CB 13-14

PCSI
CONCOURS BLANC : PHYSIQUE
27/05/2014
Durée : 4 heures
L’usage des calculatrices est autorisé.
L’énoncé de cette épreuve comporte 8 pages.
Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction.
Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d’énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa
composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il a été amené à prendre.
Les candidats doivent respecter les notations des énoncés et préciser, dans chaque cas, la numérotation des questions traitées.
Les applications numériques, les commentaires apportés sur les résultats obtenus, constituent une partie non négligeable dans le
barème d'évaluation.
Les copies rendues seront numérotées. Pour 3 feuilles rendues, par exemple, on numérotera : 1/3; 2/3; 3/3.
Ce sujet est constitué de 5 exercices et problèmes indépendants qui seront traités sur des copies séparées : thermodynamique,
électricité, ondes, mécanique et optique.
*****
I Pompe à chaleur
Les tableaux A et B, en fin d'énoncé, précisent des valeurs numériques indispensables au traitement de cette partie : enthalpie
massique, entropie massique et volume massique.
Une pompe de chaleur contient un fluide en écoulement stationnaire, de débit massique Dm, et qui suit un cycle de transformations
ABCD, où l'on néglige les variations locales d'énergie cinétique et les effets de la pesanteur. Par unité de temps, ce fluide absorbe un
transfert thermique Q˙1 > 0 au niveau de l'évaporateur, au travers des parois de l'échangeur n°1; au cours d'un cycle de la machine,
l'unité de masse du fluide reçoit un transfert thermique q1 , lors de son passage de A en B. Le fluide cède par unité de temps un transfert
thermique Q˙ > 0 au niveau du condenseur, au travers des parois de l'échangeur n°2; au cours d'un cycle de la machine, l'unité de
2
masse du fluide
cède un transfert thermique q2 , lors de son passage de C en D. Entre les points B et C, au niveau du compresseur, le
€
> 0 ; au cours d'un cycle de la machine, l'unité de masse du fluide reçoit un travail w, lors
fluide reçoit par unité de temps un travail W˙ €
de son passage de B en C. Enfin on suppose que, lors de son passage dans le détendeur, de D en A, le fluide ne reçoit ni transfert
€
thermique ni travail, sa pression passe de P2 à P1 (l'unité de masse du fluide ne reçoit donc ni transfert thermique ni travail autre que
€
celui des forces de pression dans€le détendeur).
Les échanges sont nuls en dehors des parties actives.
On aura remarqué le choix de définir tous les échanges énergétiques par des nombres positifs.
1) Expliquer pourquoi Q˙1 = Dm q1 ; Q˙ 2 = Dm q2 = PC (puissance de chauffe) et W˙ = Dm w .
Entre deux points E et S du circuit, les enthalpies massiques du fluide sont désignées respectivement par h(E) et h(S). Le fluide reçoit
par unité de masse un travail utile (c'est-à-dire ne comprenant pas le travail des forces de pression) wES et un transfert thermique qES.
€
€
€
2) Montrer, en précisant les hypothèses, que h(S) - h(E) = wES + qES.
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Figure 1 : schéma de principe d'une pompe de chaleur
Échangeur : récipient où s'opère un transfert thermique entre un fluide chaud et un fluide froid. Le fluide frigorifique est un Fréon,
désigné par F22 (nom déposé vers 1950; c'est un fluide dérivé fluoré et chloré du méthane ou de l'éthane, à bas point d'ébullition, ce
qui justifie son utilisation comme fluide frigorifique).
Condenseur : partie de la machine où, par refroidissement, le fluide passe de l'état gazeux à l'état liquide. Aux points C et D, la vapeur
est saturée.
Evaporateur : partie où se vaporise le fluide frigorigène (ou frigorifique).
Q˙
q
Le coefficient d'efficacité de la pompe de chaleur est par définition : e = ˙2 = 2 ( Q˙1 pris à un thermostat de température T1 et Q˙ 2
w
W
cédé à un thermostat de température T2). La valeur maximale théorique de cette efficacité est notée eo.
3) Exprimer eo en fonction de T1 et T2; préciser les conditions pour lesquelles
cette efficacité peut être atteinte.
€
€
€
Attention : on rappelle que les transferts énergétiques w, q1 et q2 ne sont pas algébriques et sont donc tous définis positifs.
