解析入門演習問題2（2016年後期半年使用）

練習問題２（科目名解析入門２Ｃ/１０月１７日）
出題者澤野嘉宏
氏名合計点点
学修番号 ○ １５１７２０ ○ １５１７５０ ○ １１７（その他）.
問題 0.1. 次の方程式を複素数の範囲で解け．三角関数を用いて構わない．
φ = π/5 として表し
√
−1 + 3i
てよい．また必要に応じて ω =
を用いて略記してよい．
2
(1) z 2 + 289 = 0 (2) z 2 + 3z + 9 = 0
(4) z 6 = 64 (5) z 10 = 1
(3)
z 4 = 16
問題 0.2. 次の多項式を複素数の範囲で因数分解せよ．
z 2 − 6 (2) z 3 − 125
z 3 + 12z 2 + 44z + 48 【ヒント】z = −2 を代入すると式の値が 0 になる．
z 3 − 4z + 3 (5) z 6 − 1 (6) z 4 − 625
z 5 − 1 【ヒント】z = r(cos θ + i sin θ) を代入して，値が 0 になるように r, θ を定められ
るか．sin, cos の中身を具体的に計算する必要はない．
(8) z 4 + z 3 + z 2 + z + 1 (9) z 6 − 3z 4 + 3z 2 − 1
(10) z 15 − 5z 12 + 10z 9 − 10z 6 + 5z 3 − 1
(1)
(3)
(4)
(7)
問題 0.3. 次の条件を満たしている複素数 z のなす図形を図示せよ．
(1) |z − 3| = 4
(2) |z − 3|2 + |z + 3|2 = 20
問題 0.4. 複素数 z は 2|z − 3 − 3i| = |z| を満たしている．
(1) このような条件を満たす点 z は複素数平面上でどのような図形を描くか？
(2) |z| の取りうる値の最大値と最小値を求めよ．
問題 0.5. 次の値を求めよ．
1
3
(1) cos(2i) (2) Im(tan(i)) (3) e 12 πi (4) e 4 πi (5) sin(2i)
5
(6) sin(−i) (7) cos i (8) tan(3i) (9) e 12 πi (10) Re(sin 3i)
問題 0.6. ( 計算過程の途中経過として ) eiz の値を求めて，次の複素数の方程式を解け．
√
3
(3) cos z = 3
2
問題 0.7. t を実数全体を動くパラメーターとするとき，z = 4e6it が動くことによって得られる
図形は何か．
(1) sin z = 1 (2) cos z =
問題 0.8. 次の条件を満たしている複素数 z のなす図形を図示せよ．
(0) Im(z) = Re(z)2
(1) |z − 3| = 3
(2) |z − 3|2 + |z + 3|2 = 50
1
練習問題２
2
(3) |z − 6| = |z + 6|
(7) |z − 6| = |z + 4|
(4) Re(z) + Im(z) = 1 (5) Re(z) = 1 (6) Im(z) = 3
(8) |z − 3| = 4 (9) |z − 3|2 + |z + 3|2 = 20
練習問題２
問 0.1
3 3√
(1) z = ±17i (2) z = − ±
3i (3) z = −2, 2, −2i, 2i
√ 2 √2
√
√
(4) z = −2, 2, −1 + 3i, 1 − 3i, −1 − 3i, 1 + 3i
(5) z = cos jφ + i sin jφ (j = 0, 1, 2, . . . , 9)
問 0.2
(
√ )
√ )(
√
√
5 + 5 3i
−5 + 5 3i
z+
(1) (z − 6)(z + 6) (2) (z − 5) z −
2
2
(3) (z + 2)(z
+
4)(z
+
6)
(
√ )(
√ )
1 + 13
1 − 13
(4) (z − 1) z +
z+
2
2
【注意】有理数の範囲では (z − 1)(z 2 + z − 3)
(5) (z
1)
( − 1)(z +
√ )(
√ )(
√ )(
√ )
1 − 3i
1 + 3i
1 − 3i
1 + 3i
z−
z−
z+
z+
2
2
2
2
(6) (z − 5)(z + 5)(z − 5i)(z + 5i)
(7) (z − cos 72◦ − i sin 72◦ ) (z − cos 144◦ − i sin 144◦ )
(z − cos 216◦ − i sin 216◦ ) (z − cos 288◦ − i sin 288◦ )
(8) (z − 1) (z − cos 72◦ − i sin 72◦ ) (z − cos 144◦ − i sin 144◦ )
(z − cos 216◦ − i sin 216◦ ) (z − cos 288◦ − i sin 288◦ )
(
√ )5 (
√ )5
1 − 3i
1 + 3i
5
3
3
(9) (z + 1) (z − 1) (10) (z − 1) z +
z+
2
2
2
問 0.3
(1) |z − 3| = 4
Im(z)
−1
7 Re(z)
O
(2) |z − 3|2 + |z + 3|2 = 20
3
練習問題２
4
Im(z)
Re(z)
O
1
2
問 0.4
(1) 与えられた式を整理してみる．
4|z|2 − 6(1 + i)z − 6(1 − i)z + 18 = |z|2
⇐⇒ |z|2 − 2(1 + i)z − 2(1 − i)z + 6 = 0
√
⇐⇒ |z − 2 − 2i| = 2
√
これは 2 + 2i を中心とした半径
√ 2 の円である．
(2) |z| ≤ |z − 2 − 2i| + |2 + 2i| = 3 2 となる．等号は z と 2 + 2i と 0 がこの順番に同一直線
上に並ぶときである．実際に計算すると，z = 3 + 3i のとき確かに等号が成立している．
2
問 0.5
(
)
( −1
)
e4 + 1
sin i
e −e
e2 − 1
(1) cos(2i) =
.
(2)
Im(tan(i))
=
Im
=
Im
= 2
2
cos i
2i cos i
e +1
√ 2e√
√
√
π
6
+
2
6
−
2
+
i
(3) e 12 i =
4
√4
√
3
2
2
e−2 − e2
e4 − 1
(4) e 4 πi = −
+
i (5) sin(2i) =
=
i
2
2
2i
2e2
−1
−1
−e + e
e+e
(6) sin(−i) =
(7) cos i =
2i
√2 √
√
√
5
e3 − e−3
6− 2
6+ 2
πi
12
(8) tan(3i) = 3
i (9) e
=
+
i
e + e−3
4
4
(10) Re(sin(3i)) = 0 2
問 0.7 |z| = 4，つまり原点 0 を中心とする半径 4 の円周である．図示は省略．2
問 0.8 図示は省略．

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