(補足資料2)補剛板全体パネルの座屈応力と座屈係数

20141210
技術者のための構造力学
資料 2 補剛板全体パネル
補剛板全体パネルの座屈
パネルの座屈応力と座屈係数
の座屈応力と座屈係数
三好崇夫
加藤久人
１．補剛板の定義と座屈形状の仮定
１．補剛板の定義と座屈形状の仮定
図－A.3.1 に示すように，4 辺単純支持された L×b の補剛板が x 軸方向に一様な圧縮応力 σ を受けて
いるものとする．四辺単純支持板，あるいは両縁支持板と同様に，この補剛板に対して面外たわみを仮
定し，エネルギー法を適用して弾性座屈応力の近似値を求める．
補剛板の座屈を考える場合，座屈を生じる時の全ポテンシャルエネルギーΠ は 0 である．補剛板の全
ポテンシャルエネルギーΠ は各部材に蓄えられる内部エネルギーの総和から，外力によってなされる外
部エネルギーの増分の総和を差し引いて次式で与えられる．したがって，
Π = U P + U L + U T − TP − TL = 0
(1.1)
ここに，UP：板パネルに蓄えられる内部エネルギー，UL：縦補剛材に蓄えられる内部エネルギー，
UT：横補剛材に蓄えられる内部エネルギー，TP：板パネルになされる外部エネルギーの増分，TL：縦補
剛材になされる外部エネルギーの増分である．
図－A.3.1 に示す補剛板の支持辺における境界条件を満たす，座屈後の面外たわみとして次式を仮定
する．
w = Amn sin
mπx
nπy
sin
L
b
(1.2)
ここに，Amn：たわみの大きさを表す係数，m，n：座屈形状の波数を表す正の整数 (=1, 2, 3,…)である．
２．板
２．板パネルに蓄えられる内部
パネルに蓄えられる内部エネルギー
に蓄えられる内部エネルギーU
エネルギー P
板パネルに蓄えられる座屈変形によるひずみエネルギーUP は，四辺単純支持板の座屈変形によるひず
みエネルギーの式と同様に次のように表される．
2
2
 ∂ 2 w  ∂ 2 w ∂ 2 w 
D b L  ∂ 2 w ∂ 2 w 
 − 2
U P = ∫0 ∫0  2 + 2  + 2(1 − µ )
 dxdy
2
∂y 
∂x ∂y 2 
 ∂x∂y 
 ∂x
x
横補剛材の断面二次モーメント IT
σ
bs
bs
bs
b=s×bs
縦補剛材の断面二次モーメント IL，断面積 AL
σ O
a
y
a
a
L=q×a
t
a
σt
σt
t
y
x
図－A.3.1 純圧縮を受ける補剛板
1
(2.1)
20141210
技術者のための構造力学
ここに，L：板パネルの長さ，b：板パネルの幅である．
式(2.1)における D は板曲げ剛性であって，次式で表される．
D=
Et 3
12(1 − ν 2 )
(2.2)
ここに，E：弾性係数，ν：Poisson 比，および t：板パネルの板厚である．
式(2.1)に式(1.2)で仮定したたわみ形状の微分を代入して積分すると，最終的に次式が得られる．
D  m2 n2 
U P = Amn π
Lb
+ 
8  L2 b 2 
2
2
4
(2.3)
資料 1 「はり要素，板要素に蓄積される内部エネルギー」では，四辺単純支持板が座屈を生じる場
合に蓄えられる内部エネルギーの計算式について紹介した．本式は次式で表される．
D  m2 n2 
U = Amn π
ab
+ 
8  a2 b2 
2
2
4
(2.4)
問題の同一性より，式(2.3)は式(2.4)において板長さを a → L としても得られる．
３．縦補剛材に蓄えられる内部エネルギー
縦補剛材に蓄えられる内部エネルギーU
に蓄えられる内部エネルギー L
y = ibs (i = 1, 2,…, s-1)に取付けられた縦補剛材に蓄えられる座屈変形によるひずみエネルギーUL は，
一つ一つの縦補剛材をはりと考えることによって，次式で与えられる．
2
2