Application numérique : T1 = 273 K et T1 = 308 K.
Dans le condenseur 2, le fluide évolue à pression constante P2 en se refroidissant, puis se condense totalement à la température T2.
Dans le détendeur, F22 évolue adiabatiquement (et sans travail, hormis celui des forces de pression) de (P2, T2) en D à (P1, T1) en A,
subissant ainsi une vaporisation partielle dont le taux de transformation, rapport de la masse transformée à la masse initiale est x (0 ≤ x
≤ 1).
Dans l'évaporateur, on observe une vaporisation en principe totale sous la pression P1 et à la température T1. A la sortie du
compresseur (point C), le fluide évolue à pression constante jusqu'en Co, puis se condense totalement jusqu'en D.
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Les bilans énergétiques des questions qui viennent se rapporteront à des grandeurs massiques ou, si l'on préfère à 1 kg de Fréon
décrivant le cycle ABCD, partiellement représenté dans la figure ci-dessus.
4) En se référant au tableau A, en fin d'énoncé, calculer le taux xA.
5) Calculer q1, transfert thermique reçu entre A et B par unité de masse du fluide ayant traversé l'évaporateur en y ayant subi une
vaporisation totale.
On admet que le Fréon subit une compression adiabatique et réversible, donc isentropique, dans le compresseur, le faisant passer de
l'état de vapeur saturée (B), à l'état gazeux (C).
6) Calculer (tableaux A et B) la température θc (en degrés Celsius) à la sortie du compresseur et le travail massique wBC reçu de ce
dernier. Comparer T1, T2 et Tc.
7) Calculer l'efficacité e puis le débit massique Dm du Fréon, pour une puissance de chauffe de 15 kW.
A la suite d'une variation de αe (figure 1), la vaporisation en B, à la sortie de l'évaporateur, n'est plus totale : le taux de transformation
du liquide en vapeur vaudrait xB < 1 au point B.
8) Toujours sur l'hypothèse d'une évolution isentropique dans le compresseur, calculer xBo au point Bo pour obtenir en Co, à la
sortie du compresseur, la vapeur saturante sèche à la pression P2 et à la température T2 (le cycle considéré dans cette question est
ABoCoD, avec vaporisation partielle de A en Bo et évolution isentropique entre Bo et Co).
Tableau A : enthalpie massique (h) et volume massique (v) du Fréon
PVS : pression de vapeur saturante (1 bar = 105 Pa)
Température
PVS
(degrés Celsius)
(bar)
θ1 = 0
P1 = 4,976
Liquide saturé
(l indice du liquide)
hl en kJ.kg-1
vl en m3.kg-1
200,00
0,778.10-3
θ=5
P = 5,838
205,91
θ2 = 35
P2 = 13,55
243,22
Vapeur saturée
(v indice de la vapeur)
hv en kJ.kg-1
vv en m3.kg-1
405,36
0,04714
0,788.10-3
0,867.10-3
407,15
0,04036
415,73
0,01727
Tableau B : enthalpie et entropie massiques
Les tables fournies par les fabricants de fréon donnent l'enthalpie massique hv en kJ.kg-1 et l'entropie massique sv en kJ.K-1.kg-1 pour
la vapeur surchauffée de Δθ au-delà de la saturation à pression P2 = 13,55 bar correspondant à θ2 = 35 °C pour l'équilibre liquidevapeur.
L'entropie massique du liquide saturant à 0°C sous la pression P1 vaut 1 kJ.K-1.kg-1.
Δθ (°C)
0
5
10
15
20
25
30
hv
415,7
420,3
424,7
429,1
433,4
437,7
441,9
3/8
sv
1,706
1,721
1,735
1,749
1,762
1,775
1,787
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II Caractéristiques d'une bobine réelle
Couramment appelés "machines électriques", les convertisseurs électromécaniques sont connus depuis le milieu du XIXe siècle;
comme leur nom l'indique, ils peuvent :
* soit convertir l'énergie mécanique en énergie électrique, ce sont alors des générateurs;
* soit convertir l'énergie électrique en énergie mécanique, ce sont alors des moteurs.
