Rechengesetze f¨ ur Grenzwerte Differential- und Integralrechnung Rechengesetze f¨ ur Grenzwerte Zur Erinnerung: Eine Folge an heisst konvergent gegen den Grenzwert c, falls f¨ ur jedes ε > 0 es ein N gibt so, dass |an − c| ≤ ε f¨ ur alle n > N. Bis jetzt haben wir diese Definition noch u ¨ berhaupt nicht gebraucht. Doch sobald man allgemeine Eigenschaften konvergenter Folgen nachweisen will, ist diese Formulierung enorm n¨ utzlich. So gilt zum Beispiel folgender Satz. Jede konvergente Folge ist beschr¨ankt, d.h. es gibt eine Schranke S so, dass |an | ≤ S f¨ ur alle n ≥ 1 gilt. Beweis. F¨ ur den Umgang mit Folgen und ihren Grenzwerten gelten folgende Rechengesetze. Hier sollen nur zwei davon exemplarisch beweisen werden, die anderen folgen in a¨hnlicher Weise. n→∞ n→∞ Satz. Es seien an und bn zwei konvergente Folgen: an −−−→ a und bn −−−→ b. Dann gilt: n→∞ (a) an + bn −−−→ a + b n→∞ (b) an − bn −−−→ a − b n→∞ (c) an · bn −−−→ a · b n→∞ (d) λ · an −−−→ λ · b f¨ ur jede Konstante λ. an n→∞ a (e) −−−→ falls b 6= 0 und bn 6= 0 f¨ ur alle n. bn b Beweis. (a) (c) Man beachte, dass |an · bn − a · b| = |an bn − abn + abn − ab| ≤ |an bn − abn | + |abn − ab| = |an − a| · |bn | + |a| · |bn − b| 1 BaM
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