EI  L  ∂ 2 w 
L ∂ w
L ∂ w
U L = L ∫0  2  dx + ∫0  2  dx + L + ∫0  2 
dx 
2   ∂x  y = bs
 ∂x  y = 2 bs
 ∂x  y = (i −1 )bs 
2
2
2
(3.1)
式(3.1)におけるたわみ w の x に関する 2 階偏微分は，式(1.2)より次のように求められる．
∂2w
mπx
nπy
 mπ 
= − Amn 
sin
 sin
2
∂x
L
b
 L 
2
(3.2)
式(3.2)を式(3.1)に代入すると，
 L  2  mπ  4

nπ 
2 mπ
x sin 2
bs dx
 sin
 ∫0  Amn 

L
b 
   L 



4

EI L  L  2  mπ 
2 mπ
2 nπ

UL =
+ ∫0  Amn 
x sin
2bs dx
 sin


2
L
b
  L 



4




nπ
L
2  mπ 
2 mπ
x sin 2
(s − 1)bs dx
 sin
+ L + ∫0  Amn 
L
b

  L 
 
(3.3)
nπ
 2 nπ

sin
bs + sin 2
2bs 

EI L 2  mπ  
 L 2 mπ
b
b
=
Amn 
xdx
 
∫0 sin
2
L
 L  + L + sin 2 nπ (s − 1)b 
s


b
4
式(3.3)の最右辺の被積分関数は，半角の公式を用いて次のように表される．
sin 2
mπ
1
mπ 
x = 1 − cos 2
x
L
2
L 
式(3.4)を式(3.3)に代入するとともに，式(3.3)最右辺に総和記号を用いると，
2
(3.4)
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技術者のための構造力学
EI
mπ 
L 1 
 mπ  s −1 2 nπ
ibs ∫0 1 − cos 2
x dx
U L = L Amn2 
 ∑i =1 sin
2
b
2
L 
 L 
4
EI
L
mπ
 mπ  s −1 2 nπ 
= L Amn2 
ibs  x −
sin 2
 ∑i =1 sin
4
b
2mπ
L
 L 

4
L

x
0
EI
L 
mπ 
 mπ  s −1 2 nπ 
= L Amn2 
ibs (L − 0 ) −
0
 ∑i =1 sin
 sin 2mπ − sin 2
4
b
2mπ 
L 
 L 

4
(3.5)
EI L 2  mπ  s −1 2 nπ 
L
(0 − 0 )
Amn 
ibs (L − 0 ) −
 ∑i =1 sin
4
b
2mπ
 L 


