3次方程式の解の個数について

赤阪正純 (http://inupri.web.fc2.com)
3 次方程式の解の個数 ( 1)
3 次方程式の解の個数について
例えば，2 次方程式の場合，実数解の個数は判別式 D の符号を調べればわかりますし，解の公式用いて
実際に解を求めることも可能です．しかし，3 次方程式の場合は，判別式や解の公式はないので (本当はあ
るんだけど ÝÝ)，実数解の個数は 2 次方程式のように簡単にはわかりません．では，どうすれば良いので
しょうか．
次の Yes=No マップにしたがって考えよう．
.Point/
3 次方程式の実数解の個数の調べ方 (Yes=No マップ)
Yes
因数分解が
f(x) = (1 次式) £ (2 次式) の形になるので，
(2 次式) の部分がどのような解をもつのか考えればよく，
実質的に 2 次方程式の解の問題と同じになります．
できますか？
No
定数分離が
Yes
できますか？
No
f(x) = 0 を g(x) = a という形に変形して，
y = g(x) のグラフと y = a のグラフの
交点を調べることになります．
y = f(x) のグラフを直接に調べるしかありません．
Y 「定数分離」とは，変数 x と定数 a(など) を左辺と右辺に分離することを言います．
Y 実数係数の 3 次方程式は実数解を少なくとも 1 個必ずもちます．このことは，3 次関数のグラフが
x 軸と少なくとも 1 回必ず交わることからもわかります．これは 2 次方程式、2 次関数とは決定的に違うと
ころです．よって，3 次方程式の実数解の個数は 1 個，2 個，3 個のいずれかになります．
L 1.
3 次方程式 x3 + (a + 1)x2 ¡ a = 0 の実数解の個数を調べよ．
N 上の Yes=No マップに従います．この方程式は因数分解できます．
A x3 + (a + 1)x2 ¡ a = 0 より (x + 1)(x2 + ax ¡ a) = 0．
したがって，a の値に関わらず，実数解 x = ¡1 を必ず持っている．
2 次方程式 x2 + ax ¡ a = 0 がどのような解を持つのか考える．
この 2 次方程式が x = ¡1 を解にもつとき，1 ¡ a ¡ a = 0 より，a =
1
2
1
のとき
2
1
1
1
2 次方程式 x2 + ax ¡ a = 0 は，x2 + x ¡
= 0 より，(x + 1) #x ¡ ; = 0．
2
2
2
1
1
つまり，x = ¡1 と x =
を解にもつので，もとの 3 次方程式も，x = ¡1 と x =
の 2 つの解を
2
2
(i) a =
もつ．
1
のとき
2
2
2 次方程式 x + ax ¡ a = 0 の判別式 D は，D = a2 + 4a = a(a + 4) なので，
1 1
D > 0 すなわち，a < ¡4，0 < a < ， < a のとき，x = ¡1 以外の異なる 2 つの実数解をもつ．
2 2
D = 0 すなわち，a = ¡4，0 のとき，x = ¡1 以外の重解をもつ．
(ii) a Ë
D < 0 すなわち，¡4 < a < 0 のとき，実数解をもたない．
赤阪正純 (http://inupri.web.fc2.com)
3 次方程式の解の個数 ( 2)
したがって，もとの 3 次方程式の解の個数は，
1 1
， < a のとき実数解 3 個．
2 2
a = ¡4，0 のとき，x = ¡1 と重解 1 個で合わせて 2 個．
a < ¡4，0 < a <
¡4 < a < 0 のとき，x = ¡1 のみで 1 個．
以上，(i)(ii) より，
1 1
a < ¡4，0 < a < ， < a のとき実数解 3 個．
2 2
Za = ¡4，0，1 のとき 2 個．
2
¡4 < a < 0 のとき，1 個．
■
このように，3 次方程式が因数分解できる場合は，単なる 2 次方程式の問題になり，微分などの知識は全
く不要です．
L 2.
3 次方程式 x3 + x2 ¡ x + a = 0 の実数解の個数を調べよ．
N 上の Yes=No マップに従うと，因数分解できませんが，定数分離できるので，2 つのグラフの
交点を調べることになります．
A x3 + x2 ¡ x + a = 0 より，
y = ¡x3 ¡ x2 + x
a = ¡x3 ¡ x2 + x () U
y=a
よって，もとの方程式の実数解は 2 つのグラフ y = g(x) = ¡x3 ¡ x2 + x と y = a との交点の x 座標に
等しい．
g0 (x) = ¡3x2 ¡ 2x + 1 = ¡(3x ¡ 1)(x + 1)．
1
g0 (x) = 0 より，x = ¡1;
3
x
y0
Ý
¡1
Ý
¡
0
+
1
3
0
y & 極小 % 極大
g(¡1) = 1 ¡ 1 ¡ 1 = ¡1
5
1
g# ; =
3
27
y
Ý
y=a
¡
&
¡1
5
27
O
1
3
x
よって，グラフより実数解の個数は，
y=a
5
a < ¡1， < a のとき 1 個
27
5
]a = ¡1，のとき 2 個
27
5
¡1 < a <
のとき 3 個
27
¡1
■
赤阪正純 (http://inupri.web.fc2.com)
L 3.
