TD P16 : premier principe

TD P16 : premier principe
exercice 1 : travail reçu par un gaz
Un piston de section S peut coulisser sans frottement dans le cylindre. On considère une mole de gaz
(CO2 ) enfermé dans le cylindre. Le vide règne de l’autre côté du piston. Les parois sont diathermanes et
l’extérieur est à la température T0 constante. A l’état initial est défini par (V0 , T0 ) et l’état final par
V0
( , T0 ).
2
Données : V0 = 24 L ; T0 = 298 K ; a = 3,63 bar.L2 .mol−2 et b = 43 mL/mol
On traitera le problème successivement pour les deux modèles suivants :
– il s’agit d’un gaz parfait
n2 a
– il s’agit d’un gaz de Van der Waals (P + 2 )(V − nb) = nRT
V
1. On exerce de manière très progressive une force sur le piston jusqu’à arriver à une intensité F,
permettant d’obtenir l’état final pour le gaz.
(a) Exprimer la pression du gaz pour un état intermédiaire correspondant à un volume V de gaz.
(b) Déterminer l’expression du travail de la force au cours de la transformation.
(c) Faire l’application numérique
2. On applique brutalement cette force F sur le piston jusqu’à obtenir l’équilibre thermodynamique
du système.
(a) Déterminer le travail de la force.
(b) Effectuer l’application numérique et comparer à la valeur précédente. Conclure.
Exercice 2 : cas d’un liquide(*)
De l’eau liquide dans les conditions (P0 , V0 , T0 ) subit une transformation quasi-statique mécaniquement
réversible, son volume restant infiniment voisin de V0 . Les coefficients thermoélastiques α et χT de l’eau
sont connus et supposés constants.
1. Justifier l’expression du travail élémentaire sous la forme δW = V0 P ( χT dP - αdT ) .
2. Préciser le travail reçu par l’eau du milieu extérieur lors des transformations suivantes :
a) transformation isochore ;
b) transformation isobare (on exprimera W en fonction de α , P0 , V0 , T0 et T1 la température atteinte) ;
c) transformation isotherme (on exprimera W en fonction de χT , V0 , P0 et P1 la pression atteinte).
Exercice 3 : cas d’un solide
Un solide a une compressibilité isotherme χT constante. Il subit une transformation isotherme telle que
la pression passe de la valeur P1 à la valeur P2 .
1. Calculer le travail reçu par le solide de l’extérieur. A.N. : χT = 1,0.10−11 Pa−1 ; P1 = 1 bar ; P2 = 100
bars ; Vin = 1,0 L .
2. Comparer au travail que recevrait un gaz parfait de même volume initial sous la pression P1 lors d’une
transformation identique.
Exercice 4 : travail reçu par un gaz pour différents chemins suivis
On considère 2,0 moles de dioxygène, gaz supposé parfait, que l’on peut faire passer réversiblement de
l’état initial A (PA , VA , TA ) à l’état final B (PB = 3 PA , VB , TB = TA ) par trois chemins distincts :
1. chemin A1 B : transformation isotherme ;
2. chemin A2 B : transformation représentée par une droite dans le diagramme de Clapeyron ;
3. chemin A3 B : transformation composée d’une isochore puis d’une isobare.
Représenter les trois chemins dans un diagramme de Clapeyron, puis calculer dans chaque cas les travaux
mis en jeu en fonction de TA .
A.N. : TA = 300 K .
exercice 5 : transfert thermique reçu par un gaz parfait
Un gaz parfait est contenu dans un cylindre clos par un piston. La température initiale du gaz est égale
à la température extérieure T1 = 293 K, sa pression est P1 = 1,0 bar et son volume est V1 = 5,0 L. On
néglige le poids du cylindre devant la force pressante due à l’atmosphère. Les parois du cylindre et le
piston sont de « bons » conducteurs de la chaleur (diathermanes).