4
4
EI m π
nπ
= L 3
Amn2 ∑is=−11sin 2
ibs
4L
b
4
=
式(3.5)の最右辺において，bs = b / s より，
UL =
EI L m 4π 4 2 s −1 2 nπ
Amn ∑i =1 sin i
4 L3
s
(3.6)
nπ
=0
s
(3.7)
式(3.6)において，n = s, 2s, 3s,…ならば
sin 2 i
であるから UL=0 となる．すなわち，縦補剛材の位置は座屈波形の節となり，たわみが生じないため縦
補剛材に内部エネルギーの蓄積はない．
一方で，n ≠ s, 2s, 3s,…の場合については，次式で表される三角関数の総和の変換式を用いる．
n cos(n + 1)x sin nx
−
2
2 sin x
(3.8)
EI L m 4 π 4 2 s
EI L m 4 s
2
4
=
π
A
A
mn
mn
4 L3
2
8 L3
(3.9)
n
∑ sin jx =
2
j =1
式(3.8)の証明については後述する．
式(3.8)を用いると，UL は次のようになる．
UL =
式(3.9)の誘導に際しては，式(3.8)を用いて次の関係が成立することを利用した．
s −1
∑ sin i
2
i =1
nπ s
=
s
2
(3.10)
式(3.8)と(3.10)の関係は，式(3.8)の右辺第 2 項が 0 であることが示されればよいが，これは次のように
して導かれる．
式(3.10)において，次のようにパラメータを表すことにする．
nπ
=x
s
(3.11)
式(3.10)に式(3.11)と (3.8)の関係を代入すると
s −1
∑ sin i
i =1
2
nπ s −1 2
s − 1 cos sx sin (s − 1)x
= ∑ sin ix =
−
i
=
1
s
2
2 sin x
(3.12)
式(3.12)の最右辺第 2 項において，加法定理より次の関係が成立する．
sin (s − 1)x = sin (sx − x ) = sin sx cos x − cos sx sin x
式(3.13)を式(3.12)に代入すると，
3
(3.13)
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技術者のための構造力学
s −1
∑ sin i
2
i =1
nπ s − 1 cos sx(sin sx cos x − cos sx sin s )x
=
−
s
2
2 sin x
(3.14)
式(3.11)を sx について解けば次のようになる．
sx = nπ
(3.15)
式(3.15)を式(3.14)に代入すると，
s −1
∑ sin i
2
i =1
nπ s − 1 cos nπ (sin nπ cos x − cos nπ sin x )
=
−
s
2
2 sin x
(3.16)
式(3.16)において，cosnπ=±1，sinnπ=0 であることから，
s −1
∑ sin i
2
i =1
nπ s − 1 ± (0 ⋅ cos x m sin x ) s − 1 sin x
=
−
=
+
s
2
2 sin x
2
2 sin x
s −1 1 s
=
+ =
2
2 2
(3.17)
式(3.8)の証明を行うと以下のようになる．
式(3.8)は倍角の公式を用いると，
n
1 − cos(2 jx ) n 1 1 n
= ∑ − ∑ cos(2 jx )
j =1
j =1 2
2
2 j =1
n 1 n
= − ∑ cos(2 jx )
2 2 j =1
n
∑ sin jx = ∑
2
j =1
(3.18)
ここで，式(3.18)の最右辺第 2 項の総和に着目し，sin(-x)を乗ずると次のようになる．
sin (− x )∑ cos(2 jx ) = ∑ sin (− x ) cos(2 jx )
n
n
j =1
j =1
(3.19)
式(3.19)右辺の各項は，加法定理の逆公式より次のように表される．
sin (− x ) cos(2 jx ) = −
sin (1 − 2 j )x + sin (1 + 2 j )x
2
(3.20)
式(3.20)を式(3.19)に代入すると，
n
sin (− x )∑ cos(2 jx ) = −
j =1
1 n
∑ {sin (1 − 2 j )x + sin (1 + 2 j )x}
2 j =1
1 {− sin x + sin (3 x )} + {− sin (3 x ) + sin (5 x )} + {− sin (5 x ) + sin (7 x )}
=− 

2 + L + {− sin (2n − 1)x + sin (2n + 1)x}

− sin x + sin (2n + 1)x sin x − sin (2n + 1)x
=−
=
2
2
(3.21)
式(3.21)最右辺の分子は，加法定理より次のように表される．
sin x − sin (2n + 1)x = sin (nx − nx + x ) − sin (nx + nx + x )
= sin{(n + 1)x − nx} − sin{(n + 1)x + nx}
= sin (n + 1)x cos nx − cos(n + 1)x sin nx
− sin (n + 1)x cos nx − cos(n + 1)x sin nx
= −2 cos(n + 1)x sin nx
式(3.22)を式(3.21)へ代入すると，
4
(3.22)
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技術者のための構造力学
n
sin (− x )∑ cos(2 jx ) =
j =1
− 2 cos(n + 1)x sin nx
= − cos(n + 1)x sin nx
2
(3.23)
式(3.23)を総和について解けば，
n
∑ cos(2 jx ) = −
j =1
cos(n + 1)x sin nx
cos(n + 1)x sin nx
=−
− sin x
sin (− x )
cos(n + 1)x sin nx
=
sin x
(3.24)
式(3.24)を式(3.18)の最右辺第 2 項に代入すると，
n
∑ sin
2
jx =
j =1
n cos(n + 1)x sin nx
−
2
2 sin x
(3.25)
式(3.25)は式(3.8)に一致している．
４．横補剛材に蓄えられる内部エネルギーU
４．横補剛材に蓄えられる内部エネルギー T
横補剛材に蓄えられる内部エネルギーUT の式は，３章にて説明した縦補剛材に蓄えられる内部エネル
ギーUL の式について，補剛材長さを L → b，補剛材曲げ剛性を IL → IT，座屈波数を m → n，n → m，
補剛材本数を s → q なる読み替えを行うことによって容易に得られる．ただし，座屈の大きさを決定す
る係数 Amn は横補剛材についても Amn であって変更ない．すなわち，式(3.6)より，
UT =
EIT m 4π 4 2
q −1
mπ
Amn ∑i =1 sin 2 i
3
4b
q
(4.1)
式(4.1)において，m = q, 2q, 3q,…のときは，
sin 2
imπ
=0
q
(4.2)
であるから UT = 0 となる．即ち，横補剛材の位置は座屈波形の節となり，たわみがないため横補剛材
の内部エネルギーの蓄積は無い．
一方，m ≠ q, 2q, 3q,…のときは，縦補剛材の場合と同様に，式(3.8)を用いることにより，
UT =
4
EIT n 4π 4
2 q
2 4 EIT n q
A
=
A
π
mn
mn
4b 3
2
8b3
(4.3)
５．板パネルに
板パネルになされる外力仕事の増分 TP
板パネルになされる座屈変形による外力仕事の増分 TP は，四辺単純支持板の座屈変形による外力仕事
の増分の式と同様に次式で表される．
TP =
σt
2
b
L
0
0
∫∫
 ∂w 
  dxdy
 ∂x 
2
(5.1)
ここに，L：板の長さ，b：板の幅，σ：板面内の作用応力，および t：板厚である．
式(5.1)の被積分関数におけるたわみ w は，式(1.2)と同じく，
w = Amn sin
式(5.2)を x で 1 階微分すると，
5
mπx
nπy
sin
L
b
(5.2)
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∂w
mπ
mπx
nπy
= Amn
cos
sin
∂x
L
L
b
(5.3)
式(5.3)を式(5.1)に代入すると，
σt 
mπ 
TP =  Amn

