PAT 1 กก (PART I) 5 180 ∗ sin 2 1 + sin 2 2 + ..... + sin 2 88 + sin 2 89 = (sin 2 1 + sin 2 89 ) + (sin 2 2 + sin 2 88 ) + ..... + (sin 2 44 + sin 2 46 ) + sin 2 45 = (sin 2 1 + cos 2 1 ) + (sin 2 2 + cos 2 2 ) + ..... + (sin 2 44 + cos 2 44 44 + 1 + 1 = 44.5 = 1 + 1 + 1 + ......... 2 ∴  1 2 )+    2 ∗ sin 2 91 + sin 2 92 + ..... + sin 2 179 = sin 2 89 + sin 2 88 + ..... + sin 2 1 = 44.5 ∗ sin 2 181 + sin 2 182 + ..... + sin 2 269 = sin 2 1 + sin 2 2 + ..... + sin 2 89 ∗ sin 2 271 + sin 2 272 + ..... + sin 2 359 = sin 2 89 + sin 2 88 + ..... + sin 2 1 = 44.5 sin 2 1 + sin 2 2 + sin 2 3 + ..... + sin 2 360 = 44.5 + sin 2 90 + 44.5 + sin 2 180 = 44.5 + 44.5 + sin 2 270 + 44.5 + sin 2 360 = 178 + 1 + 0 + 1 + 0 = 180 6 8100 sin 2 1 + 2 sin 2 2 + 3 sin 2 3 + ..... + 178 sin 2 178 + 179 sin 2 179 + 180 sin 2 180 sin 2 1 + 2 sin 2 2 + 3 sin 2 3 + ..... + 178 sin 2 2 + 179 sin 2 1 + 0 180(sin 2 1 + sin 2 2 + ..... + sin 2 89 ) + 90 sin 2 90 180(44.5) + 90 = 90[2(44.5) + 1] = 90(90) = 8100 9 3.5 sin a + 7 sin b = 4 sin c + 8 sin d → sin a − 8 sin d = 4 sin c − 7 sin b (1) cos a + 7 cos b = 4 cos c + 8 cos d → cos a − 8 cos d = 4 cos c − 7 cos b (2) (1) 2 , sin 2 a − 16 sin a sin d + 64 sin 2 d = 16 sin 2 c − 56 sin b sin c + 49 sin 2 b (3) (2) 2 , cos 2 a − 16 cos a cos d + 64 cos 2 d = 16 cos 2 c − 56 cos b cos c + 49 cos 2 b (4) (3) + (4) , 65 − 16 cos (a − d) = 65 − 56 cos (b − c) ∴ cos (a − d) cos (b − c) = 56 = 7 = 3.5 16 2 1 10 1 sin (A − B) = sin A cos B − cos A sin B sin (A − B) cos A cos B sin (A − B) cos A cos B 1 cos A cos B 1 cos 1 cos 0 = sin A cos B − cos A sin B cos A cos B cos A cos B = tan A − tan B = tan A(A− −tan B sin B) + cos 2 1cos 1 + cos 3 1cos 2 + ..... + cos 45 1cos 44 = 1 sin n tan 1 − tan 0 sin (1 − 0 ) + tan 2(2− −tan 1) + tan 3(3− −tan 2) + ..... + tan 45(45− −tan 44) = sin sin 1 sin 2 44 1 sin n 1 sin 1 (tan 1 − tan 0 + tan 2 − tan 1 + tan 3 − tan 2 + ..... + tan 45 − tan 44 ) = 1 sin 1 (tan 45 − tan 0 ) = 1 sin n → 1 sin 1 = 1 sin n ∴n = 1 23 0 ก A, B (acute = ) 3 sin 2 A + 2 sin 2 B = 1 → 3 sin 2 A = 1 − 2 sin 2 B → 3 sin 2 A = cos 2B 3 sin 2A − 2 sin 2B = 0 → sin 2B = 3 sin 2A 2 cos (A + 2B) = = = cos A cos 2B − sin A sin 