1 z = cos 2¼ 5 + isin 2¼ 5 (2)

年番号
1
z = cos
2¼
2¼
+ i sin
とするとき，次の問いに答えよ．ただし，i は虚数単位である．
5
5
4
氏名
複素数平面上に原点 O と 3 点 A(5)，B(¡10 ¡ 5i)，C(3 + 4i) をとる．4OAB を，点 O が点
C に重なるように平行移動し，さらに点 C のまわりに µ だけ回転した．このとき，点 A は点
¼
¼
A0 (®) に，点 B は点 B0 (¯) に移った．ただし，¡
<µ5
とし，®; ¯ は複素数とする．
2
2
3 点 O，C，A0 が一直線上にあるとき，次の問いに答えよ．
(1) zn = 1 となる最小の正の整数 n を求めよ．
(2) z4 + z3 + z2 + z + 1 の値を求めよ．
(3) (1 + z)(1 + z2 )(1 + z4 )(1 + z8 ) の値を求めよ．
4¼
2¼
+ cos
の値を求めよ．
(4) cos
5
5
(1) ®; sin µ の値を求めよ．
（富山県立大学 2016 ）
(2) ¯ の値を求めよ．
(3) ÎB0 OA0 の大きさを求めよ．
2
z = cos
（和歌山大学 2016 ）
2¼
2¼
+ i sin
（ i は虚数単位）とおく．
7
7
(1) z + z2 + z3 + z4 + z5 + z6 を求めよ．
(2) ® =
z + z2
+ z4
5
とするとき，® + ®，®® および ® を求めよ．ただし，® は ® の共役複素数で
の小さい順に ®; ¯; ° とする．複素数平面上で，®; ¯; ° を表す点をそれぞれ A，B，C とし，
ある．
(3) (1 ¡ z)(1 ¡
直線 AC に関して B と対称な点を D，直線 AB に関して C と対称な点を E とする．このとき，
z2 )(1
¡
z3 )(1
¡
z4 )(1
¡
z5 )(1
¡
z6 ) を求めよ．
次の各問に答えよ．
（千葉大学 2016 ）
3
複素数 z の方程式 z3 +i = z2 +iz（ i は虚数単位）の 3 つの解を，その偏角 µ（ただし，0 5 µ < 2¼ ）
¼
を満たす µ に対して，® = 2(cos µ + i sin µ) とする．ただし，i は虚数単位であ
2
る．n = 1; 2; 3; Ý に対して
0<µ<
(1) ®; ¯; ° を x + yi（ x; y は実数）の形でそれぞれ表せ．
(2) 4ABC の面積を求めよ．
(3) 複素数平面上で，3 点 A，D，E を通る円周上のどの複素数 z も，zz + sz + tz + u = 0 を満
たすような複素数の定数 s; t; u を求めよ．
（宮崎大学 2016 ）
zn = ®n ¡ 2®n¡1
6
とおく．以下の問いに答えよ．
¼
とするとき，zn を極形式で表せ．
3
n
P
¼
(2) µ =
とするとき，
zk > 500 となる最小の n を求めよ．
3
k=1
i を虚数単位とし，z = cos
2¼
2¼
+ i sin
とおく．次の問いに答えよ．
5
5
(1) z5 および z4 + z3 + z2 + z + 1 の値を求めよ．
1
(2) t = z +
とおく．t2 + t の値を求めよ．
z
2¼
の値を求めよ．
(3) cos
5
(4) 半径 1 の円に内接する正五角形の 1 辺の長さの 2 乗を求めよ．
(1) µ =
(3) z1000 が実数となるような µ の値の個数を求めよ．
（熊本大学 2016 ）
（琉球大学 2016 ）
7
p
複素数平面上に点 O(0)，P(¡1 + 3i)，Q(2) と，これら 3 点を通る円 C がある．ただし，i は
虚数単位とする．このとき，次の問いに答えよ．
p
(1) 複素数 ¡1 + 3i を極形式で表せ．ただし，偏角 µ の範囲は 0 5 µ < 2¼ とする．
(2) ÎOPQ の大きさを求めよ．
(3) 円 C と虚軸との交点のうち，O でない点を R とする．R を表す複素数を求めよ．
z¡1
(4) 円 C の中心を表す複素数を c とする．点 z が円 C 上を動くとき，複素数 w =
がえが
z¡c
く図形を図示せよ．
（島根大学 2016 ）
p
8 （新課程履修者）複素数平面上に原点 O(0) と点 A(1 + 3i) がある．ただし，i を虚数単位と
する．このとき，次の問に答えよ．
p
(1) 複素数 1 + 3i を極形式で表せ．ただし，偏角 µ は 0 5 µ < 2¼ とする．
¼
(2) 点 A を原点のまわりに ¡
だけ回転した点を表す複素数を求めよ．
3
(3) 虚軸上の点 B(z) が OB = AB を満たすとき，複素数 z を求めよ．
(4) (3) で求めた B(z) に対して，3 点 O，A，B を通る円の中心を表す複素数を求めよ．
（香川大学 2015 ）

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