Exercices 10 DAEUB_Correction

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UJF - DAEUB 2013-2014 – Module de Physique – CW
Feuille d'exercices n°10 - Correction
Chapitre VI - Mouvements de planètes et de satellites
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------OBJECTIFS
- savoir écrire la force de gravitation
- savoir utiliser le principe fondamental de la dynamique et résoudre un problème de dynamique
- savoir écrire le vecteur vitesse dans le repère de Frenet
- connaître l'expression du vecteur accélération dans le repère de Frenet pour un mouvement
circulaire uniforme
- savoir calculer une vitesse moyenne
- savoir calculer le vecteur vitesse à partir du vecteur accélération dans le cas d'un mouvement
circulaire uniforme
- connaître les caractéristiques d'un mouvement circulaire uniforme
- connaître les trois lois de Képler - savoir raisonner avec les 2ème et 3ème lois de Képler
- savoir établir l'expression de la période de révolution d'une planète (cas circulaire) = savoir
démontrer la 3ème loi de Képler
------------------------------------------------------------------------------------------------------------Exercice 1 : Que dire de la valeur de la vitesse d'un satellite si sa trajectoire est circulaire ?
Un satellite dont la trajectoire est circulaire a un mouvement uniforme (vitesse de module constant).
Cela se justifie par le fait que la force de gravitation qu'il subit et qui est responsable de ce mouvement n'a
qu'une composante normale (et elle est constante en module). D'après la deuxième loi de Newton (PFD)
l'accélération du satellite possède les mêmes propriétés : elle est normale (et constante en module).
Nous avons vu en cours que lorsque la composante tangentielle de l'accélération est nulle, alors le module
de la vitesse est constant et le mouvement est uniforme.
Exercices 2 et 3
(extraits du manuel de TS)
Exercice 2
La vitesse d'un satellite en mouvement circulaire de rayon r autour de la Terre,
A- Vrai
elle est tangente à la trajectoire : ceci est toujours vrai, quelque soit le mouvement du
mobile.
B- Faux
elle est constante en module mais pas en direction ! Donc la proposition B e
C- Faux sa direction change toujours. C'est son module qui est constant.
D- Faux le module de la vitesse d'un satellite en mouvement circulaire autour de la Terre est constant
(voir l'exercice 1). D est vraie lorsque le satellite a un mouvement elliptique véritable (pas circulaire)
Exercice 3
La vitesse d'un satellite en mouvement circulaire de rayon r autour de la Terre,
Attention le texte est ambigu : ici on compare 2 satellites en mouvement circulaire de rayon r1 et r2.
Le module de la vitesse d'un satellite dépend de la valeur de r : nous avons montré que
M
VSat = G Soleil r est au dénominateur et sous la racine, donc la vitesse augmente si r diminue.
r
A- Faux
B- Faux
C- Vrai
D- Faux
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Exercices 4 et 5
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(extraits du manuel de TS)
Exercice 4
Nous avons montré en cours que pour un satellite de la Terre, la période du satellite est :
r3
. (si c'est un satellite d'un autre astre, on aura Mastre au lieu de MSoleil). Elle dépend
G M Soleil
donc de r, la distance entre le satellite et le centre de l'astre. r est au numérateur donc la période TSat
augmente si r augmente.
A- Faux
B- Vrai
C- Faux
r3
D- Vrai
car si on porte l'expression de Tsat au carré on obtient : TSat 2 = 2π
G M Soleil
TSat = 2π
Exercice 5
La deuxième loi de Képler, qui dit que l'aire balayée par unité de temps est constante, montre que plus le
satellite se rapproche du soleil, plus le module de sa vitesse est grand. Donc dans le cas d'une orbite
elliptique, la distance entre l'astre et le satellite varie, et donc le module de sa vitesse augmente. Dans le
cas d'un mouvement circulaire, cette distance est constante, donc la vitesse a un module constant.
(On rappelle que l'aire balayée est l'aire balayée au cours du temps par le rayon entre le satellite et l'astre)
A- C'est toujours vrai, car c'est une caractéristique du vecteur vitesse, indépendante du mobile et de la
situation.
B- Faux.
C- Vrai
D- Faux
Exercices 6 et 7
(extraits du manuel de TS)
Exercice 6
La première loi de Képler dit que le mouvement d'un satellite (une planète pour Képler) est elliptique et
que l'astre (le soleil pour Képler) est situé à l'un des foyers de l'ellipse. Si la trajectoire est circulaire, le
foyer correspond au centre de l'ellipse. Si c'est une ellipse, ses deux foyers sont excentrés.