2
L 
2
b L
∫∫
0 0
cos 2
mπx 2 nπy
sin
dxdy
L
b
(5.4)
式(5.4)の被積分関数は，倍角の公式を用いて次のように変形できる．
cos 2
mπx 2 nπy 1 
 2mπx 
 2nπy 
sin
= 1 + cos
1 − cos

4
L
b
 L  
 b 
(5.5)
式(5.5)を式(5.4)に代入すると，
σt 
mπ  1 b L 
 2mπx 
 2nπy 
TP =  Amn
 ∫0 ∫0 1 + cos
1 − cos
dxdy
2
L  4
 L  
 b 

2
σt 
2
σt 
2
mπ  b 
L
 2mπx  
 2nπy 
sin 
=  Amn
 ∫0  x +
 1 − cos
dy
8
L  
2mπ
 L  0 
 b 
L
2mπ
mπ  b 
L 
 
 2nπy 
L − sin 0  1 − cos
=  Amn
dy
 ∫0 (L − 0 ) +
 sin
8
L  
2mπ 
L
 
 b 
σt
m 2π 2
= Amn
8
L
=
σt
8
2
Amn2
(5.6)

b
 2nπy 
 x − 2nπ sin  b 

 0

b
2
m 2π 2 
b 
2nπb

2
2 m bt
(
)
b
0
sin
0
A
−
−
−
=
π
σ


mn

L 
2 nπ 
b
8L

６．縦補剛材になされる外力仕事の増分 TL
縦補剛材に作用する圧縮応力 σ によって座屈中になされる外力仕事の増分は，縦補剛材 1 本 1 本を断
面積 AL の柱と考えると，柱に作用する外力仕事から次式で表される．
TL =
2
σAL  L  ∂w 
2
2
L  ∂w 
L  ∂w 

dx
+
dx
+
L
+
dx 






∫0
∫
∫
0
0
2   ∂x  y =bs
 ∂x  y =2bs
 ∂x  y =(s −1)bs 
(6.1)
式(6.1)に式(5.3)を代入すると，
 L 2  mπ  2

nπbs
2 mπx
sin 2
dx
 cos
∫0 Amn 

L
b
 L 


2


σA  L 2  mπ 
mπx 2 2nπbs

cos 2
sin
dx
TL = L + ∫ Amn



2  0
L
b
 L 

2


L
2  mπ 
2 mπx
2 (s − 1)nπbs
+ L + ∫ Amn

cos
sin
dx


0
L
b


 L 
2nπbs
(s − 1)nπbs  L 2 mπx
 mπ   2 nπbs
A 
dx
=
+ sin 2
+ L + sin 2
 sin
∫0 cos
2
b
b
b
L
 L  

