La définition précédente est valable, même si f n’est pas définie en x0 .
2) ℇ est choisi arbitrairement.
Interprétation : On a vu que ℇ est choisi arbitrairement, lim f ( x ) = ℓ signifie que l’on peut
x→ x
0
rendre la distance entre f(x) et ℓ aussi petite que l’on veut `a condition de prendre x ”suffisamment
proche de x0”.
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Cours : Limites
Exercice 1: Soit f une fonction définie sur ℝ par f ( x ) = 5 .
Soit x0 un nombre appartenant à ℝ. Montrons que lim f ( x ) = 5
x→ x
0
Solution:
I-2- Limite à droite, limite à gauche de x0
I-2-1- Limite à droite
Soit f une fonction définie sur un intervalle de la forme ]x0 , b[ , où b est un nombre réel ou +∞.
Définition 4: On dit que f admet une limite réelle ℓ à droite de x0 si :
∀ℇ>0 , ∃α > 0 tel que ∀x∈ ]x0 , b[ , 0 < x − x0 < α ⇒
f(x)− ℓ
<ℇ
On écrit alors : lim f ( x ) = ℓ, ou encore lim f ( x ) = ℓ.
x→ x
0
x> x
0
x→ x +
0
Remarque : Cela signifie que x tend vers x0, mais tout en restant supérieur à x0.
I-2-2- Limite à gauche
Soit f une fonction définie sur un intervalle de la forme ]b ; x0 [ , où b est un nombre réel ou −∞.
Définition 5: On dit que f admet une limite réelle ℓ à gauche de x0 si :
∀ℇ>0 , ∃α > 0 tel que ∀x∈ ]x0 , b[ , −α < x − x0 < 0 ⇒
f(x)− ℓ
<ℇ
On écrit alors : lim f ( x ) = ℓ, ou encore lim f ( x ) = ℓ.
x→ x
0
x→ x −
0
x< x
0
Remarque : Cela signifie que x tend vers x0, mais tout en restant inférieur à x0.
Théorème 1 (admis): Soit f une fonction définie au voisinage V du réel x0 , alors on a l’équivalence
suivante :
lim f ( x ) = ℓ
x→ x
0
⇔
lim f ( x ) = ℓ = lim f ( x )
x→ x
0
x> x
0
x→ x
0
x< x
0
I-3- Limite infinie d’une fonction
Soit f une fonction définie sur son ensemble de définition Df .
Définitions 6:
- On dit que f est définie au voisinage V de − ∞, s’il existe un réel a tel que ] − ∞ , a [ ⊂ Df.
- On dit que f est définie au voisinage V de + ∞, s’il existe un réel a tel que ] a ; + ∞[ ⊂ Df.
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Cours : Limites
Exemples :
1
1
, x֏ 2
et x ֏ x 2 − 4 sont définies au voisinage de − ∞ et de + ∞
x
x −2
.2) Les fonctions x ֏ 3 − x et x ֏ x − 4 sont définies respectivement au voisinage de − ∞ et
de + ∞,
1) Les fonctions x ֏
I-3-1-Limite infinie d’une fonction à l’infini
Définition 7: 1) On dit que lim f ( x ) = + ∞ si et seulement si:
x → +∞
∀ A > 0 , ∃ B > 0 tel que ∀x∈V, ( x > B ⇒ f(x)>A)
2) On dit que lim f ( x ) = − ∞ si et seulement si:
x → +∞
∀ A > 0 , ∃ B > 0 tel que ∀x∈V, ( x > B ⇒ f(x)<−A)
f tend vers +∞ en +∞
Définition 8: 1) On dit que lim f ( x ) = + ∞ si et seulement si:
x→ − ∞
∀ A > 0 , ∃ B > 0 tel que ∀x∈V, ( x < − B ⇒ f(x)>A)
2) On dit que lim f ( x ) = − ∞ si et seulement si:
x→ − ∞
∀ A > 0 , ∃ B > 0 tel que ∀x∈V, ( x < − B ⇒ f(x)<−A)
Théorèmes 2 (admis): Les fonctions, x ֏ x 2 , x ֏ x 2 n (avec n entier naturel non nul) , ont pour
limite + ∞ en + ∞ ou − ∞ .
Les fonctions, x ֏ x x ֏ x , x ֏ x 3 x ֏ x 2 n+1 ont pour limite + ∞ en + ∞ et x ֏ x ,
x ֏ x 3 x ֏ x 2 n+1 ont pour limite − ∞ en − ∞ .