A- Faux : l'astre n'est pas sur un foyer
B- Vrai : le centre et les foyers sont confondus pour un cercle
C- Vrai
D- Faux : la position de l'astre doit être au centre (voir B-)
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Exercice 7
La 3ème loi de Képler dit que "Tous les "satellites" (au sens large : astres et satellites artificiels) gravitant
autour d'un même astre sont tels que le carré de leur période de révolution TS est proportionnel au cube
T2
de leur demi-grand axe aS : S3 = cons tan te ". On connaît la période de la Terre TTerre qui est de 365
aS
TPluton 2 TTerre 2
jours environ. On en déduit que
=
a Pluton 3 a Terre3
Cela donne :
TPluton 2
3
et donc que
a
= a Pluton 3 .
2 Terre
TTerre
2
a Pluton
3
TPluton 2
 250ans 
3
6
3
=
a
=
 (150 10 km)
2 Terre
TTerre
 1an 
(
)
2
a Pluton = 3 2,5 102 1,5 108 km = 3 6,25 104 ×1,5 108 km = 3,97 ×10 × 1,5 108 km = 5,95 109 km = 5,95 1012 m
B- Vrai
A- C- et D- sont fausses. (ici on a fait des approximations, mais on peut constater que la
distinction entre les 4 propositions porte sur l'ordre de grandeur, c'est-à-dire sur la puissance)
Exercice 8 – satellite géostationnaire
Un satellite géostationnaire est un satellite qui reste toujours à la verticale d'un même point de la Terre (il
reste également à une altitude fixe h). Il est donc immobile dans le référentiel terrestre. Dans cet exercice
on utilisera les résultats établis dans le cours, sans redémontrer.
a- Quel est son mouvement dans le référentiel géocentrique ?
Dans le référentiel géocentrique, comme le satellite est immobile au dessus d'un point de la surface
terrestre, donc dans le référentiel terrestre, son mouvement est celui de la rotation de la Terre sur ellemême. C'est donc un mouvement circulaire uniforme, de période 1 jour.
b- Faire un dessin et expliquer pourquoi un satellite géostationnaire est toujours au dessus d'un point de
l'équateur.
Le raisonnement est un peu complexe :
1- un satellite géostationnaire a un mouvement circulaire
en restant toujours au dessus du même point de la surface
terrestre, donc son mouvement est parallèle à un cercle
de latitude (= un cercle parallèle à l'équateur).
2- un satellite qui a un mouvement circulaire, doit son
mouvement à la force d'attraction gravitationnelle de la
Terre qui est dirigée vers le centre de la Terre. Par
conséquent, sa trajectoire est un cercle centré au centre de la Terre.
3- le seul cercle de latitude centré sur le centre de la Terre est l'équateur.
c- Quelle est sa période T de révolution dans le référentiel géocentrique ?
Comme on l'a vu à la question a-, la période est d'un jour, de 24h (en fait un petit peu moins).
d- Calculer l'altitude que doit avoir un satellite géostationnaire. Faire l'application numérique.
Le mouvement du satellite est soumis aux loi de Képler, et en particulier la 3ème. Donc on a
TSat 2
4 π2
TSat 2G M Terre
T 2G M Terre
3
3 Sat
=
.
Ce
qui
donne
:
=
d
et
donc
d
=
Sat
Sat
d Sat 3 G M Terre
4 π2
4 π2
Avec MTerre = 6,0 1024 kg et
G = 6,67 1011 S.I.
et
TSat = 24 x 60 x 60 = 86400s
on trouve : d Sat = 3
TSat 2G M Terre 3 (86400)2 × 6,6710−11 × 6,01024
= 4,2 107 m = 42 000 km
=
4π 2
4π2
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Problème - type Bac (extrait d'un manuel de terminale S)
Questions à traiter :
1. La comète de Halley
I. Loi de la gravitation universelle
2. Approche théorique
II. Masse du soleil
III. Troisième loi de Képler
2. Satellites de Jupiter
II. Détermination de la masse de Jupiter
1. La comète de Halley
I. Loi de la gravitation universelle
2. Approche théorique
m M
1. Fc = −G c 2 S u
d
u
Fc
C
S
où d est la distance entre la
comète de Haley et le soleil.
(d est variable)
Attention : ici le mouvement n'est pas circulaire, la comète est sur une trajectoire elliptique très excentrée
(c'est-à-dire très allongée). Le vecteur de Frenet u N n'est pas dans la direction de la force.
2. Le mouvement n'étant circulaire, on ne peut pas utiliser l'expression trouvée dans le cours.
On part de la seconde loi de Newton (PFD) qui donne une relation entre forces et accélération.
Ici elle s'écrit :
Fc = mc a c
étant donné que le système est la comète et que le référentiel
héliocentrique dans lequel nous travaillons peut être considéré comme galiléen).
m M
Ce qui donne : −G c 2 S u = m c a c
d
M
En simplifiant par mc on trouve l'expression de l'accélération de la comète : a c = −G 2S u
d
M
3. Expression littérale du module de l'accélération de la comète : a c = G 2S
d
-------------------------------------
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1. On choisit deux points de la droite, les plus éloignés possibles (cela donne une meilleure précision sur
la valeur du coefficient directeur).
