Corrigé 10 - IMAC

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IMAC-IS-ENAC
Cours de Dynamique des structures
Prof. I. Smith
EXERCICE 10
- Corrigé -
CORRIGE EXERCICE No 10
A.
m , Ix
x
L = 14 m
Choix de la forme de la déformée approximant le premier mode et qui satisfait les conditions
de bord :
𝑥
𝜓(𝑥) = −sin (𝜋 )
𝐿
𝜋
𝑥
𝐿
𝐿
𝜓′(𝑥) = − cos (𝜋 )
Avec :
𝜋 2
𝑥
𝜓′′(𝑥) = ( ) sin (𝜋 )
𝐿
𝐿
𝐿
Données :
a)
𝑥
𝐿
∫0 sin2 (𝜋 𝐿 ) 𝑑𝑥 = 2
Rappel :
m=6 t/m ;
h=1 m ;
L=14 m ;
Ix=40.5*104 cm4 ;
E=21*106 kN/m2
M=20 t ;
Fréquence propre de l’ouvrage
𝐿
𝑘 ∗ = ∫ 𝐸𝐼(𝑥)[𝜓′′(𝑥)]2 𝑑𝑥 =
0
𝐸𝐼𝜋 4 𝐿 2 𝑥
𝐸𝐼𝜋 4
𝑘𝑁
∫
sin
(𝜋
)
𝑑𝑥
=
≅ 1.5 ∙ 103
4
3
𝐿
𝐿
2𝐿
𝑚
0
𝐿
𝐿
𝑥
𝑚
̅𝐿
𝑚∗ = ∫ 𝑚(𝑥)[𝜓(𝑥)]2 𝑑𝑥 = 𝑚
̅ ∫ sin2 (𝜋 ) 𝑑𝑥 =
≅ 42𝑡
𝐿
2
0
0
𝜔𝑛 = √
b)
𝑘∗
≅ 6𝑟𝑎𝑑/𝑠
𝑚∗
Fréquence propre de l’ouvrage modifié
𝑘 ∗ = 1.5 ∙ 103
𝑘𝑁
𝑚
𝐿
𝑚∗ = ∫ 𝑚(𝑥)[𝜓(𝑥)]2 𝑑𝑥 + 𝑀[𝜓(𝑥 = 𝐿/2)]2 =
0
𝜔𝑛 = √
c)
𝑚
̅𝐿
+ 𝑀 ≅ 62𝑡
2
𝑘∗
≅ 4.9𝑟𝑎𝑑/𝑠
𝑚∗
Force statique équivalente
Choc mou :
Force due au camion :
𝐹𝑐ℎ𝑜𝑐 = 𝜔𝑛 𝑚1 𝑣1 = 30.32 ∙ 3 ∙ √2 ∙ 9.81 ∙ 1 ≅ 65𝑘𝑁
𝐹𝑐 = (𝑀 − 𝑚1 )𝑔 = (20 − 3) ∙ 9.81 ≅ 167𝑘𝑁
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𝐹𝑚𝑎𝑥 = 𝐹𝑐ℎ𝑜𝑐 + 𝐹𝑐 = 65 + 167 = 232𝑘𝑁
Force statique équivalente :
d)
EXERCICE 10
- Corrigé -
Ressort sur appui gauche
𝑥
On suppose que la forme de la déformée reste la même 𝜓(𝑥) = −sin (𝜋 𝐿 ). Pour le calcul de 𝑘 ∗ ,
il faut en plus considérer le travail virtuel du ressort :
𝛿𝑤𝑟𝑒𝑠𝑠𝑜𝑟𝑡 = 𝐾[𝜓′(𝑥 = 0)]2 =
𝜋2
𝐾
𝐿2
Où 𝜓′(𝑥 = 0) est la rotation interne du ressort. Ainsi :
𝐿
𝑘 ∗ = ∫ 𝐸𝐼(𝑥)[𝜓′′(𝑥)]2 𝑑𝑥 + 𝛿𝑤𝑟𝑒𝑠𝑠𝑜𝑟𝑡 =
0
𝐸𝐼𝜋 4 𝜋 2
𝑘𝑁
+ 2 𝐾 ≅ 2.0 ∙ 103
2𝐿3
𝐿
𝑚
𝑚∗ = 42𝑡
𝜔𝑛 = √
𝑘∗
≅ 6.9𝑟𝑎𝑑/𝑠
𝑚∗
En réalité, l’approximation de la déformée par la fonction sinusoïdale n’est pas valable pour des rigidités
plus grandes. Deux méthodes sont possibles pour obtenir une meilleure approximation.