Dans l'un ou l'autre rôle, ils sont omniprésents dans notre civilisation, et il en existe aujourd'hui des centaines de types. Beaucoup sont
des machines tournantes, comprenant des armatures magnétiques cylindriques de type solénoïde, formées d'une grande longueur de fil
conducteur isolé enroulé en spires coaxiales sur un cylindre pour former un bobinage.
On se propose de déterminer les caractéristiques électrocinétiques d'un petit bobinage, modélisé a priori par une inductance pure L en
série avec une résistance r; on dispose pour cela d'un générateur (dit "générateur basse fréquence", ou "GBF"), d'un oscilloscope, de
multimètres numériques, de boîtes de résistances à décades et de condensateurs étalonnés de capacités diverses.
Etude du générateur
On se place en régime continu. Les parties suivantes sont indépendantes de celle-ci.
En faisant débiter le générateur dans des résistances réglables, on a obtenu la figure 1.
U (V)
Caractéristique du générateur (figure 1)
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
0
0,05
0,1
0,15
0,2
I (A)
1) En précisant son domaine de validité en intensité, déduire de ces mesures un modèle linéaire de générateur : calculer la tension à
vide, la résistance interne et le courant de court-circuit.
2) Ce générateur alimente un circuit de résistance R; calculer la valeur minimale de R assurant de ne pas sortir du domaine linéaire.
Etude rapide du bobinage
Le grand nombre de spires nécessite une grande longueur de fil, ce qui confère au dipôle une résistance non négligeable. Une mesure
au multimètre donne une valeur de r = 7,9 Ω.
3) Le fil de cuivre du bobinage présente une section de l'ordre de 1 mm2, et la littérature donne pour le cuivre une conductivité σ =
6.107 S.m-1; en déduire une estimation de la longueur du fil.
L
On donne la résistance r d’un fil cylindrique de longueur L et de section S constitué d’un conducteur de conductivité σ : r =
.
σS
En réalité, la longueur de fil est sensiblement inférieure à la valeur calculée; comment le justifier ?
Les multimètres disponibles ne possédant pas de fonction inductancemètre, on détermine la valeur de l'inductance L en étudiant la
€
résonance de courant dans un circuit RLC série.
Etude théorique :
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4) Un circuit RLC série est alimenté par une tension sinusoïdale e(t) de la forme Eo cos ωt :
i(t)
figure 2
e(t)
L
R
C
En utilisant les impédances et les notations complexes, déterminer l'amplitude réelle Io de l'intensité du courant i(t), en fonction de
Eo, R, L, C et ω.
En déduire l'existence d'une résonance d'intensité.
5) A quelle pulsation le courant est-il en phase avec la tension d'alimentation ? La présence d'une résistance r indissociable du
dipôle d'inductance L modifie-t-elle cette propriété ?
Mise en pratique :
(1) : grâce au GBF, on alimente en régime sinusoïdal un circuit {R, bobine L et r, C};
(2) : on visualise à l'oscilloscope la tension du générateur et celle aux bornes de R;
(3) : on détermine expérimentalement la fréquence de résonance de l'intensité du courant;
(4) : on en déduit par calcul la valeur de L.
Répondre aux questions suivantes concernant les opérations décrites ci-dessus :
6) points (1) et (2) : expliquer pourquoi le circuit de la figure 2 ne permettra pas en l'état de visualiser les deux tensions. Proposer
un nouveau branchement en identifiant clairement les bornes du GBF et de l'oscilloscope.
7) point (3) : proposer une méthode permettant de déterminer rapidement la fréquence de résonance à l'aide de l'oscilloscope.
8) point (4) : on repère la résonance à la fréquence fo = 774 Hz, avec C = 470 nF; en déduire la valeur de L.
Comportement électrocinétique du bobinage à basse fréquence
Soit Z l'impédance complexe (on notera Z = Z ).
A
€
€
Z
O
GBF
Veff
multimètre
K
figure 3
com V
R
B
On se propose de tester la validité du modèle Z = r + j L ω grâce au montage de la figure 3.
Le GBF est utilisé en régime sinusoïdal de fréquence f.
Le bloc K est un interrupteur à trois bornes qui permet de mesurer soit la valeur efficace VA de uAO, soit la valeur efficace VB de uBO.
Etude du montage :
€
9) Rappeler la définition de la valeur efficace de l'intensité d'un courant ou d'une tension variable; exprimer Z en fonction de R et
des valeurs efficaces VA et VB. Quel est le rôle de R ?