Position 12 P1 : x1 = 6,96 10-23 m-2 ; y1 = 1,77 10-2 m.s-2
Position 7
P2 : x2 = 12,9 10-23 m-2 ; y2 = 0,925 10-2 m.s-2
y −y
Le coefficient directeur de la droite p s'écrit : p = 2 1
x 2 − x1
20
3 -2
A.N. : on trouve p = 1,42 10 m s
1
. Ceci apparaît comme une droite de coefficient directeur p, ce
d2
1
qui se traduit algébriquement par : a c = p × 2
d
M
Or nous avons montré la relation : a c = G 2S
d
Donc le coefficient directeur de la droite est : p = GMS
p
On en déduit la masse du soleil : MS =
= 2,2 1030 kg
G
Conclusion : on nous donnait MS = 2,0 1030 kg. La valeur trouvée en utilisant le graphe est donc en
accord avec les données à 10% près.
-------------------------------------
2. On a représenté a c en fonction de
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1. Le temps de révolution est la période de révolution de la comète, puisque ce mouvement est
périodique.
2.a
Le vecteur accélération d'un mobile en mouvement circulaire uniforme :
- est de module constant
V2
- le module vaut : a =
où V est la vitesse constante du mobile.
R
- est normal à la trajectoire et dirigé vers le centre du cercle : on dit qu'il est centripète.
2.b On veut démontrer la 3ème loi de Képler dans le cas d'un mouvement circulaire, c'est-à-dire :
T2
4π 2
=
R 3 G MS
On a vu l'expression du module de l'accélération pour un astre soumis à l'attraction gravitationnelle du
soleil sous 2 formes :
V2
aP =
pour une planète en mouvement circulaire uniforme
R
M
et
a c = G 2S pour la comète
d
M
Cette dernière expression est transposable pour une planète dont la distance au soleil est R : a P = G 2S
R
2
M
V
M
En simplifiant par 1/R :
G S = V2
On a donc : G 2S =
R
R
R
Or la vitesse de la planète est constante et la planète fait un tour soit 2πR en une période T. Donc
2πR
V=
.
T
2
M
4π 2 R
En remplaçant dans l'expression précédente : G S =
R
T2
MS
R3
T2
4π 2
Cela donne finalement:
G 2 = 2 ou bien
=
4π
T
R 3 G MS
cqfd
3.a Le texte d'introduction du problème nous dit que la période de révolution de la comète est de 76 ans.
3.b La troisième loi de Képler est valable pour tous les astres gravitant autour du soleil. Elle est donc
valable même si la trajectoire n'est pas circulaire, mais elliptique, ce qui est le cas de la comète de Halley.
T2
4π 2
On a : c3 =
où Tc est la période de révolution de la comète et a le demi-grand axe de la
G MS
a
trajectoire elliptique.
Attention, d, la distance Soleil/comète, n'est pas le demi-grand axe.
On fait l'application numérique pour vérifier :
Tc 2
4π 2
−19
= 3 10 S.I.
= 3 10−19 S.I.
3
G MS
a
-------------------------------------------------------
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1. Comme la trajectoire est circulaire, on peut travailler
dans le repère de Frenet :
FJ →S = G
FJ→S
mS M J
uN
r2
u NS
J
2. Comme montré précédemment dans le cas des planètes du système solaire, les satellites de Jupiter ont
v2
un mouvement circulaire uniforme et leur accélération s'écrit : a S =
u N où v est la vitesse de
r
translation du satellite autour de Jupiter.
D'autre part, on peut écrire comme précédemment le PFD : FJ →S = mS a S
mS M J
v2
Ce qui donne en remplaçant : G
u N = mS
uN
r
r2
En projetant suivant u N puis en simplifiant par r et par mS on arrive à : G
On en déduit l'expression du module de la vitesse du satellite : v = G
MJ
= v2
r
MJ
r
3. Le satellite de Jupiter le plus rapide est le plus proche. En effet l'expression de la vitesse du satellite est
inversement proportionnelle à la racine carrée de la distance satellite/Jupiter, et ne dépend pas de la masse
du satellite.
4. et 5. la démonstration procède de manière identique à celle déjà faite pour les planètes qui gravitent
autour du soleil avec des trajectoires circulaires.
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6.a Cette loi montre une relation de proportionnalité entre T2 et r3. En cela la troisième loi de Képler est
4π2
vérifiée dans sa version originale. Toutefois le coefficient directeur de la droite doit être égale à
.
GM J
6.b Le coefficient directeur de la droite est p = 3 10-16 S.I. (car T et r sont exprimés en unités S.I.)
4π2
Nous avons donc
= p = 3 10-16 S.I.
GM J
Ce qui donne pour l'ordre de grandeur de MJ = 1,3 1027 kg

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