Sujet de 2014

M´ecanique des fluides :
Devoir maison
Licence 3 Mention M´ecanique et Sciences pour l’Ing´enieur
ENS Rennes
–A rendre imp´erativement pour le jeudi 20 Mars 2014 `a 8h00–
–On comptera 1 point en moins par jour de retard, dont 1 point d`es 10h, le 20 mars.–
Il est demand´e de bien d´etailler les calculs et d’expliquer votre d´emarche.
1
Vase tournant
On consid`ere un r´ecipient cylindrique, contenant un fluide r´eel incompressible, mis en rotation,
a` une vitesse angulaire ω constante, autour de son axe de r´evolution. La pression de l’air ambiante,
autour du cylindre est p0 , elle est homog`ene. La hauteur du fluide dans le r´ecipient, au repos, est h, et
la hauteur du cylindre H. Le diam`etre int´erieur du r´ecipient vaut D. Le fluide est visqueux, newtonien
et on le consid`ere en adh´esion avec la parois lat´erale du r´ecipient, en r´egime permanent.
Figure 1 – R´ecipient cylindrique en rotation.
La pression environnante de l’air autour du dispositif est p0 . On n´eglige tout effet de frottement
avec l’air environnant, et les frottements des liaisons m´ecaniques du syst`eme. La pesanteur est telle
que ~g est colin´eaire `
a l’axe de rotation du r´ecipient.
On n´eglige les effets de l’adh´esion sur le fond du r´ecipient, ou plus exactement, on admet que le
champ de vitesse ne d´epend pas de z.
1
1.1
Questions :
A partir d’une certaine vitesse de rotation ω, le fluide va d´eborder.
– D´eterminer l’expression de ω pour laquelle le fluide d´eborde.
En admettant que le fluide ne d´eborde pas, `a partir d’une certaine vitesse, le milieu du r´ecipient
ne sera plus immerg´e. Au del`
a de cette vitesse, une zone circulaire, de rayon Ri n’est plus immerg´ee
au centre du r´ecipient.
– Donner la vitesse de rotation ω `
a partir de laquelle une partie du fond n’est plus immerg´e.
– Donner le rayon Ri en fonction de ω.
En l’absence de tout frottement avec l’air et au niveau de la liaison :
– Donner l’expression du couple n´ecessaire pour maintenir le cylindre `a vitesse de rotation constante,
quelque soit ω.
2
Vortex
Au sein d’un fluide se forme un vortex instable (un tourbillon), tel que l’´equation du champ de
vitesse, en coordonn´ees cylindriques, vaut :
~v = vθ (r, t) ~eθ
(1)
~g = −g ~ez
(2)
La pesanteur est telle que :
Le fluide est r´eel, incompressible, de masse volumique ρ, de hauteur h. Pour simplifier le probl`eme
on ne va traiter que de la forme stationnaire du vortex, qui en r´ealit´e n’existe pas physiquement (voir
les vortex plus ”physiques” : vortex de Rankine et de Lamb-Oseen). La forme th´eorique stable est :
1
~eθ
(3)
2πr
A est appel´e ”circulation”. On remarquera, ce qui peut paraˆıtre ´etonnant, que ce tourbillon est
irrotationnel.
~v = A ×
On prendra z = 0 `
a la surface du fluide, en r → +∞, et donc z = −h au fond du fluide. En z = 0
et r → +∞, le fluide n’´etant plus perturb´e par le vortex, la pression du fluide ´equivaut `a la pression
de l’air (p0 ).
2.1
Questions (sur la forme stationnaire)
On consid`ere pour commencer un fluide parfait (η = 0) :
1. Donner l’´equation de la surface du fluide.
2. On remarquera donc que le fluide se creuse au milieu du vortex. En d´eduire le rayon de la zone
non-immerg´ee au coeur du vortex, au fond du fluide (`a la profondeur h).
3. En d´eduire l’expression de la vitesse maximale du fluide.
On consid`ere un fluide r´eel (η 6= 0). On n´eglige les effets de l’adh´esion sur le fond du fluide, ou
plus exactement, on admet que le champ de vitesse ne d´epend pas de z.
1. Donner l’´equation de la surface du fluide. Que remarquez-vous par rapport au fluide parfait ?
2. On remarquera donc que le fluide se creuse au milieu du vortex. En d´eduire le rayon de la zone
non-immerg´ee au coeur du vortex, au fond du fluide (`a la profondeur h).
3. En d´eduire l’expression de la vitesse maximale du fluide.
4. Donner le tenseur des contraintes dans le fluide, et v´erifier qu’il est coh´erent (que loin du vortex,
on retrouve un tenseur ”attendu”, sans vortex).
5. Donner en particulier ce tenseur en z = −h (au fond du fluide), au bord du vortex.
Aide : les ´equations de Navier-Stokes sont donn´ees en coordonn´ees cylindriques sur ”wikipedia”
sur la page d´edi´ee `
a l’´equation de Navier-Stokes. Vous pouvez les utiliser, en justifiant chaque terme
(qui vient de l’acc´el´eration, du laplacien...). Attention cependant aux termes de forces volumiques,
viscosit´e... Exprimez-les correctement.
3
Capillaire ferm´
e
On pose d´elicatement un capillaire ferm´e `a la surface d’un fluide incompressible de masse volumique
ρf (voir Figure 2). Au sein du capillaire, de rayon int´erieur R, de longueur int´erieure L, il y a de l’air
`a pression p0 , ind´ependante de l’altitude, avant que le capillaire touche le fluide.
Figure 2 – Mont´ee de fluide (par capillarit´e...) dans un capillaire ferm´e .
L’air est compressible et on travaille en isotherme. On remarque que pour un gaz parfait en
isotherme :
p0 × V0 = n R T = Cste
(4)
O`
u V0 est le volume du capillaire avant que le fluide n’y rentre. Soit V le volume d’air restant
emprisonn´e apr`es mont´e du fluide, et p(V ) la pression finale de l’air dans le capillaire :
p0 × V0 = Cste = p(V ) × V
D’o`
u:
(5)
V0
V
En r´ealit´e, cette expression s’applique aussi aux gaz r´eels, c’est la loi de Boyle-Mariotte.
p(V ) = p0
(6)
On n´egligera la pression de Laplace `
a la surface du fluide en dehors du capillaire. Le fluide a un
angle de mouillage θ < 90◦ avec le mat´eriau de capillaire, et une tension superficielle γ avec l’air. On
assume que le m´enisque form´e par le fluide dans le capillaire est purement h´emisph´erique.
3.1
Question
Donner l’expression de la pression finale p(V ) de l’air dans le capillaire.
On prendra : θ = 2◦ , γ = 73 × 10−3 N.m−1 , g = 9.81 m.s−2 , ρf = 1000 kg.m−3 , R = 0.2 mm,
L = 10 cm, p0 = 105 Pa.

Download Report