Serie 5

D-INFK
Özlem Imamoglu
Olga Sorkine-Hornung
Lineare Algebra
HS 2016
Serie 5
1. Seien ~lk und Lk der Vektor und die Matrix:


0
 .. 
 . 


 0 




~lk = lk+1,k 
lk+2,k 


 .. 
 . 




ln,k

1
 ..

.


1


l
k+1,k 1
Lk = 

..

.
lk+2,k


..

.
ln,k







 = I + ~lk~e>
k




..
. 
1
a) Zeigen Sie, dass gilt:

Lk
−1

1






=





..












.
1
−lk+1,k 1
..
−lk+2,k
..
.
.
..
−ln,k
.
1
b) Zeigen Sie, dass gilt:

Lk Lk+1






=






1
..












.
1
lk+1,k
1
lk+2,k lk+2,k+1
..
..
.
.
ln,k
ln,k+1
..
.
..
.
1
Bitte wenden!
2. Sei a, b, c ∈ C. Zeigen Sie, dass
>
~x1 = 0 0 1 ,
~x2 = 1 a b
>
,
>
~x3 = 0 1 c
eine Basis für C3 ist.
3. Betrachten Sie V = P3 .
a) Sei B = {p0 , p1 , p2 , p3 } und B 0 = {q0 , q1 , q2 , q3 }, wobei die Polynome durch
p0 (t) = 1,
p1 (t) = t,
p2 (t) = t2 ,
p3 (t) = t3 ,
q0 (t) = t − 1,
q1 (t) = t + 1,
q2 (t) = (t − 1)3 ,
q3 (t) = (t + 1)3 .
für alle t ∈ R gegeben sind. Zeigen Sie, dass B und B 0 Basen von V sind.
b) Geben sie die Transformationsmatrix T des Basiswechsels von B nach B 0 an.
4. M ATLAB-Aufgabe - Pivotisierte LR-Zerlegung (Korrektur durch Assistenten)
a) Erweitern Sie die LR-Zerlegung der Übungsserie 4 zu einer M ATLAB-Funktion
[L, R, P] = lrp(A)
zur Berechnung der LR-Zerlegung mit Zeilentauschen PA = LR für n × n Matrizen A.
Ihre Funktion soll zusätzlich zu L und R auch die Permutationsmatrix P zurückgeben.
Wählen Sie in jedem Schritt das Pivotelement mit maximalem Absolutbetrag.
b) Testen Sie Ihre Implementierung mit der Matrix


0 1 2
A = 1 0 3 
4 −3 8
und geben Sie die Matrizen L, R und P aus.
5. Lösen Sie die Online-Multiple-Choice-Aufgaben.
1. Welche der folgenden Teilmengen sind lineare Unterräume?
(a)
V := (s − 2r, r, 2s) ∈ R3 : r, s ∈ R ⊆ R3
(b)
W := (s − 2, 1, 2s)> ∈ R3 : r, s ∈ R ⊆ R3
Siehe nächstes Blatt!
2. Für welche β ∈ R ist Qn (β) := p : p ∈ Pn und p(1) = β ein Untervektorraum von Pn ?
(a)
β=1
(b)
β=0
(c)
β∈
/ {0, 1}
(d)
Alle β ∈ R
3. Welche der folgenden Teilmengen sind lineare Unterräume?
(a)
{p ∈ P1 : p(−1) = p(1)} ⊆ P1
(b)
{p ∈ P1 : p(1) = 1} ⊆ P1
(c)
x ∈ R2 : x21 + x22 = 1 ⊆ R2
(d)
x ∈ R2 : x1 + x2 = 5 ⊆ R2
(e)
x ∈ R2 : 2x1 = 4x2
⊆ R2
(f)
x ∈ R3 : 2x1 = 4x2
⊆ R3
Abgabe: Do/Fr 03./04. November 2016
http://igl.ethz.ch/teaching/linear-algebra/la2016/

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