10) Supposons que l'on dispose d'une série de valeurs [f, Z(f)]. Expliquer comment tester par une représentation graphique la
validité du modèle Z = r + j L ω (en fonction de f, non de ω).
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€
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Mise en pratique :
On dispose des résultats de mesures présentés ci-dessous, obtenus pour R = 500 Ω :
f (Hz)
VA (mV)
VB (V)
10
99
5,4
20
146
5,3
30
203
5,3
40
253
5,3
50
317
5,4
60
365
5,4
70
432
5,4
80
492
5,4
11) N.B. : n'abordez cette question que si vous savez comment obtenir les valeurs de r et L.
Le seul calcul des valeurs de Z ne donnera pas lieu à attribution de points.
Déterminer r et L en expliquant la méthode utilisée; le modèle est-il bien validé ?
12) Les valeurs mesurées justifient-elles qu'on néglige souvent l'aspect résistif des dipôles inductifs du type bobine ?
III Interférences de deux ondes sonores frontales
Dans le montage ci-dessus, les deux haut-parleurs HP1 et HP2 séparés de la distance 2D sont alimentés en parallèle par une même
tension : les deux sources sonores émettent donc des ondes de même pulsation, même phase à l’origine et même amplitude :
y1 = y 2 = a cos ωt .
Les deux ondes arrivent en M avec des retards différents où elles interfèrent.
1) Soit c la célérité des ondes sonores dans l’air, donner l’expression y1 (x,t) de l’onde issue de HP1 et arrivant en M d’abscisse x
(origine prise au point O placé au milieu de la distance séparant les deux haut-parleurs).
2) De même, donner l’expression y 2 (x,t) de l’onde issue de HP2 et arrivant en M.
€
3) Représenter dans un cas quelconque, ces deux ondes sur un diagramme de Fresnel.
4)
€
a) En utilisant le diagramme de Fresnel, représenter l’onde résultante et déterminer son amplitude.
p+ q
p− q
b) Retrouver ce résultat par un calcul littéral. On donne la relation : cos p + cos q = 2 cos
.
cos
2
2
5)
a) Exprimer les conditions d’interférences constructives. €
b) Faire la représentation correspondante dans un diagramme de Fresnel.
6)
a) Exprimer les conditions d’interférences destructives.
b) Faire la représentation correspondante dans un diagramme de Fresnel.
7)
a) Déterminer l’expression littérale de la distance entre deux maximums successifs d’intensité sonore.
b) Expérimentalement on trouve d = 21,2 cm pour une fréquence de f = 800 Hz. En déduire la vitesse du son de l’air.
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IV Pendule pesant
Une tige homogène de longueur L = 1,0 m et de masse m = 1,0 kg est en liaison pivot parfait
autour d’une de ses extrémités et constitue donc un pendule pesant (cf photo ci-contre du
dispositif).
1
Son moment d’inertie par rapport à l’une de ses extrémité est J = mL2 .
3
On supposera le référentiel du laboratoire comme! galiléen.
On supposera également le champ de pesanteur g uniforme. On prendra g = 9,8 m.s-2.
€
1) Etude du mouvement
a) Définir ce qu’est une liaison pivot parfaite.
€ du pendule pesant.
b) Etablir l’équation du mouvement
c) Expliquer l’analogie avec l’équation de l’oscillateur rectiligne (en translation).
d) Etablir, grâce à une méthode énergétique, une intégrale première du mouvement.
2) Non isochronisme des solutions oscillantes
Grâce à un logiciel de résolution numérique (Scilab par exemple), on calcule la période T des oscillations de ce pendule en fonction
de la valeur θ0 de l’angle initial, le pendule étant lâché sans vitesse initiale. On obtient les résultats suivants :
θ0 (rad)
T (s)
0,01
1,6
0,10
1,6
0,40
1,6
1,20
1,8
2,00
2,2
2,70
3,1
a) Retrouver simplement grâce à l’équation de la question 1) b) l’une des valeurs présentes dans le tableau.
b) Définir le terme d’isochronisme. Dans quel cadre obtiendrait-on un isochronisme des oscillations ?
c) Expliquer qualitativement quel est le sens de variation de T(θ0).
d) Que penser de la limite de T(θ0) quand θ0 tend vers π.