1
1. On appuie « lentement » sur le piston, de manière à assurer à chaque instant l’équilibre thermique
entre le gaz et l’extérieur, jusqu’à ce que le gaz atteigne la pression P2 = 10 bars. Calculer le volume
final V2 occupé par le gaz, sa variation d’énergie interne ainsi que le travail et le transfert thermique
reçus par le gaz.
2. On applique d’un seul coup une surpression extérieure, par exemple en posant une masse sur le
piston, de telle sorte que la pression extérieure passe brusquement de la valeur P1 à la valeur P2 .
On attend qu’un état d’équilibre thermique se réinstaure avec l’extérieur. Calculer le volume final
V2 ’ occupé par le gaz, sa variation d’énergie interne ainsi que le travail et le transfert thermique
reçus par le gaz.
exercice 6 : Chauffage d’un gaz à l’aide d’un élément électrique
Soit un système piston-cylindre contenant initialement V1 = 0,50
m3 d’azote à P1 = 400 kPa et à θ1 = 27˚C. L’élément chauffant
électrique est allumé, et un courant d’intensité I = 2,0 A y circule
pendant τ = 5,0 min sous la tension E = 120 V. L’azote se détend
de manière isobare.
Au cours de cette transformation, le gaz cède aux parois et au
piston un transfert thermique Qgaz/paroi = 2 800 J.
Déterminer la température finale T2 de l’azote.
Données : M (N2 )=28,0 g/mol ; capacité thermique massique à
pression constante du diazote : cP = 1,039 kJ.K −1 .kg −1 .
exercice 7 : calorimétrie
Un calorimètre et ses accessoires (agitateur, thermomètre,...) possède une capacité calorifique C. Un calorimètre est un récipient dont les parois sont thermiquement isolées. C’est comme une bouteille thermos,
à ceci près que le récipient possède une paroi mobile : dans une bouteille thermos, le volume est constant,
dans un calorimètre, la pression est constante. Les échanges thermiques à l’intérieur du calorimètre se
font à pression constante.
Donnée : ceau = 4,18 J.g−1 .K−1 .
1. Le calorimètre contenant une masse d’eau M = 95 g à la température t1 = 20˚C, on lui ajoute
une masse m = 71 g d’eau à la température t2 = 50,0˚C. Après quelques instants, la température
d’équilibre observée est tf = 31,3˚C. En déduire la valeur de la capacité thermique C du calorimètre.
Calculer la masse en eau µ équivalente au calorimètre.
2. Le même calorimètre contient maintenant M’ = 100 g d’eau à t1 ’ = 15˚C. On y plonge un échantillon
métallique de masse m’ = 25 g qui sort d’une étuve à t2 ’ = 95˚C. La température d’équilibre est
tf ’ = 16,7˚C. Calculer la capacité calorifique massique moyenne c du métal dans ce domaine de
température.
exercice 8 : évolution de la température d’un conducteur ohmique
Un conducteur ohmique de résistance électrique R, de capacité thermique C, est placé dans l’air de
température T0 . Lorsque la température de la résistance est T > T0 , on admet que le transfert thermique
δQ perdu pendant une durée dt est donnée par la loi de Newton :
δQ = aC(T − T0 )dt
où a est une constante. À la date t = 0, la résistance étant à la température T0 , on fait passer dans la
résistance électrique un courant d’intensité I constante.
1. Quelle est la dimension de la constante a ?
2. En faisant un bilan énergétique sur une durée dt, établir l’équation différentielle vérifiée par T(t).
3. Identifier la constante de temps τ du phénomène ainsi que la température T∞ atteinte par la
résistance au bout d’une durée t τ .
exercice 9 : détente brutale d’un gaz parfait (*)
Un gaz parfait, de coefficient γ , est contenu dans un cylindre muni d’un piston, l’ensemble étant calorifugé.