σAL
2
2
mn
式(6.2)の最右辺の被積分関数は，倍角の公式より次のように表される．
6
(6.2)
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mπx 1 
 2mπx 
= 1 + cos

2
L
 L 
cos 2
(6.3)
式(6.2)は式(6.3)を代入するとともに，総和記号を用いると，
σAL
 mπ 
TL =
A 

2
 L 
σAL
 mπ 
=
A 

4
 L 
=
=
2  mπ 
Amn


4
 L 
4
2
2
mn
σAL
σAL
2
2
mn
2
Amn
∑
L1
nπ
 2mπx 
ibs ∫ 1 + cos
dx
0
b
2
 L 
s −1
sin 2
i =1
L

nπ
L
 2mπx 
∑i=1 sin b ibs  x + 2mπ sin L 
0
s −1
2
(6.4)

nπ
L 
2mπL

ibs (L − 0 ) +
− sin 0 
 sin
b
2mπ 
L


m 2π 2 s −1 2 nπ
∑i =1 sin b ibs
L
2
∑
s −1
i =1
sin 2
図－1 からも明らかなように，s = b/bs であるから式(6.4)は
TL =
σAL
4
2
Amn
m 2π 2
L
∑
s −1
sin 2 i
i =1
nπ
s
(6.5)
式(6.5)において，n = s, 2s, 3s,…のときは次の関係が成立する．
sin 2 i
nπ
=0
s
(6.6)
したがって TL=0，即ち縦補剛材になされる外力仕事はない．これは座屈波形の節の位置において，長
さ方向の縮みがないからである．
一方，n ≠ s, 2s, 3s,…のときは，式(3.10)が成立するから，式(6.5)に式(3.10)を用いて，
TL =
σAL
4
2
Amn
A m2s
m 2π 2 s
2
= Amn
π2 L
σ
L 2
8L
(6.7)
７．座屈応力 σcr と座屈係数 kL
１章で述べたように，補剛板の全ポテンシャルエネルギーΠ は，式(1.1)に示したように，補剛板の座
屈を考える場合 0 である．
Π = U P + U L + U T − TP − TL = 0
(1.1)再
以上で算出した各エネルギーの値を式(1.1)に代入して座屈応力 σcr，座屈係数 kL を求める．これらの
エネルギーはそれぞれ以下のとおりである．
U P = Amn
2
D  m2 n2 

π
Lb
+
8  L2 b 2 
4
2
U L = Amn
π4
EI L m 4 s
8L3
U T = Amn π 4
2
2
TP = Amn
π2
7
EI T n 4 q
8b 3
m 2 bt
σ
8L
2
(2.3)再
(3.9)再
(4.3)再
(5.6)再
20141210
技術者のための構造力学
AL m 2 s
σ
8L
2
TL = Amn
π2
(6.7)再
式(2.3)，(3.9)，(4.3)，(5.6)および(6.7)を式(1.1)に代入すると，
2
Amn
2
4
4
D  m2 n2 
2 4 EI T n q
2
4 EI L m s
π
Lb
+  + Amnπ
+ Amn π
8  L2 b 2 
8 L3
8b 3
A m2s
m 2 bt
2
2
− Amn
π2
σ − Amn
π2 L
σ =0
8L
8L
4
(7.1)
式(7.1)の両辺を Amn2π2/8 で除して
2
4
4
 m 2 bt AL m 2 s 
 m2 n2 
2 EI L m s
2 EI T n q
σ
π DLb 2 + 2  + π
+π
= 
+
L 
b 
L3
b3
L
 L
m2
(bt + AL s )σ
=
L
2
(7.2)
式(7.2)を σ について解けば，
2
4
4 

