5.Übungsblatt

Karlsruher Institut für Technologie (KIT)
Institut für Analysis
Prof. Dr. Wolfgang Reichel
Dipl.-Math. Carlos Hauser
WS 2015/16
18.11.2015
Nichtlineare Randwertprobleme
5. Übungsblatt
Aufgabe 12
Sei Ω ⊂ Rn ein beschränktes Gebiet und ϕ1 > 0 die erste Dirichlet Eigenfunktion zu −∆ auf
Ω und a, b, s ∈ R. Betrachten Sie das Randwertproblem
(
−∆u = au+ + bu− + sϕ1 in Ω,
u=0
auf ∂Ω,
wobei u+ = max{u, 0}, u− = min{u, 0}. Zeigen Sie zuerst, dass die Funktion f : Ω × R → R,
f (x, t) := at+ + bt− + sϕ1 (x),
(x, t) ∈ Ω × R,
eine Carathéodory-Funktion ist und
min{a, b} ≤
f (x, t) − f (x, τ )
≤ max{a, b}
t−τ
für fast alle x ∈ Ω, für alle t, τ ∈ R, t 6= τ.
Zeigen Sie damit:
(a) Gilt a, b < λ1 , so existiert genau eine Lösung. Geben Sie diese Lösung an.
Hinweis: Verwenden Sie den Ansatz u = cϕ1 mit c ∈ R um die Lösung u zu bestimmen.
(b) Gilt a, b ∈ (λi , λi+1 ) (i ∈ N), so existiert genau eine Lösung. Geben Sie diese an.
(c) Gilt b < λ1 < a, s < 0, so existieren mindestens zwei Lösungen.
(d) Gilt b < λ1 < a, s > 0, so existiert keine Lösung.
(e) Gilt b < λ1 < a, s = 0, so existiert genau eine Lösung.
Aufgabe 13
(a) Sei Ω ⊂ Rn ein beschränktes Lipschitz-Gebiet und g : ∂Ω × R → R eine beschränkte
Carathéodory-Funktion. Zeigen Sie, dass das Randwertproblem
(
−∆u + u = 0
in Ω,
∂ν u = g(x, u) auf ∂Ω
mindestens eine Lösung u ∈ W 1,2 (Ω) besitzt. Hinweise:
Nichtlineare Randwertprobleme–5
18.11.2015
— bitte wenden —
(i) Die schwache Formulierung von
(
−∆u + u = 0
∂ν u = g
in Ω,
auf ∂Ω
für g ∈ L2 (∂Ω) ist: Finde u ∈ W 1,2 (Ω) mit
Z
I
∇u · ∇ϕ + uϕ dx =
gϕ dx
Ω
für alle ϕ ∈ W 1,2 (Ω).
∂Ω
(ii) Sie können verwenden, dass die Einbettung
(
W 1,2 (Ω) → L2 (∂Ω)
E:
u 7→ u
kompakt ist.
(b) Zeigen Sie durch direktes Nachrechnen, dass das Randwertproblem

00
in (−1, 1),
 −u + u = 0
1
 ∂ν u(x) =
für x = ±1
1 + u(x)2
eine Lösung besitzt.
Hinweis: Probieren Sie eine gerade Funktion u.
(c) Zusätzlich zu den Voraussetzungen in (a) sei nun noch ein beschränkte CarathéodoryFunktion f : Ω × R → R gegeben. Beweisen Sie, dass das Randwertproblem
(
−∆u + u = f (x, u) in Ω,
∂ν u = g(x, u) auf ∂Ω
mindestens eine Lösung u ∈ W 1,2 (Ω) besitzt.
Hinweis: Die schwache Formulierung von
(
−∆u + u = f
∂ν u = g
in Ω,
auf ∂Ω
für f ∈ L2 (Ω) und g ∈ L2 (∂Ω) ist: Finde u ∈ W 1,2 (Ω) mit
Z
Z
I
∇u · ∇ϕ + uϕ dx =
f ϕ dx +
gϕ dx für alle ϕ ∈ W 1,2 (Ω).
Ω
Nichtlineare Randwertprobleme–5
Ω
18.11.2015
∂Ω
http://www.math.kit.edu/iana2/lehre/nichtlinrwp2015w/

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