La pression extérieure est P0 . Dans l’état initial, le piston est bloqué et le gaz est comprimé sous la pression
P1 > P0 , occupant le volume V1 à la température T1 . On libère le piston et on laisse le système atteindre
P0
un nouvel état d’équilibre. On pose x =
.
P1
2
1. Exprimer la température T2 du gaz à l’équilibre, en fonction de γ, x, et T1 .
2. Comparer T2 à T1 .
3. Exprimer le volume V2 du gaz à l’équilibre, en fonction de γ, x, et V1 .
exercice 10 : détermination d’une chaleur latente
Un calorimètre contient M = 1,00 kg d’eau, la température de l’ensemble est t1 = 15,00˚C. On y ajoute
la même masse d’eau à la température t2 = 65,00˚C. La température d’équilibre est t3 = 38,85˚C.
1. Déterminer la capacité thermique du calorimètre Ccal et son équivalent en eau µcal . On donne ceau
= 4186 J.K−1 .kg−1
2. Le même calorimètre contient M = 1,00 kg d’eau, la température de l’ensemble est t1 = 15,00˚C. On
y ajoute une masse m = 50,0 g de glace à la température t4 = 0,00˚C. La température d’équilibre
est t5 = 10,87˚C. Déterminer la chaleur latente de fusion de la glace.
3. Le calorimètre contient M = 1,00 kg d’eau, la température de l’ensemble est t1 = 15,00˚C. On y
ajoute une masse m = 50,0 g de glace à la température t6 = - 5,00˚C. La température d’équilibre
est t7 = 10,75˚C. Déterminer la capacité thermique massique de la glace.
exercice 11 : analyse d’un diagramme (P, h ).
Pour l’étude des fluides condensables, l’un des diagrammes les plus utilisés est le diagramme (P, h) dans
lequel on porte la pression P en ordonnée et l’enthalpie massique h en abscisse. La figure ci-dessous
montre un tel diagramme pour l’eau.
1. Identifier les domaines du liquide, de la vapeur sèche et des états d’équilibre liquide-vapeur. Où se
situe le point critique C ?
2. Justifier la forme des isothermes.
3. Expliquer comment déterminer l’enthalpie de vaporisation à une température T .
4. Montrer que l’on peut écrire un théorème des moments comme dans le diagramme de Clapeyron.
3
exercice 12 : expérience de Clément et Desormes
On considère un ballon de grand volume V1 contenant de l’air ( G.P. )
sous une pression P1 légèrement inférieure à P0 . Le manomètre indique
une dénivellation h1 .
On ouvre le robinet pendant une courte durée. Une petite quantité d’air
entre dans le ballon. La pression de l’air dans le ballon devient P2 =
P0 . Cette légère compression va provoquer un léger échauffement du gaz.
Cette compression étant rapide et la pression étant modifiée de manière
faible, elle peut être considérée comme adiabatique et réversible ( l’air
entrant joue le rôle d’un piston qui comprime l’air du ballon ).
Ensuite le gaz va se refroidir pour retrouver la température T0 , la pression
va passer de P0 à P3 . ( la nouvelle dénivellation est h3 ) Au cours de cette
étape on peut considérer que la transformation est isochore. On étudiera
le système constitué de l’air se trouvant dans le ballon à la fin de la
dernière étape.. Les variations de pression dans les diverses étapes sont
infinitésimales.
1. Tracer le diagramme de Clapeyron.
2. Déterminer γ en fonction de P1 , P3 et P0 puis en fonction de h1 et
h3 . ( On rappelle que pour une transformation adiabatique réversible
d’un G.P. P.Vγ = Cte )
exercice 13 : détente dans le vide d’un gaz parfait
Deux récipients de même volume V sont reliés par un mince tube sur lequel est monté un robinet.
