Chute d`une bille dans un fluide visqueux

Chute d’une bille dans un fluide visqueux La glycérine un liquide transparent et très visqueux. Les objectifs de ce TP sont de : -‐ déterminer les valeurs expérimentales du coefficient de frottements fluides et de la viscosité de la glycérine -‐ simuler numériquement la chute d’une bille dans ce liquide. 1. Etude théorique On considère une bille, de rayon 𝑅 et de masse 𝑚 . On étudie le mouvement de cette bille dans un tube rempli de glycérine, fluide de masse volumique 𝜌 et de coefficient de frottements fluides 𝛼 . Aux faibles vitesses, le coefficient de frottements fluides de la glycérine est lié à sa viscosité dynamique 𝜂 par la relation : 𝛼 = 6𝜋𝜂𝑅 L’étude est réalisée dans le référentiel ℛ du laboratoire, supposé galiléen, et associé au repère d’espace cartésien 𝑂, 𝑒! , 𝑒! , 𝑒! dans lequel l’axe (𝑂𝑧) est l’axe vertical descendant. A l’instant 𝑡 = 0, la la bille est lâchée sans vitesse initiale du haut du tube, pris comme altitude 𝑧 = 0. 2 TP M1 : Chute d’une bille dans un fluide visqueux Préparation : 1)
2)
3)
4)
Déterminer l’unité de la viscosité dynamique dans le Système International. Déterminer le volume 𝑉 de la bille. Faire un bilan des forces s’exerçant sur la bille et les représenter sur un schéma. En appliquant le principe fondamental de la dynamique, montrer que la vitesse de la bille satisfait à l’équation différentielle suivante : 𝑑𝑣 1
𝜌𝑉
+ 𝑣 𝑡 =𝑔 1−
𝑑𝑡 𝜏
𝑚
Exprimer la constante de temps 𝜏 en fonction de 𝛼 et 𝑚 , puis en fonction de 𝜂 , 𝑅 et 𝑚 . 5) Résoudre cette équation différentielle en tenant compte des conditions initiales et représenter l’allure de la courbe 𝑣 (𝑡). 6) En déduire que la vitesse limite 𝑣!"# atteinte par la bille peut s’écrire sous la forme : 𝑣!"# = 𝐾 𝑚 − 𝜌𝑉 Exprimer la constante 𝐾 en fonction de 𝑅 , 𝑔 𝑒𝑡 𝛼, puis en fonction de 𝑅 , 𝑔 𝑒𝑡 𝜂. 2. Etude expérimentale Pour mesurer le coefficient de frottement fluide et la viscosité de la glycérine, on utilise un viscosimètre à chute libre, dispositif équivalent à celui décrit dans l’étude théorique. Données : -‐ masse volumique de la glycérine : 𝜌 = 1,26. 10! kg. m!! -‐ accélération de pesanteur : 𝑔 = 9,81 m. s !! Expérience : Avec l’appareil photo, enregistrer une vidéo de la chute de la bille dans le tube rempli de glycérine. Importer le fichier vidéo sur l’ordinateur et, après l’avoir converti au format avi à l’aide du convertisseur vidéo, l’ouvrir avec Aviméca. Exploitation des mesures : • Dans l’onglet Etalonnage d’Aviméca : -‐ cliquer sur Origine et sens des axes puis choisir un repère dont l’axe vertical est descendant. Déplacer la souris dans la zone vidéo et cliquer sur le bord gauche de la règle : le repère s’affiche. -‐ cliquer sur Echelle : dans la zone vidéo, cliquer sur une graduation à gauche de la règle (pour que le logiciel repère le premier point), cocher 2ème point puis dans la zone vidéo, cliquer sur une graduation à droite de la règle (pour que le logiciel repère le second point). Entrer alors la distance (en m) entre les deux points dans le cadre vert. • Dans l’onglet Mesure d’Aviméca : -‐ vérifier que le tableau à gauche est vide (sinon le vider en utilisant les icônes en bas à droite) -‐ depuis le début de la vidéo, avec le pointeur, repérer, image après image, la position du centre de la bille. Lorsque le repérage a été effectué, le logiciel passe automatiquement à l’image suivante. Les coordonnées du pointage sont affichées dans le tableau. -‐ exporter les données du tableau sous Regressi ou Excel et tracer la courbe 𝑧(𝑡). Interprétation : À partir des mesures précédentes, déterminer la vitesse limite atteinte par la bille. En déduire le coefficient de frottements fluide de la glycérine, puis sa viscosité dynamique. Cette valeur est-‐elle compatible avec la valeur tabulée : 𝜂 𝑇 = 20°𝐶 = 1,49 Pl TP M1 : Chute d’une bille dans un fluide visqueux 3 3. Etude numérique On souhaite ici modéliser numériquement la chute de la bille. Pour les modélisations, on prendra les valeurs suivantes : • 𝑔 = 9,81 m. s !! • 𝜌 = 1,26. 10! kg. m!! • 𝜂 = 1,49 Pl 1) Dans l’éditeur, importer les modules scientifiques nécessaires pour le problème : -‐ numpy -‐ matplotlib.pyplot -‐ scipy.integrate 2) Déclarer et affecter les variables suivantes : -‐ l’accélération de pesanteur (notée g) -‐ la masse volumique (notée rho) et la viscosité dynamique de la glycérine (noté eta) -‐ le rayon (noté R), le volume (noté V) et la masse (notée m) de la bille -‐ la constante de temps (notée tau) de la chute de la bille -‐ les conditions initiales pour la bille : position initiale (notée z_0) et vitesse initiale (notée dz_0). 3) Définir un vecteur (noté t) contenant 1000 points et dont les valeurs sont comprises entre 𝑇 = 0 s et 𝑡 = 5𝜏. 4) Définir une fonction (notée ChuteBille) définissant l’équation différentielle du second ordre portant sur 𝑧 𝑡 régissant la chute de la bille dans la glycérine. 5) En utilisant la fonction odeint, résoudre cette équation différentielle précédente. On notera Solution la solution correspondante. 6) À l’aide du module pyplot de matplotlib, tracer l’évolution temporelle de l’altitude de la bille au cours du temps. 7) Sur la courbe précédente, ajouter les points obtenus expérimentalement. Commenter. 8) À l’aide du module pyplot de matplotlib, tracer l’évolution temporelle de la vitesse de la bille au cours du temps. 9) Déterminer la valeur de la vitesse limite atteinte par les billes et la comparer à la valeur déterminée expérimentalement.

Download Report