Les quasi-cristaux Alexis Poncet Un peu de cristallographie Un théorème fondamental Les quasi-cristaux Comment une structure mathématiquement étrange se retrouve dans la nature Une étrange symétrie d’ordre 5 La quasipériodicité Alexis Poncet Groupement pour l’Initiative et la Culture Scientifiques 12 novembre 2014 Qu’y a-t-il dans un solide ? Les quasi-cristaux Alexis Poncet Un peu de cristallographie Un théorème fondamental Des entités : atomes, ions, molécules. Deux types d’arrangements : Solides amorphes : désordonnés (ex : verre) Solides cristallins : assemblage très régulier Une étrange symétrie d’ordre 5 La quasipériodicité En réalité cet ordre se limite souvent à des domaines Les types de solides cristallins Les quasi-cristaux Alexis Poncet Un peu de cristallographie Un théorème fondamental Une étrange symétrie d’ordre 5 La quasipériodicité Les métaux : fer, cuivre, zinc, ... Les solides ioniques : NaCl, ZnS, MgAl2 O4 , ... Les solides covalents : diamant, graphite, silicium Les solides moléculaires : glace, I2 , CO2 Quelques exemples de structures cristallines Les quasi-cristaux Alexis Poncet Un peu de cristallographie Un théorème fondamental Une étrange symétrie d’ordre 5 La quasipériodicité Exercice 1 : Arrangement compact de sphères Les quasi-cristaux Alexis Poncet Un peu de cristallographie Un théorème fondamental Une étrange symétrie d’ordre 5 La quasipériodicité Diffraction par un cristal Les quasi-cristaux Alexis Poncet Un peu de cristallographie Un théorème fondamental Une étrange symétrie d’ordre 5 La quasipériodicité θ Diffraction par un cristal Les quasi-cristaux Alexis Poncet Un peu de cristallographie Un théorème fondamental Une étrange symétrie d’ordre 5 La quasipériodicité λ Diffraction par un cristal Les quasi-cristaux Alexis Poncet Un peu de cristallographie Un théorème fondamental Une étrange symétrie d’ordre 5 La quasipériodicité λ Diffraction par un cristal Les quasi-cristaux Alexis Poncet λ Un peu de cristallographie Un théorème fondamental Une étrange symétrie d’ordre 5 La quasipériodicité d d = nλ (n ∈ N) Diffraction par un cristal Les quasi-cristaux Alexis Poncet λ Un peu de cristallographie Un théorème fondamental θ Une étrange symétrie d’ordre 5 La quasipériodicité d d = nλ (n ∈ N) ⇒ Seulement un nombre fini de valeurs de θ est possible. Diffraction par un cristal Les quasi-cristaux Alexis Poncet Un peu de cristallographie Un théorème fondamental Une étrange symétrie d’ordre 5 La quasipériodicité Figures de diffraction des cristaux : pics localisés. Les symétries de la figure de diffraction sont les mêmes que celles du cristal. Exemples de pavages périodiques du plan Les quasi-cristaux Alexis Poncet Un peu de cristallographie Un théorème fondamental Une étrange symétrie d’ordre 5 La quasipériodicité Exemples de pavages périodiques du plan Les quasi-cristaux Alexis Poncet Un peu de cristallographie Un théorème fondamental Une étrange symétrie d’ordre 5 La quasipériodicité Un théorème fondamental Les quasi-cristaux Alexis Poncet Un peu de cristallographie Un théorème fondamental Une étrange symétrie d’ordre 5 La quasipériodicité Théorème Soit E un ensemble de points invariant par translation selon deux vecteurs non colinéaires ~u et ~v . Soit R une rotation qui laisse cet ensemble invariant. Alors les seuls angles possibles pour R sont (au signe près) : 0˚, 60˚, 90˚, 120˚et 180˚. Remarque On dit qu’une rotation R correspond à une symétrie d’ordre k si R appliquée k fois redonne l’identité. Les seuls ordres possibles sont donc 1, 2, 3, 4 et 6. Exercice 2 : Démonstration du théorème Les quasi-cristaux Alexis Poncet Un peu de cristallographie Un théorème fondamental Une étrange symétrie d’ordre 5 La quasipériodicité Une grande surprise Les quasi-cristaux Alexis Poncet Un peu de cristallographie Un théorème fondamental Une étrange symétrie d’ordre 5 La quasipériodicité Daniel Shechtman (Nobel 2011), Ilan Blech, Denis Gratias, John Cahn « Metallic Phase with Long-Range Orientational order and No Translational Symetry », 1982 Alliage Aluminium / Manganèse Commentaires Les quasi-cristaux Alexis Poncet Un peu de cristallographie Un théorème fondamental Une étrange symétrie d’ordre 5 La quasipériodicité On observe des pics dans la figure de diffraction : il y a un ordre à longue distance dans l’arrangement du solide. Mais on observe une symétrie d’ordre 5 (en fait 10) : cela est incompatible avec un cristal périodique. L’explication se situe dans un arrangement quasi-périodique des atomes. Les fonctions presque-périodiques Les quasi-cristaux Alexis Poncet Un peu de cristallographie Un théorème fondamental Une étrange symétrie d’ordre 5 La quasipériodicité Fonction périodique f est périodique de période a ssi f (x + a) = f (x ) ∀x ∈ R Fonction presque périodique (définition approximative) f presque périodique ssi ∀ > 0, ∃a / ∀x , |f (x + a) − f (x )| < Si on se donne , on peut trouver une « presque période » a telle que la fonction se répète au bout de a à près. Exemple de fonction√presque périodique : f (x ) = sin(x ) + sin( 2x ) Exercice 3 : Autour du mot de Fibonacci Les quasi-cristaux Alexis Poncet Un peu de cristallographie Un théorème fondamental Une étrange symétrie d’ordre 5 La quasipériodicité On cherche à écrire un mot composé de A et de B. On commence avec A et on applique : A 7→ AB, B 7→ A. La limite est le mot infini de Fibonacci. Il n’est pas périodique. On peut le considérer comme un quasi-cristal de dimension 1. 1 A 2 AB 3 ABA 4 ABAAB 5 ABAABABA 6 ABAABABAABAAB 7 ABAABABAABAABABAABABA Les pavages de Penrose - Fléchette et cerf-volant Les quasi-cristaux Alexis Poncet Un peu de cristallographie Un théorème fondamental Une étrange symétrie d’ordre 5 La quasipériodicité Les pavages de Penrose - Losanges Les quasi-cristaux Alexis Poncet Un peu de cristallographie Un théorème fondamental Une étrange symétrie d’ordre 5 La quasipériodicité Alexis Poncet (ENS) - [email protected] Merci à Eliot Pacherie et Serge Dupont pour l’organisation de cette séance. Ce document est mis à disposition selon les termes de la Licence Creative Commons Attribution - Partage dans les Mêmes Conditions 4.0 International
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