L’ensemble est calorifugé. Le robinet étant fermé, le récipient (1) contient 1 mol d’un GP de coefficient
γ = 1.4, à la température t0 = 0˚C, sous la pression P0 = 1 bar, et le récipient (2) est vide. Le robinet
est alors ouvert, ce qui permet un écoulement gazeux « lent » du récipient (1) vers le récipient (2). Le
robinet est fermé dès que les pressions dans les deux récipients deviennent identiques. On note P cette
pression commune, t1 la température du gaz restant dans le récipient (1) et t2 la température du gaz
transvasé dans le récipient (2). On note x la quantité de matière restant dans le récipient (1).
1. Etablir une relation entre les températures t0 , t1 , t2 et la valeur x.
2. Calculer la pression P.
3. Quelle est la nature de la transformation subie par le gaz restant dans le récipient (1) ? En déduire
la valeur de x.
4. Calculer les températures t1 et t2 .
Réponses :
exercice 1 : GP : W= nRT0 ln2 = 1,7 kJ ; 2 : GP : W = nRT0 = 2,5 kJ
4
exercice 4 : W1 = nRTA = 5, 5 kJ ; W1 = nRTA = 6, 7 kJ ; W3 = 2nRTA = 10 kJ
3
exercice 5 : 1. Q = -1,2 kJ ; V2 = 0,50 L ; 2. Q = -4,5 kJ ; V’2 = 0,50 L
Q
exercice 6 : T2 = T1 +
= 330 K
P1 V1 M (N2 )cp
RT1
exercice 7 : C = 94 J/K ; µ =22 g ; 2. c = 0,44 kJ.kg−1 .K−1
1
RI 2
exercice 8 : 3. τ = ; T∞ = T0 +
a
aC
(γ − 1)x + 1
(γ − 1)x + 1
exercice 9 : 1. T2 =
T1 ; 3. V2 =
V1
γ
γx
exercice 10 : 1. µcal = 96,44 g ; 2. Lf us = 333,5 kJ/kg ; 3. cglace = 2, 303 J.kg −1 .K −1
exercice 11 : 1. liquide à basse enthalpie, haute pression (à gauche de la courbe de saturation) et vapeur
à droite de cette courbe ; point critique pour T = 370 K, P = 220 bars environ.
h1
exercice 12 : γ =
h1 − h3
T2 − T0
P0
exercice 13 : 1. x =
; 2. P =
; 4. T1 = - 49 ˚C et T2 = 77˚C
T2 − T1
2
4
Répertoire P16
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transformation
transformation brutale /quasi-statique
transformation réversible / irréversible
travail des forces de pression
parois diathermanes / athermanes, calorifugées
transformation isochore
transformation isobare
transformation monobare
transformation isotherme
transformation monotherme
transformation cyclique
transformation adiabatique
cycle moteur / récepteur
compression
détente
conduction thermique / convection / rayonnement
loi de Newton pour les pertes thermiques
premier principe
enthalpie
capacité thermique à pression constante
relation de Mayer
enthalpie de changement d’état
réaction exothermique / endothermique
5
Vrai ou faux P16
1. L’énergie interne est de nature microscopique.
2. La variation d’énergie interne d’un système est égale à la somme des travaux de toutes les forces
extérieures
3. Le rôle d’une isolation thermique est de maintenir la température du système constante.
R
4. Le travail des forces de pression s’écrit W = − P dV .
5. Pendant une transformation monobare, P = Cte.
6. L’enthalpie H est une fonction d’état seulement pour un gaz parfait.
7. Au cours d’une transformation, la variation d’une fonction d’état dépend du chemin suivi.
8. Au cours d’une transformation isotherme réversible, la température du système est égale à celle du
milieu extérieur.
9. Il existe trois modes de transfert thermique.
10. L’enthalpie molaire d’un gaz parfait monoatomique vaut Hm = 27 RT .
11. L’enthalpie d’un liquide dépend de son volume.
12. L’enthalpie de sublimation d’un corps pur est positive.
Réponses : 1. V ; 2. F ; 3. F ; 4. F ; 5. F ; 6. F ; 7. F ; 8. V ; 9. V ; 10. F ; 11. V ; 12. V
6

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