M2 Bestimmung der Schwerebeschleunigung Physikalische Grundlagen Ein physisches Pendel ist ein beliebig geformter um eine Achse A drehbar gelagerter Körper der Masse m. A s S  mg sin  mg Abb.1 physisches Pendel Hat der Schwerpunkt S den Abstand 𝑠 von der Drehachse, so wirkt bei einer kleinen Auslenkung um den Winkel 𝜑 aus der Ruhelage das rücktreibende Drehmoment 𝑀 = −𝑚𝑔𝑠 sin 𝜑 ≅ −𝑚𝑔𝑠 ⋅ 𝜑 (1) welches Ursache einer beschleunigten Drehbewegung ist. Für diese gilt 𝑀 = 𝐽𝐴 𝑑2 𝜑 𝑑𝑡 2 (2) mit dem Trägheitsmoment 𝐽𝐴 des Körpers bezüglich der Drehachse A. Nach Gleichsetzen der beiden Drehmomente erhält man eine Differenzialgleichung, welche die Schwingung des Pendels beschreibt. Die Periodendauer der Schwingung des physischen Pendels beträgt 𝑇𝐴 = 2𝜋 𝐽𝐴 𝑚𝑔𝑠 (3) Bei einem mathematischen Pendel (punktförmige Masse am masselosen Faden) beträgt das Trägheitsmoment 𝐽𝐴 = 𝑚 ⋅ 𝑠 2 (4) so dass die Periodendauer M2, 11/07, S.1 𝑇 = 2𝜋 𝑠 𝑔 (5) beträgt. Üblicherweise verwendet man bei physischen Pendeln die reduzierte Pendellänge , welche in (5) den Schwerpunktabstand 𝑠 ersetzen kann und folglich zu 𝑙= 𝐽𝐴 𝑚𝑠 (6) definiert werden muss. A l s S l-s B Abb.2 Reversionspendel Trägt man die reduzierte Pendellänge vom Punkt A ausgehend durch den Schwerpunkt S verlaufend auf dem Körper auf, erhält man einen zweiten möglichen Aufhängepunkt B des Pendels. Es ist bemerkenswert, dass die Schwingungsdauer, welche sich bei einer Schwingung um diesen Punkt ergibt, identisch ist mit der Schwingungsdauer um den Aufhängepunkt A. 𝑇𝐵 = 2𝜋 𝐽𝐵 𝐽𝐴 − 𝑚𝑠 2 + 𝑚 𝑙 − 𝑠 = 2𝜋 𝑚𝑔 𝑙 − 𝑠 𝑚𝑔 𝑙 − 𝑠 2 𝑚𝑠 2 2 = 2𝜋 𝐽𝐴 − + 𝑚 𝐽𝐴 /𝑚𝑠 − 𝑠 𝑚𝑔 𝐽𝐴 /𝑚𝑠 − 𝑠 = 2𝜋 𝐽𝐴 = 𝑇𝐴 𝑚𝑔𝑠 (7) Zum Beweis dieser Aussage wurde der Satz von STEINER und die Beziehung (6) benutzt. Bei dem im Versuch verwendeten KATERschen Reversionspendel ist die Länge 𝑙 zwischen den beiden möglichen Drehpunkten A und B fest vorgegeben und somit nicht automatisch von vornherein die reduzierte Pendellänge. Jedoch kann, durch Verschieben von Zusatzmassen auf dem stabförmigen Grundkörper des Pendels, 𝑙 zur reduzierten Pendellänge gemacht werden, was M2, 11/07, S.2 dann der Fall ist, wenn die Schwingungsdauern 𝑇𝐴 und 𝑇𝐵 gleich werden. Die Schwerebeschleunigung 𝑔 kann dann mit (5) bestimmt werden. Versuchsvorbereitung - Beschreibung von Drehbewegungen, Grundgesetz der Rotation - Berechnung von Massenträgheitsmomenten, Satz von Steiner - reduzierte Pendellänge - Erläutern Sie die Beziehung (7). - Berechnen Sie mit dem Gravitationsgesetz die Schwerebeschleunigung an der Erdoberfläche. Welche mathematische Abhängigkeit von 𝑟 (Abstand zum Erdmittelpunkt) hat 𝑔 bei Höhen 𝑟 > 𝑟𝐸 bzw. bei 𝑟 < 𝑟𝐸 ? Aufgaben - Bestimmen Sie die Schwingungsdauer des Reversionspendels für den Fall, dass der Abstand der beiden Aufhängepunkte gleich der reduzierten Pendellänge ist. Messen Sie dazu die Schwingungsdauern des Reversionspendels bei Aufhängung in den Punkten A und B in Abhängigkeit der Position der Zusatzmasse! - Stellen Sie Ihre Messwerte grafisch dar! - Aus der grafischen Darstellung ist die Periodendauer 𝑇𝐴 = 𝑇𝐵 (und deren Fehler) abzulesen und daraus die Schwerebeschleunigung zu berechnen. - Führen Sie eine Fehlerschätzung durch! M2, 11/07, S.3