ติว ETV เฉลยพิชิตข้อสอบ PAT 1 ตรีโกณมิติ (Part 1) อ.ช้าง เ

 PAT 1
กก (PART I)
5 180
∗ sin 2 1 + sin 2 2 + ..... + sin 2 88 + sin 2 89
= (sin 2 1 + sin 2 89 ) + (sin 2 2 + sin 2 88 ) + ..... + (sin 2 44 + sin 2 46 ) + sin 2 45
=
(sin 2 1
+ cos 2 1
)
+ (sin 2 2
+ cos 2 2
)
+ ..... + (sin 2 44
+ cos 2 44
44 + 1 + 1 = 44.5
= 1 + 1 + 1 + .........
2
∴
 1 2
)+ 

 2
∗ sin 2 91 + sin 2 92 + ..... + sin 2 179
=
sin 2 89 + sin 2 88 + ..... + sin 2 1 = 44.5
∗ sin 2 181 + sin 2 182 + ..... + sin 2 269
=
sin 2 1 + sin 2 2 + ..... + sin 2 89
∗ sin 2 271 + sin 2 272 + ..... + sin 2 359
=
sin 2 89 + sin 2 88 + ..... + sin 2 1 = 44.5
sin 2 1 + sin 2 2 + sin 2 3 + ..... + sin 2 360
=
44.5 + sin 2 90 + 44.5 + sin 2 180
= 44.5
+ 44.5 + sin 2 270 + 44.5 + sin 2 360
=
178 + 1 + 0 + 1 + 0 = 180
6 8100
sin 2 1 + 2 sin 2 2 + 3 sin 2 3 + ..... + 178 sin 2 178 + 179 sin 2 179 + 180 sin 2 180
sin 2 1 + 2 sin 2 2 + 3 sin 2 3 + ..... + 178 sin 2 2 + 179 sin 2 1 + 0
180(sin 2 1 + sin 2 2 + ..... + sin 2 89 ) + 90 sin 2 90
180(44.5) + 90 = 90[2(44.5) + 1] = 90(90) = 8100
9 3.5
sin a + 7 sin b = 4 sin c + 8 sin d → sin a − 8 sin d = 4 sin c − 7 sin b
(1)
cos a + 7 cos b = 4 cos c + 8 cos d → cos a − 8 cos d = 4 cos c − 7 cos b
(2)
(1) 2 , sin 2 a − 16 sin a sin d + 64 sin 2 d = 16 sin 2 c − 56 sin b sin c + 49 sin 2 b
(3)
(2) 2 , cos 2 a − 16 cos a cos d + 64 cos 2 d = 16 cos 2 c − 56 cos b cos c + 49 cos 2 b
(4)
(3) + (4) , 65 − 16 cos (a − d) = 65 − 56 cos (b − c)
∴
cos (a − d)
cos (b − c)
= 56 = 7 = 3.5
16
2
1
10 1
sin (A − B) = sin A cos B − cos A sin B
sin (A − B)
cos A cos B
sin (A − B)
cos A cos B
1
cos A cos B
1
cos 1 cos 0
= sin A cos B − cos A sin B
cos A cos B
cos A cos B
= tan A − tan B
= tan A(A− −tan B
sin
B)
+ cos 2 1cos 1 + cos 3 1cos 2 + ..... + cos 45 1cos 44 = 1
sin n
tan 1 − tan 0
sin (1 − 0 )
+ tan 2(2− −tan 1) + tan 3(3− −tan 2) + ..... + tan 45(45− −tan 44) =
sin
sin
1
sin
2
44
1
sin n
1
sin 1
(tan 1 − tan 0 + tan 2 − tan 1 + tan 3 − tan 2 + ..... + tan 45 − tan 44 ) =
1
sin 1
(tan 45 − tan 0 ) =
1
sin n
→
1
sin 1
=
1
sin n
∴n = 1
23 0
ก A, B (acute = )
3 sin 2 A + 2 sin 2 B = 1 → 3 sin 2 A = 1 − 2 sin 2 B → 3 sin 2 A = cos 2B
3 sin 2A − 2 sin 2B = 0 → sin 2B = 3 sin 2A
2
cos (A + 2B)
=
=
=
cos A cos 2B − sin A sin 2B
cos A(3 sin 2 A) − sin A( 3 sin 2A)
2
3 sin 2 A cos A − 3 sin A(2 sin A cos A) = 0
2
25 9
(3 − 4 sin 2 9 )(3 − 4 sin 2 27 ) = cot n
 3 sin 9 − 4 sin 3 9   3 sin 27 − 4 sin 3 27  = cot n