3 次方程式の解の個数 ( 3)
3 次方程式 x3 ¡ 3ax + a = 0 の実数解の個数を調べよ．
N 上の Yes=No マップに従うと，因数分解できませんし，定数分離もできません．したがって，
この場合は，y = x3 ¡ 3ax + a のグラフを直接に調べることになります．
x3
x3
= a となり，y =
のグラフを考えることになります
3x ¡ 1
3x ¡ 1
が，このグラフを図示するには数学 c の知識が必要なので今のところできません (個人的にはこの問題は
Y 無理やりに定数分離すると，
定数分離し数学 c を使うべきだと思います)．
しかし，y = x3 ¡ 3ax + a のグラフが a によって形が変わってくるので，その場合分けから始めねばな
りません．つまり，y0 = 3x2 ¡ 3a = 3(x2 ¡ a) なので，次のように形が分類されます．
a = 0 のとき
a < 0 のとき
a > 0 のとき
a = 0 と a < 0，すなわち合わせて a ≦ 0 のときは，グラフは単調増加なので，x 軸と 1 回だけ交わるか
ら，実数解の個数は 1 個になります．
しかし，a > 0 の場合 (極値をもつ場合) は解の個数が 1 個，2 個，3 個の場合があるので，この分類を考
えねばなりません．
実数解 1 個
実数解 2 個
実数解 3 個
この違いはどこにあるのでしょうか．それは，極値の符号の違いにあります．すなわち，
² 実数解が 1 個の場合，極大値と極小値が同符号 (共に正または負)
² 実数解が 2 個の場合，極大値と極小値のどちらか一方が 0
² 実数解が 3 個の場合，極大値と極小値が異符号
になっています．これがポイントです．
つまり，y = f(x) が x = ® で極大，x = ¯ で極小となるとすると，
² 実数解が 1 個 () f(®)f(¯) > 0
² 実数解が 2 個 () f(®)f(¯) = 0
² 実数解が 3 個 () f(®)f(¯) < 0
このように，実数解の個数が分類されます．
定数分離できない方程式の場合は，このような手法で分類するしか方法がありません．
赤阪正純 (http://inupri.web.fc2.com)
3 次方程式の解の個数 ( 4)
A
f(x) = x3 ¡ 3ax + a とおくと，f0 (x) = 3x2 ¡ 3a = 3(x2 ¡ a)
a = 0 のとき
(i) a ≦ 0 のとき
f0 (x) ≧ 0 なので，y = f(x) のグラフは単調増
a < 0 のとき
y
y
加．よって，y = f(x) のグラフは x 軸とただ 1 回
だけ交わるから，f(x) = 0 の実数解の個数は 1 個
x
O
O
x
である
(ii) a > 0 のとき
f0 (x) = 3x2 ¡ 3a = 3(x2 ¡ a)．
B
f0 (x) = 0 より，
x
=
§
Ba
B
x Ý ¡ a Ý
a Ý
y0
¡
0
+
0
x = 0 で 3 重解
x > 0 で実数解 1 個
a > 0 のとき
¡
& 極大 % 極小 &
B
B
B
B
f(¡ a) = ¡a a + 3a a + a = a + 2a a
B
B
B
B
f( a) = a a ¡ 3a a + a = a ¡ 2a a
y
B
¡ a
B
a
よって，増減表より f(x) は極値をもつので，実数解の個数はグラフより以下のように分類される．
実数解 1 個
実数解 2 個
実数解 3 個
極大値と極小値が同符号
極大値と極小値のどちらかが 0
極大値と極小値が異符号
B
B
f(¡ a)f( a) > 0
B
B
f(¡ a)f( a) = 0
B
B
f(¡ a)f( a) < 0
B
B
B
B
f(¡ a)f( a) = (a + 2a a)(a ¡ 2a a) = a2 ¡ 4a3 = a2 (1 ¡ 4a)．よって，
B
B
f(¡ a)f( a) > 0
B
B
f(¡ a)f( a) = 0
B
B
f(¡ a)f( a) < 0
() a2 (1 ¡ 4a) > 0
() 1 ¡ 4a > 0
() a2 (1 ¡ 4a) = 0 () 1 ¡ 4a = 0
() a2 (1 ¡ 4a) < 0
() 1 ¡ 4a < 0
∴ 0<a<
1
4
1
4
1
∴ a>
4
∴ a=
(i)(ii) より，f(x) = 0 の実数解の個数は，
a<
1
1
1
のとき 1 個， a = のとき 2 個， a > のとき 3 個
4
4
4
■
3 次方程式の解の個数の分類問題は，他のさまざまな問題にも応用される重要なテーマです．しっかりと
理解しておこう．

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