(2) z4 + z3 + z2 + z + 1

年番号
1
2¼
2¼
+ i sin
とするとき，次の問いに答えよ．ただし，i は虚数単位である．
5
5
2 つの箱 A，B があり，いずれの箱にも赤球が 1 個，白球が 3 個入っている．ここで，
「それぞれ
3
の箱から 1 個の球を無作為に取り出しそれらを交換する」という試行を n 回繰り返す．その結
(1) zn = 1 となる最小の正の整数 n を求めよ．
果，2 つの箱 A，B がともに元の状態に戻っている確率を pn とする．このとき，正の整数 k に
(2) z4 + z3 + z2 + z + 1 の値を求めよ．
対して，
(3) (1 + z)(1 + z2 )(1 + z4 )(1 + z8 ) の値を求めよ．
4¼
2¼
+ cos
の値を求めよ．
(4) cos
5
5
カ
pk+1 =
pk +
キ
ク
ケ
(1 ¡ pk )
z = cos
氏名
（富山県立大学 2016 ）
となる．よって，
pn =
コ
7
n
%
1
サ
= +
4
シ
7
(n = 1)
関数
f(x) =
B
B
2 sin x ¡ 2 cos x ¡ sin 2x
となる．
に対して，以下の問いに答えなさい．
（早稲田大学 2016 ）
2
¼
; とおくとき，f(x) を t の式で表しなさい．
4
(2) f(x) の最大値と最小値を求めなさい．
1 つのコマと下の図のような 3 つのマス目 A，B，C がある．コマが A または B にあるとき，さ
(1) t = cos #x +
いころを投げて出た目の数だけ C の方向にコマを進める．ただし，コマが途中で C や A に来た
(3) 方程式 f(x) = a が 0 5 x < 2¼ の範囲で相異なる 2 つの解をもつための実数 a の条件を求め
ら，逆の方向に折り返して進める．これを 1 回の操作とする．A または B で止まった場合はそ
なさい．
の止まったマス目から操作を繰り返し，C に止まった場合は操作を終了する．例えば，A にコマ
（首都大学東京 2015 ）
があり 3 の目が出たら A ! B ! C ! B とコマを進め，続けて操作を繰り返したとき 5 の目が
出たら B ! C ! B ! A ! B ! C と進めて操作を終了する．
5
最初にコマを A に置いて操作を始めるとき，次の問いに答えよ．
A
B
a は実数とし，2 つの曲線
C1 : y = (x ¡ 1)ex ;
C
C2 : y =
1 2
x +a
2e
がある．ただし，e は自然対数の底である．C1 上の点 (t; (t ¡ 1)et ) における C1 の接線が C2
に接するとする．
(1) 1 回の操作で終了する確率 p1 を求めよ．
(2) 2 回の操作で終了する確率 p2 を求めよ．
(1) a を t で表せ．
(3) n 回の操作で終了する確率 pn を n を用いて表せ．
(2) t が実数全体を動くとき，a の極小値，およびそのときの t の値を求めよ．
（静岡大学 2015 ）
（北海道大学 2015 ）
6
2 つの曲線 y = x + 2 cos x #
でできる曲線を C とする．
3
¼
3
¼
5x5
¼; と y = x ¡ 2 cos x #
5x5
¼; をつない
2
2
2
2
(1) 曲線 C の概形を図示しなさい．
(2) k を実数とする．曲線 C と直線 y = k が異なる 2 点で交わるための k の値の範囲を求めなさい．
(3) 曲線 C で囲まれた部分を x 軸のまわりに 1 回転してできる立体の体積を求めなさい．
（大分大学 2016 ）
7
関数 f(x) =
x¡1
のグラフを曲線 C とする．
x2 + 1
(1) 関数 f(x) の極値を求めよ．
(2) 曲線 C の変曲点を求めよ．
(3) 曲線 C 上の点 (0; f(0)) における接線を ` とする．曲線 C と接線 ` とで囲まれた図形の面積
S を求めよ．
（名古屋工業大学 2016 ）

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