Exemples de fonctions qui n’ont pas de limite en +∞ ou en -∞.
Toutes les fonctions n'admettent pas nécessairement une limite lorsque x tend vers +∞ ou -∞.
Exemples : Les fonctions x ֏ sin x et x ֏ cos x dont les courbes sont données ci-dessous
n’admettent pas de limite, lorsque x tend vers +∞ ou -∞:
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Cours : Limites
I-3-2-Limite finie d’une fonction en +∞ ou en -∞..
Définition 9: Si f est une fonction définie sur un voisinage V de − ∞ . On dit que f admet une limite
réelle ℓ en − ∞ , si :
∀ℇ>0 , ∃ A > 0 tel que ∀x∈V, ( x < − A ⇒ f(x)− ℓ <ℇ).
On écrit alors : lim f ( x ) = ℓ,
x→ − ∞
Définition 10: Si f est une fonction définie sur un voisinage V de + ∞ . On dit que f admet une
limite réelle ℓ en + ∞ , si :
∀ℇ>0 , ∃A > 0 tel que ∀x∈V, ( x > A ⇒ f(x)− ℓ <ℇ).
On écrit alors : lim f ( x ) = ℓ.
x→ + ∞
f tend vers ℓ en +∞
Exercice 2: Soit f une fonction définie sur ℝ* par f ( x ) =
Montrer que lim f ( x ) = 0 .
1
.
x
x→ +∞
Solution:
Théorèmes 3 (admis): * Les fonctions x ֏
non nul) , x ֏
1
ont pour limite 0 en + ∞ .
x
1
x
* Les fonctions x ֏ , x ֏
limite 0 en − ∞ .
1
1
1
1
, x ֏ 2 , x ֏ 3 , x ֏ n (avec n entier naturel
x
x
x
x
1
1
1
,
x
֏
,
x
֏
(avec n entier naturel non nul), ont pour
x2
x3
xn
* Plus généralement , si une fonction f a une limite infinie en + ∞ ou − ∞ , alors
1
a pour limite 0
f
en + ∞ ou en − ∞ .
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Cours : Limites
I-4-Asymptote horizontale
Définition 11: On dit que la droite d’équation D : y= ℓ est une asymptote horizontale à la courbe
de f lorsque lim f ( x ) = ℓ ou lim f ( x ) = ℓ.
x→ − ∞
x → +∞
1
1
1
1


= 0 et lim = 0 donc lim  3 +  = 3 et lim  3 +  = 3 , d’où
x→ + ∞ x
x→ −∞ x
x → +∞ 
x→ − ∞ 
x
x
la droite d’équation y = 3 représente une asymptote horizontale à la courbe de la fonction
1
x ֏ 3+ .
x
Exemple : On sait que : lim
f tend vers 3 lorsque x tend vers +∞
Théorème 4 (admis): Soit f une fonction définie au voisinage V de x0 (nombre fini ou non)
Si f admet une limite finie en x0 alors cette limite est unique.
I-5- Limite infinie en un réel x0
Définition 12: Soit f une fonction définie au voisinage V du nombre réel x0.
lim f ( x ) = +∞ , si et seulement si :
x→ x
0
∀ℇ>0 , ∃α > 0 tel que ∀x∈V, 0 < x − x0 < α ⇒ f(x) >ℇ
Définition 13: Soit f une fonction définie au voisinage V du nombre réel x0.
lim f ( x ) = −∞ si et seulement si :
x→ x
0
∀ℇ>0 , ∃α > 0 tel que ∀x∈V, 0 < x − x0 < α ⇒ f(x) <−ℇ
Interprétation : On a vu que ℇ est choisi arbitrairement, lim f ( x ) = +∞ ou lim f ( x ) = −∞
x→ x
0
x→ x
0
signifie que l’on peut rendre f(x) aussi grand en valeur absolue que l’on veut à condition de prendre
x ” suffisamment proche de x0 ”.
f tend vers +∞ lorsque x tend vers x0
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Cours : Limites
Exercice 3: Soit f une fonction définie sur ℝ* par f ( x ) =
1
. Montrer que lim f ( x ) = +∞ .
x
x→ 0 +
Solution:
Théorèmes 5 (admis): * Les fonctions, x ֏
1
1
, , x ֏ 2 n (avec n entier naturel non nul) , ont
2
x
x
pour limite + ∞ , lorsque x tend vers 0 .