 m2 n2 
L
2
2 EI L m s
2 EI T n q 


+
+
+
DLb
σ= 2
π
π
π


 L2 b 2 
m (bt + AL s ) 
L3
b3 




2
2
4 

 1
L
n2 
2 2
2 EI L m s
2 EI T n q 


=
+
+
+
m
DLb
π
π
π


 L2 b 2 m 2 
bt + AL s 
L3
m 2b 3 





1
n2
2 2
2  1
=
m π DL b 2 + 2 2
bt + AL s 
L b m

π 2 DL2
1
=

bt + AL s  b

 Dπ 2
1
=

bt + AL s  b

2
2
4


2 EI L m s
2 EI T n Lq 
 + π
+
π

L2
m 2b 3 


(7.3)
2
 mb n 2 
EI m 2π 2 s EI T n 4π 2 Lq 
 2 +
 + L 2
+

mb 
L
m 2b 3
L

 mb n 2 L 
EI m 2π 2 s EI T n 4π 2 Lq 

 + L 2
+
+

mb 
L
m 2b 3
 L

2
座屈を生じる時の σ を特に σcr と表すことにすると，
σ cr
 Dπ 2
1
=

bt + AL s  b

2
 mb n 2 L 
EI m 2π 2 s EI T n 4π 2 Lq 

 + L 2
+
+

mb 
L
m 2b 3 
 L

(7.4)
ここで，純圧縮を受ける四辺単純支持無補剛板の弾性座屈応力 σe は次式で表される．
σe =
π 2E
2
12(1 − ν 2 )(b t )
(7.5)
式(7.5)に式(2.2)を代入して板の曲げ剛度 D を用いて σe を表せば，
σe =
π 2D
t 3 (b t )
8
2
=
π 2D
b 2t
(7.6)
20141210
技術者のための構造力学
補剛板の弾性座屈応力 σcr を σe と補剛板の座屈係数 kL を用いて次のように表すことにする．
σ cr = k Lσ e
(7.7)
式)7.7)を kL について解けば，
kL =
σ cr
σe
(7.8)
式(7.8)に式(7.4)と(7.6)を代入すると，
 Dπ 2
1
b 2t
kL = 2

π D bt + AL s  b
 b 2 t Dπ 2
1
=

bt + AL s π 2 D b

2
 mb n 2 L 
EI L m 2π 2 s EI T n 4π 2 Lq 

 +
+
+

mb 
L2
m 2b 3
 L

2
 mb n 2 L 
b 2 t EI L m 2π 2 s b 2 t EI T n 4π 2 Lq 

 + 2
+
+ 2
 (7.9)
mb  π D
L2
m 2b3
π D
 L

  mb n 2 L  2 b 3t EI m 2 s b 3 t EI n 4 Lq 
1
L
T
 +
=
+
+
bt 

2
bt + AL s   L
mb 
Db L
Db m 2 b 3 


ここで，縦補剛材剛比 γL，横補剛材剛比 γT としてそれぞれ次式を定義する．
γL =
EI L
Db
(7.10)
γT =
EI T
Db
(7.11)
式(7.10)，(7.11)を式(7.9)に代入すると，
2
4
  mb n 2 L  2

1
3 γ Lm s
3 γ T n Lq 


kL =
b
t
b
t
+
+
+
bt 

bt + AL s   L
mb 
L2
m 2b3 


  mb n 2 L  2
b 2γ L m 2 s
b 2 γ T n 4 Lq 
1
 + bt
=
+
+
bt
bt 

bt + AL s   L
mb 
L2
m 2b3 


1
=
A s
1+ L
bt
(7.12)
2
 mb n 2 L  2

n4 L
2 b 


+
+
m
γ
s
+
q
γ
  L

T 
mb 
m 2b
L
 L

さらに，縦補剛材断面積比 δL として次式を定義する．
δL =
AL
bt
(7.13)
式(7.13)を式(7.12)に代入すると，
1
kL =
1 + sδ L
2
 mb n 2 L  2

n4 L
2 b 
 + m   sγ L + 2 qγ T 
+

mb 
m b
L
 L

(7.14)
純圧縮を受ける補剛板の座屈係数は式(7.14)で表される．
蛇足ながら，純圧縮を受ける補剛板の座屈応力は，式(7.7)に式(7.14)と(7.15)を代入することによって
次のように表される．
9
20141210
技術者のための構造力学
σ cr
1
=
1 + sδ L
2
 mb n 2 L  2

n4L
π 2E
2 b 
 + m   sγ L + 2 qγ T 
+

2
2
mb 
m b
L
 L
 12 1 − ν (b t )
(
10
)
(7.15)

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