Übungsblatt 5 - Fakultät für Mathematik

Fakultät für Mathematik
Institut für Algebra und Geometrie
Wintersemester 2016/17
Prof. Dr. Enrico Leuzinger
M. Sc. Moritz Gruber
Lineare Algebra und Analytische Geometrie I
Übungsblatt 5
Aufgabe 1
(P)
Es seien ( G, •) und ( H, ∗) Gruppen und eG bzw. e H das jeweilige neutrale Element.
Weiter sei Φ : G → H ein Gruppenhomomorphismus. Der Kern von Φ ist die Menge
Kern Φ := { g ∈ G | Φ( g) = e H }.
a) Zeigen Sie:
(i) Kern Φ ist eine Untergruppe von G.
(ii) Φ ist genau dann injektiv, wenn Kern Φ = {eG } gilt.
b) Zeigen Sie, dass die Menge G × H mit der Verknüpfung
( g1 , h 1 ) ( g2 , h 2 ) : = ( g1 • g2 , h 1 ∗ h 2 )
eine Gruppe ist. Sie wird direktes Produkt von G und H genannt.
Zeigen Sie weiter, dass die Abbildung
Φ : ( G × H, ) → ( G, •),
( g, h) 7→ g,
ein Homomorphismus ist. Bestimmen Sie außerdem den Kern von Φ.
Aufgabe 2
(P)
Es sei K ein Körper und
Tn (K) := { A ∈ Kn×n | aij = 0 für alle i, j ∈ {1, . . . , n} mit i > j}
die Menge der oberen Dreiecksmatrizen. Zeigen Sie:
a) Tn (K) ist ein Ring mit der üblichen Addition und Multiplikation von Matrizen.
b) Für alle k ∈ {1, . . . , n} ist φk : Tn (K) → K, ( aij ) 7→ akk ein Ringhomomorphismus.
Aufgabe 3
a) Zeigen Sie, dass die Menge
√
√
Q( 2) := { x + 2 · y | x, y ∈ Q} ( R
mit den üblichen Verknüpfungen + und · ein Körper ist.
b) Zeigen Sie, dass Z /p Z genau dann ein Körper ist, wenn p eine Primzahl ist.
Hinweis: Benutzen Sie ohne Beweis, dass für zwei teilerfremde Zahlen p, q ∈ N zwei Zahlen n, m ∈ Z
existieren, sodass pn + qm = 1 gilt.
Abgabe der Lösungen bis zum 21.11.2016 um 12 Uhr in den entsprechenden gelben Briefkasten Ihres Tutoriums im Atrium des Kollegiengebäudes Mathematik (20.30). Bitte heften Sie Ihre Abgabe ordentlich
zusammen und vermerken Sie Ihren Namen und Ihre Matrikelnummer auf jedem Blatt. Jede (P)-Aufgabe
wird mit maximal 6 Punkten bewertet.

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