1
a pour limite + ∞ , lorsque x tend vers 0 + .
* La fonction x ֏
x
1
1
1
* Les fonctions x ֏ , , x ֏ 3 , x ֏ 2 n+1 (avec n entier naturel non nul), ont pour
x
x
x
−
limite − ∞ , lorsque x tend vers 0 et ont pour limite + ∞ , lorsque x tend vers 0 + .
* Plus généralement , si une fonction f a une limite 0 − ou 0 + , lorsque x tend vers x0, alors
1
a
f
pour limite respectivement − ∞ ou + ∞ .
I-6-Asymptote verticale
Définition 14: On dit que la droite d’équation D : x= a est une asymptote verticale à la courbe
de f lorsque lim f ( x ) = +∞ ou lim f ( x ) = −∞ .
x→ x
0
x→ x
0
Remarque : Une asymptote verticale n’existe que pour x tendant vers un nombre fini.
Exemples :
lim
x →0
1
x
2
= +∞
lim
x →0
x<0
1
x
2
= +∞
lim
x →0
x >0
1
x2
= +∞
La droite d’équation x=0 représente une asymptote verticale à la courbe de la fonction x ֏
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1
x2
Cours : Limites
II- Opérations sur les limites
a désigne soit un réel, soit + ∞ , soit − ∞ . ℓ et ℓ’ désignent des réels.
On admet les théorèmes suivants :
II-1° Limite de f + g
Si lim f ( x ) =
x→a
ℓ
ℓ
+∞
−∞
+∞
et lim g ( x ) =
ℓ
x→a
ℓ’
+∞
−∞
+∞
−∞
−∞
alors
lim( f + g )(x ) =
ℓ+ ℓ’
+∞
−∞
+∞
−∞
C .I .
(cas indéterminé)
x→a
II-2° Limite de f × g
Si lim f ( x ) =
x→a
ℓ>0 ℓ>0 ℓ<0 ℓ<0
+∞
+∞
−∞
0
et lim g ( x ) =
ℓ
x→a
ℓ’
+∞
−∞
+∞
−∞
−∞
+∞
−∞
− ∞ ou + ∞
alors
lim( f × g )(x ) =
ℓℓ’
+∞
−∞
−∞
+∞
−∞
+∞
+∞
C .I .
II-3° Limite de f / g
Si
lim f (x ) = ℓ ℓ>0
ℓ>0
ou
ℓ>0
ou
ℓ<0
ou
ℓ<0
ou
x→a
x→a
et
lim
g ( x ) = ℓ’0
x→a
alors
f
 (x) =
lim
x→a  g 
 
ℓ
ℓ′
+∞
+∞
ou
−∞
0
0
+∞
+
+∞
0
−
−∞
−∞
0
+
−∞
−∞
0
−
+∞
+∞
−∞
+∞
−∞
ℓ’<
ℓ’<
ℓ’>
ℓ’>
0
0
0
0
−∞
+∞
+∞
−∞
0
−∞
ou
+∞
0
−∞
ou
+∞
C .I .
C .I .
Remarque : D’après les tableaux précédents, les cas indéterminés (C.I.) sont
∞−∞
,
0×∞
,
0
0
et
∞
∞
En aucun cas ces écritures ne doivent être utilisées dans une rédaction, sur une copie.
Attention : Une indétermination ne signifie en aucun cas que la limite n’existe pas.
Ces cas nécessiteront une étude particulière, chaque fois qu’ils se présenteront.
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Page 8
Cours : Limites
IV- Détermination de limites
Théorème 6: Lorsque x tend vers + ∞ ou − ∞ , une fonction polynôme a la même limite que son
terme de plus haut degré.
Démonstration :
(
)
Exercice 4: Déterminer la limite suivante : lim 2 x3 − 3 x 2 − 1 .
x →+ ∞
Solution:
Théorème 7: Lorsque x tend vers + ∞ ou − ∞ , une fonction rationnelle a la même limite que le
rapport des termes de plus haut degré du numérateur et du dénominateur.