2B cos A(3 sin 2 A) − sin A( 3 sin 2A) 2 3 sin 2 A cos A − 3 sin A(2 sin A cos A) = 0 2 25 9 (3 − 4 sin 2 9 )(3 − 4 sin 2 27 ) = cot n  3 sin 9 − 4 sin 3 9   3 sin 27 − 4 sin 3 27  = cot n    sin 9 sin 27  sin 27   sin 81  = cot n → cos 9 = cot n  sin 9   sin 27  sin 9 cot 9 = cot n ∴n = 9 2 1 sin n 26 1 cot 9 [4(1 − cos 2 9 ) − 1] [4(1 − sin 2 63 ) − 1] cot 9 [3 − 4 cos 2 9 ] [3 − 4 sin 2 63 ] cot 9 [−(4 cos 2 9 − 3)] [−(4 cos 2 27 − 3)] cos 9 sin 9 (4 cos 2 9 − 3)(4 cos 2 27 − 3)  4 cos 3 9 − 3 cos 9   4 cos 3 27 − 3 cos 27     cos 9 cos 27 1 (cos 27 )  cos 81  =  1  (sin 9 ) = 1 cos 27 sin 9 sin 9 cos 9 sin 9 27 b tan 60 = tan 3(20 ) → 3 20 3 = 3 tan 20 − tan 2 1 − 3 tan 20 → 3 (1 − 3 tan 2 20 ) = 3 tan 20 − tan 3 20 [ 3 (1 − 3 tan 2 20 )] 2 = (3 tan 20 − tan 3 20 ) 2 → 3(1 − 3 tan 2 20 ) 2 = 9 tan 2 20 − 6 tan 4 20 + tan 6 20 3(1 − 6 tan 2 20 + 9 tan 4 20 ) = 9 tan 2 20 − 6 tan 4 20 + tan 6 20 3 − 18 tan 2 20 + 27 tan 4 20 = 9 tan 2 20 − 6 tan 4 20 + tan 6 20 tan 6 20 − 33 tan 4 20 + 27 tan 2 20 = 3 28 2 sin A sin (60 − A) sin (60 + A) sin A[sin 60 cos A − cos 60 sin A][sin 60 cos A + cos 60 sin A] 3 2 sin A[ cos A − 1 sin A][ 2 3 2 cos A + 1 sin A] 2 sin A[ 3 cos 2 A − 1 sin 2 A] 4 4 1 sin A[3(1 − sin 2 A) − sin 2 A] 4 29 = 1 sin A[3 − 4 sin 2 A] 4 = 1 sin 3A 4 = 1 [3 sin A − 4 sin 3 A] 4 1 6 sin 3A = 2 3 ∴ sin A sin (60 − A) sin (60 + A) = 14 sin 3A (ก*+, 28) = 1  2  = 1 4 3 6 3 30 2 sin 25 sin 85 sin 35 ∴ sin 25 sin 85 sin 35 sin 75 = sin 25 sin (60 − 25 ) sin (60 + 25 ) = = 1 sin 3(25 4 ) ก*+, 28 1 sin 75 4 = = 1 sin 75 4 = 1 = 1 sin 30 = 1 (2 sin 15 cos 15 ) 4 sin 75 2 2 sin 15 cos 15 = sin 15 sin 75 31 255 cos 20 cos 40 cos 60 cos 80 = a b ./, a b 0123,34/ (sin 70 sin 50 sin 10 ) 1 = a 2 b sin 10 sin (60 − 10 )sin (60 + 10 )  12  = a b  1 sin 30   1  = a → a = 1  1   1  = 1 → a = 1 , b = 16 4  2 42 2 16 b b ∴ b2 − a 32 1 = 16 2 − 1 = 256 − 1 = 255 tan 5 tan 55 tan 65 tan 75 sin 5 sin 55 sin 65 cos 5 cos 55 cos 65 tan 75 sin 5 sin 55 sin 65 sin 85 sin 35 sin 25 tan 75 sin 5 sin (60 −5 ) sin (60 + 5 ) tan 75 sin 25 sin (60 − 25 ) sin (60 + 25 ) 1 sin 15 4 1 sin 75 4 tan 75 = cos 75 tan 75 = cot 75 tan 75 = 1 sin 75 กก !"!#$!%"&ก&&'% ()% 4