3) Etude de portraits de phase
Grâce à un dispositif expérimental non représenté, on mesure la position angulaire θ et la vitesse angulaire ω = θ˙ du pendule pesant
en fonction du temps.
On trace ensuite le portrait de phase ci-dessous :
€
a) En le justifiant précisément, déterminer la grandeur Y(t) mise en
ordonnée de ce portrait de phase.
b) Décrire et expliquer la différence entre les différentes trajectoires.
En réalité on obtient le portrait de phase ci-contre :
c) Où est la position initiale ?
d) Dans quel sens est décrit ce portrait de phase ? Justifier.
e) Expliquer l’allure de ce portrait de phase.
f) Quel est l’état final du pendule pesant ?
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V Etude sommaire de l’optique d’un capteur photographique de smartphone
Les téléphones portables intègrent maintenant quasi systématiquement une fonction appareil photographique. Les dispositifs
photographiques sont donc de conception très simple afin que le prix de revient soit le plus bas possible et que leur encombrement et
leur poids soient minimes.
L’objectif n’est composé que d’une seule lentille mince L, de diamètre utile DL et le capteur CCD se situe à une distance d fixe de la
lentille. Aucune mise au point n’est possible, c’est à dire que la distance d est fixée lors de la fabrication et n’est pas modifiable par
l’utilisateur ou par un dispositif autofocus, contrairement au cas des objectifs classiques.
Nous travaillerons dans les conditions de Gauss.
On rappelle les formules de conjugaison de Descartes et de Newton :
1
1
1
et FA.F' A' = − f ' 2 .
−
=
f
'
OA' OA
1) Conditions de Gauss
€
a) Rappeler en quoi consistent les conditions de Gauss ainsi que leurs avantages
et leurs inconvénients.
€ conditions de Gauss ?
b) Comment fait-on en pratique pour travailler dans les
2) En fonctionnement usuel, les objets et les images données par L sur le capteur sont réels.
En s’intéressant à la nature convergente ou divergente du faisceau incident et du faisceau émergent,
justifier la nature convergente ou divergente de la lentille L servant d’objectif.
Par la suite, sa distance focale sera notée f’.
3) L’objet à photographier étant situé à l’infini, déterminer la valeur de la distance d qu’il faudrait
prévoir lors de la fabrication pour que son image soit nette sur le capteur CCD.
4) Quelle est alors la dimension X sur le capteur CCD de l’image de la Lune qui a un diamètre
apparent correspondant à l’angle α = 9,0.10-3 rad ? On pourra s’aider d’une construction pour
répondre. Faire l’application numérique pour f’ = 3,9 mm.
5) Un objet ponctuel A, qui n’est pas situé à l’infini, a son image en dehors du plan du capteur et
donne sur celui-ci une tache de diamètre DA’.
Soit dA la distance entre le point A et la lentille (dA est une distance, et est donc positive).
a) Exprimer la distance OA’ en fonction de f’ et dA.
b) Montrer que l’expression de DA’ en fonction de DL (diamètre utile de la lentille), f’ et dA est : DA' = DL . f ' .
dA
6) Le capteur est formé de récepteurs que l’on supposera circulaires et de même diamètre ε. Une image, après codage numérique et
affichage sur l’écran de l’appareil, paraît nette si un point objet n’a éclairé qu’un seul grain
€ récepteur du capteur et a donc donné
finalement une tache de diamètre inférieur ou égal à ε.
Sachant que f’ = 3,9 mm, que DL = 2,0 mm et que ε = 15 µm, calculer numériquement la position du point A (donnée par dA) le
plus proche qui est encore net après traitement.
7) Afin de pouvoir diminuer dA, on augmente la distance d afin qu’un point à l’infini soit à la limite de netteté : il donne donc une
tache de diamètre ε sur le capteur.
a) Faire un schéma du dispositif montrant la tache donnée par l’objet à l’infini.
b) Déterminer d et faire l’application numérique.
c) Déterminer la nouvelle distance dA correspondant au point le plus près donnant lui aussi une tache de diamètre ε sur la
pellicule et faire l’application numérique.
Comment vérifier rapidement la cohérence de cette expression avec le résultat de la question 6) ?
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