Démonstration :
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Page 9
Cours : Limites
Exercice 5: Déterminer les limites + ∞ de f, g et h définies respectivement par :
3x 3 − x 2 + 2 x − 4
f ( x) =
2x 3 + 5x 2
Solution:
,
x 2 − 3x − 1
g( x) =
2x 3 + 3
h( x) =
et
− 4x5 − x 2 + x − 5
2x 2 + 4x − 3
x−3
.
x − 6x + 8
Étudier le comportement de la fonction f au voisinage de 2 et au voisinage de 4 puis interpréter
graphiquement ces résultats.
Solution : Étudions d’abord le
x
−∞
+∞
2
signe de x 2 − 6 x + 8 :
x − 6x + 8
Exercice 6: Soit f la fonction définie sur ℝ − { 2 , 4 } par f ( x ) =
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Page 10
2
Cours : Limites
Asymptote oblique
Définition 15: On dit que la droite d’équation : y = ax + b est une asymptote oblique à la
courbe de f au voisinage +∞ ( resp.-∞ ) , si et seulement si :
lim [ f ( x ) − (ax + b )] = 0 ( resp. lim [ f ( x ) − (ax + b )] = 0 ).
x →− ∞
x → +∞
Remarques : – Une courbe et son asymptote peuvent se couper (même une infinité de fois) avant
que la courbe et l’asymptote deviennent voisines.
– Pour tout x ∈ D f , le signe de φ ( x ) = f ( x ) − (ax + b ) , donne la position relative de
C f par rapport à D.
Exercice 7: Soit f la fonction définie sur ℝ − {2} par f ( x) =
x 2 + 2x − 3
et C f sa
x−2
représentation graphique.
c
pour tout x ∈ D f .
x−2
En déduire que la droite D, d’équation y = ax + b (avec les réels a et b définis précédemment) est
1) Déterminer les réels a, b et c tels que f ( x) = ax + b +
asymptote oblique à C f au voisinage de +∞ et de -∞
2) Étudier la position relative de C f et de D.
Solution :
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Cours : Limites
Comment peut-on lever l'indétermination ∞− ∞ ?
Exercice 8: Soit f une fonction définie sur ℝ par : f ( x ) = x 2 + 2 x + 4 .
1) Déterminer lim f ( x ) et lim f (x ) .
x → +∞
x→− ∞
2) Démontrer que pour x > 0 la droite D, d’équation y = x + 1 est une asymptote oblique à C f .
3) Étudier la position relative de C f et de D.
Solution :
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Cours : Limites
Comment peut-on lever l'indétermination
0
?
0
Point méthode : Pour lever l'indétermination
0
en un point a :
0
- on commence par factoriser le numérateur et le dénominateur par x − a et ainsi on peut
simplifier le quotient par x − a (quand cela est possible).
- dans le cas des fonctions comportant des expressions racines, on utilise la multiplication du numérateur
et du dénominateur de la fonction par son expression conjuguée.
- l’utilisation du nombre dérivé.
x 2 − 3x + 2
.Étudier le
x 2 − 6x + 8
comportement de la fonction f au voisinage de 2, puis interpréter graphiquement ce résultat.
Solution :
Exercice 9: Soit f la fonction définie sur ℝ − { 2 , 4 } par f ( x ) =
La courbe précédente a été réalisée à l’aide du logiciel « Geogebra ». On constate que le trou
n’apparaît pas sur la courbe. La raison de cette absence est due à la façon dont le logiciel
se charge à tracer la courbe, en effet, le logiciel calcule par exemple les images de plusieurs
nombres compris dans l’intervalle d’étude, par exemple les images des nombres, comme :
− 1, − 0,77, 0,23 etc, mais si l’une de ces valeurs choisie n’est pas le nombre 2, alors le trou
n’apparaîtra pas sur la courbe ( ce qui se passe dans la majorité des cas) sauf si la chance
nous sourit.
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Page 13
Cours : Limites
x − 3 −1
et C f
x−4
sa représentation graphique. Étudier le comportement de la fonction f au voisinage de 4, puis
interpréter graphiquement ce résultat.
Solution :
Exercice 10: Soit f la fonction définie sur D f = [3,4[ ∪ ]4,+∞[ par f ( x) =
Comment peut-on lever l'indétermination 0 × ∞ ?
Exercice 11: Déterminons les limites de f et de g définies respectivement par :
3
x
f ( x) = (x 2 − 3)× 3
, g ( x) = (x − 2) ×
en + ∞ .
2
x − 2x
x −1
Solution :
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Page 14
Cours : Limites
V- Limite d’une fonction composée
Théorèmes 8 (admis): Soient f, g et h trois fonctions telles que f ( x ) = (g h )( x ) = g (h ( x )) .