sin 9
sin 27
 sin 27   sin 81  = cot n → cos 9 = cot n
 sin 9   sin 27 
sin 9
cot 9 = cot n
∴n = 9
2
1
sin n
26 1
cot 9 [4(1 − cos 2 9 ) − 1] [4(1 − sin 2 63 ) − 1]
cot 9 [3 − 4 cos 2 9 ] [3 − 4 sin 2 63 ]
cot 9 [−(4 cos 2 9 − 3)] [−(4 cos 2 27 − 3)]
cos 9
sin 9
(4 cos 2 9 − 3)(4 cos 2 27 − 3)
 4 cos 3 9 − 3 cos 9   4 cos 3 27 − 3 cos 27 



cos 9
cos 27
1
(cos 27 )  cos 81  =  1  (sin 9 ) = 1
cos 27
sin 9
sin 9
cos 9
sin 9
27 b
tan 60 = tan 3(20 ) →
3 20
3 = 3 tan 20 − tan
2
1 − 3 tan 20
→
3 (1 − 3 tan 2 20 ) = 3 tan 20 − tan 3 20
[ 3 (1 − 3 tan 2 20 )] 2 = (3 tan 20 − tan 3 20 ) 2 → 3(1 − 3 tan 2 20 ) 2 = 9 tan 2 20 − 6 tan 4 20 + tan 6 20
3(1 − 6 tan 2 20 + 9 tan 4 20 ) = 9 tan 2 20 − 6 tan 4 20 + tan 6 20
3 − 18 tan 2 20 + 27 tan 4 20
= 9 tan 2 20 − 6 tan 4 20 + tan 6 20
tan 6 20 − 33 tan 4 20 + 27 tan 2 20 = 3
28 2
sin A sin (60 − A) sin (60 + A)
sin A[sin 60 cos A − cos 60 sin A][sin 60 cos A + cos 60 sin A]
3
2
sin A[
cos A − 1 sin A][
2
3
2
cos A + 1 sin A]
2
sin A[ 3 cos 2 A − 1 sin 2 A]
4
4
1
sin A[3(1 − sin 2 A) − sin 2 A]
4
29 =
1
sin A[3 − 4 sin 2 A]
4
=
1
sin 3A
4
= 1 [3 sin A − 4 sin 3 A]
4
1
6
sin 3A = 2
3
∴ sin A sin (60
− A) sin (60 + A) = 14 sin 3A
(ก*+, 28)
= 1  2  = 1
4 3
6
3
30 2
sin 25 sin 85 sin 35
∴
sin 25 sin 85 sin 35
sin 75
=
sin 25 sin (60 − 25 ) sin (60 + 25 )
=
=
1
sin 3(25
4
)
ก*+, 28
1
sin 75
4
=
=
1
sin 75
4
= 1 = 1 sin 30 = 1 (2 sin 15 cos 15 )
4
sin 75
2
2
sin 15 cos 15 = sin 15 sin 75
31 255
cos 20 cos 40 cos 60 cos 80 = a
b
./,
a
b
0123,34/
(sin 70 sin 50 sin 10 ) 1 = a
2
b
sin 10 sin (60 − 10 )sin (60 + 10 )  12  = a
b
 1 sin 30   1  = a → a = 1  1   1  = 1 → a = 1 , b = 16
4
 2
42 2
16
b
b
∴ b2 − a
32 1
= 16 2 − 1 = 256 − 1 = 255
tan 5 tan 55 tan 65 tan 75
sin 5 sin 55 sin 65
cos 5 cos 55 cos 65
tan 75
sin 5 sin 55 sin 65
sin 85 sin 35 sin 25
tan 75
sin 5 sin (60 −5 ) sin (60 + 5 )
tan 75
sin 25 sin (60 − 25 ) sin (60 + 25 )
1
sin 15
4
1
sin 75
4
tan 75 = cos 75 tan 75 = cot 75 tan 75 = 1
sin 75
กก
!"!#$!%"&ก&&'%
()%
4