Méthode 1 :
1) Déterminer la déformée sous une charge répartie 𝑞 (par exemple : poids propre) :
𝑞(𝐿 − 𝑥)𝑥[𝐾𝐿(3𝐿 − 2𝑥)𝑥 + 6𝐸𝐼(𝐿2 + 𝐿𝑥 − 𝑥 2 )]
𝜓(𝑥) = −
48𝐸𝐼(3𝐸𝐼 + 𝐾𝐿)
2) Déterminer 𝛿𝑤𝑓𝑙𝑒𝑥𝑖𝑜𝑛 , 𝛿𝑤𝑟𝑒𝑠𝑠𝑜𝑟𝑡 et 𝛿𝑤𝑖𝑛𝑒𝑟𝑡𝑖𝑒 et ainsi 𝑘 ∗ et 𝑚∗ .
3) Finalement,
𝜔𝑛 = √
𝑘∗
𝐸𝐼(24𝐸 2 𝐼 2 + 11𝐸𝐼𝐾𝐿 + 𝐾 2 𝐿2 )
= 18√14√ 4
∗
𝑚
𝑚
̅ 𝐿 (1116𝐸 2 𝐼 2 + 285𝐸𝐼𝐾𝐿 + 19𝐾 2 𝐿2 )
Méthode 2 :
Si l’équation de la déformée est trop compliquée à obtenir et que l’on dispose d’un programme
d’éléments finis :
1) Discrétiser le système en 𝑁 intervalles. Appliquer 𝑁 + 1 forces 𝐹𝑖 uniformément répartie sur
le système et déterminer la masse par intervalle 𝑚𝑖 .
2) Calculer les déplacements 𝑑𝑖 au droit des forces 𝐹𝑖 avec la méthode des éléments finis.
3) Finalement,
𝜔𝑛 = √
∑𝑁+1
𝑖=1 𝐹𝑖 𝑑𝑖
2
∑𝑁+1
𝑖=1 𝑚𝑖 𝑑𝑖
Plus le nombre d’intervalles augmentent, plus la solution se rapproche de la valeure exacte de la pulsation
propre (par le haut). Si 𝑁 → ∞, la solution est égale à celle de la méthode 1.
Voici la solution pour différentes valeurs de 𝐾 :
0
102
103
𝐾 [kNm/rad]
1ère approximation [rad/s] 5.99
6.00
6.09
Méthode 1 ou 2 [rad/s]
5.99
6.00
6.10
104
6.92
6.77
105
12.48
8.53
106
35.14
9.28
109
1095
9.39
Avec la 1ère approximation (déformée sinusoïdale), la pulsation diverge fortement de l’approximation
selon la méthode 1 ou 2 pour 𝐾 ≥105. Il faut donc être prudent sur le choix de la forme de la déformée.
La meilleure approximation en cas de doute est la déformée sous charge répartie.
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EXERCICE 10
- Corrigé -
B. Détermination de l’équation du mouvement
+
MI2
+
Convention:
+
MI1
FI1
Sous l'effet d'un déplacement x(t), les éléments apportent les contributions suivantes :
Type d’action
Valeur de l’effort associé
Désignation
Incrément du
déplacement en
x (t )
fonction de
Force due au
réssort
Force due à
l’amortisseur
FS 1
Kx
x
Kx x
FD 1
Cx
x
Cx x
FI 1
M 0 3L
MI 1
Effets de
l’inertie
I0
M 0 3L
x
2
3
M 0Lx
2
(3L)2 x
12 3L
I0
MI 2
M
M0
2
L x
8 L
2
9L2
12
3
x
M
4
M 0L2x
x
2
3
x
M 0Lx
2
2
x
3L
3
x
M L2x
4 0
3L
x
L
x
4
L
M
2
x
3
2L P(t )
F
Force externe
x
Contribution au
travail virtuel
P (t )2L
Travail effectué lors d'un déplacement virtuel compatible avec les liaisons :
wi
we
3
x
M 0Lx
2
2
3
x
M 0L2x
4
3L
M
L 2 x
x
4 L
Kx x
Cx x 0
P (t )2L
x
3
Equation du mouvement :
M 0Lx
1
Mx
2
Kx
Cx
2
P(t ) L
3
0
(M 0L
1
M )x
2
Cx
Kx
L 2 x
x
4 L
2
P (t ) L
3
Rappel : Les travaux des forces d’inertie sont toujours positifs. Les travaux des
ressorts et des amortisseurs sont toujours négatifs.
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