Soient a, b et c trois réels de valeurs finies ou +∞ ou encore -∞ .
Si lim h ( x ) = b et si lim g ( X ) = c alors lim f ( x ) = c .
x→ a
X→b
x→ a
Exercice 12: Soit f la fonction définie par : f ( x) =
4 x 2 − 3x + 7
. Déterminer lim f ( x ) .
x→+ ∞
x2 −1
Solution :
VI- Théorème de d’encadrement (ou théorème des gendarmes)
Théorème 9: Soient f, g et h trois fonctions et a un réel ou + ∞ ou − ∞ , et ℓ un nombre réel.
Si pour tout réel x voisin de a, g ( x ) ≤ f ( x ) ≤ h( x ) et si lim g ( x ) = lim h ( x ) = ℓ, alors lim f ( x ) = ℓ.
x→ a
x→ a
x→ a
Démonstration:
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Page 15
Cours : Limites
VII- Théorèmes de comparaison à l’infinie
Théorème 10: Soient f, g et h trois fonctions et a un réel ou + ∞ ou − ∞ .
• Si pour tout réel x voisin de a, g ( x ) ≤ f ( x ) et si lim g ( x ) = +∞ , alors lim f ( x ) = +∞ .
x→ a
x→ a
• Si pour tout réel x voisin de a, f ( x ) ≤ h( x ) et si lim h ( x ) = −∞ , alors lim f ( x ) = −∞ .
x→ a
x→ a
Démonstration:
Exercice 13: 1) Prouvez que la fonction f définie sur ℝ par f ( x ) =
 x + sin x 
2) Déduisez-en la limites suivante : lim 
.
x → + ∞ 5 + 3 sin x


Solution :
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Page 16
1
est bornée.
5 + 3 sin x
Cours : Limites
Tableau récapitulatif
Hypothèse 1
Hypothèse 2
inégalité pour x proche de x0
Comportement pour x → x0
f (x ) ≤ g (x )
f tend vers +∞
g tend vers +∞
g (x ) ≤ f (x )
f tend vers -∞
g tend vers -∞
g (x ) − ℓ ≤ f (x )
f tend vers 0
g tend vers ℓ
f ( x ) ≤ g ( x ) ≤ h( x )
f et h ont la même limite ℓ
g tend vers ℓ
f (x ) ≤ g (x )
f et g admettent des limites en x0
Conclusion
lim f ( x ) ≤ lim g ( x )
x→ x
0
x→ x
0
On retrouve les mêmes théorèmes avec les suites.
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Page 17
Cours : Limites
Exercice 14: Déterminez les limites suivantes :
5 x 3 − 17 x 2 + 9 x + 3
1) lim
x →3
2x 2 − 5x − 3
− 2x 2 − 7 x + 4
2) lim
x → −4
16 − x 2
3) lim
x→ 5
4) lim
x→ + ∞
5) lim
x→ + ∞
7x +1 − x −1
3 x + 10 − 5
( 9x − 9x + 1 − 3x + 1)
(x − x x + 2x )
2
3
2
2
2 x 2 − sin x
x2 + 3
2x 2 −1
2x 2 + 1
a) Montrer que pour tout x on a : 2
≤ f (x ) ≤ 2
x +3
x +3
b) En déduire la limite de f lorsque x tend vers + ∞.
Exercice 15: Soit f la fonction définie par : f ( x ) =
Exercice 16: Soient f et g deux fonctions définies par : f ( x ) = 2 x 2 + cos x et g ( x ) = − x 2 + cos 2 x .
Calculer : lim f ( x ) et lim g ( x )
x → +∞
x → +∞
Exercice 17:
On considère la fonction f définie f ( x ) = x 2 + 5 x + 4 .
1) Démontrer la courbe (Cf) admet un axe de symétrie.
2) a) Déterminer la limite en − ∞ de ( f ( x ) + x ) puis en déduire l’équation d’une asymptote
Oblique à (Cf).
b) Déterminer l’équation de l’autre asymptote.
Exercice 18:
Soit f ( x ) =
x + 3 − 3x + 1
.
− x + 6 x 2 − 11x + 6
3
1) Déterminer l’ensemble de f.
2) Déterminer les limites en 1 puis en 2.
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Page 18
Cours : Limites