[2016・後] 線形代数（電物・電シ・社環）宿題9の補足

[２０１６・後] 線形代数（電物・電シ・社環）宿題９の補足
2016.12.13
1) 問 1(3) について a3 + b3 + c3 − 3abc の因数分解が出来る人は, あまりいなかったようである. 三
乗の和は,
{
}
A3 +B 3 = (A+B)3 −3AB(A+B) = (A+B) (A+B)2 −3AB ) = (A+B)(A2 −AB +B 2 )
のように因数分解できる. これを 2 回使えばよい.
2) 問 2 について
(1) 積を計算すると,

cos β

AB =  − sin α sin β
0
cos α
cos α sin β

− sin β

− sin α cos β 
sin α
cos α cos β
となる.
(2) |AB| = 1 は,
cos β
|AB| = − sin α sin β
cos α sin β
0
cos α
sin α
− sin β − sin α cos β cos α cos β = cos2 β cos2 α + sin2 α sin2 β + sin2 β cos2 α + cos2 β sin2 α
(
)
(
)
= cos2 β cos2 α + sin2 α + sin2 β sin2 α + cos2 α
= cos2 β + sin2 β = 1
のようにして示せる.
本問の A や B は, 3 次元空間において, ベクトルをある軸のまわりに回転させるような一次変換
を表している. たとえば,
 

x
1
0
 

A  y  =  0 cos α
z
0
sin α
 
0
x
 
− sin α   y 
cos α

z


x


  (
=  cos α · y − sin α · z  =  cos α

sin α · y + cos α · z
sin α
x


)( ) 
− sin α
y 

cos α
z
であるから, 行列 A は, ベクトル (x, y, z) を, x 軸のまわりに角 α だけ回転させるような行列であ
る. 実は,「原点を通るある直線のまわりにベクトルを回転させる一次変換」を表す行列は, いつも
行列式が 1 になることが知られている. A, B をそのような行列とするとき, 積 AB もまた別の回転
を表すから, AB の行列式も 1 になる.
以上

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