年 番号 1 氏名 8 枚のカードがあり,2 枚のカードには数字の 2 が書いてあり,残りの 6 枚のカードには数 字の 6 が書いてある.8 枚のカード の中から同時に 2 枚を取り出すとき,その 2 枚のカー ドに書かれた数字に対して,次のように点数を定める. ² 2 枚のカードに書かれた数字が同じとき,その数を a とし,方程式 cos(ax) = sin(ax) (0 5 x 5 ¼) の解の個数を点数とする. ² 2 枚のカード に書かれた数字が異なるとき,大きい方の数を b,小さい方の数を c とし , 方程式 cos(bx) = cos(cx) (0 5 x 5 ¼) の解の個数を点数とする. 次に答えよ. (1) 2 枚のカードに書かれた数字がともに 2 のときの点数を求めよ. (2) 2 枚のカードに書かれた数字の一方が 2,他方が 6 のときの点数を求めよ. (3) 2 枚のカードに書かれた数字が同じになる確率を求めよ. (4) 点数の期待値を求めよ. ( 九州工業大学 2007 ) 2 数列 fan g を, a1 = a2 = 1; an+2 = an+1 + an (n = 1; 2; 3; Ý) で定める.また,数列 fbn g を bn = cos(an ¼) (n = 1; 2; 3; Ý) で定め,数列 fcn g を cn = cos # an ¼; 2 (n = 1; 2; 3; Ý) で定める.次に答えよ. (1) b1 ; b2 ; b3 ; b4 ; b5 ; b6 の値を求めよ. (2) bn+3 (n = 1; 2; 3; Ý) を bn を用いて表せ. (3) b100 の値を求めよ. (4) c1 ; c2 ; c3 ; c4 ; c5 ; c6 の値を求めよ. (5) c2007 の値を求めよ. ( 九州工業大学 2007 ) 3 3 行列 P = ' p 2 2 ' 3 d p 1 ? がある.行列 A; B をそれぞれ A = ' 3 2 b 2 a 2 ?; B = 3 c 1 ? とする.次に答えよ. 3 (1) P = A + 4B; AB = BA をみたすように a; b; c; d を定め,積 AB を求めよ. (2) a; b; c; d を (1) で定めた値とする.自然数 n に対して An と Bn を求めよ. (3) 自然数 n に対して Pn を求めよ. ( 九州工業大学 2007 ) 4 曲線 C : y = log x 上の点 P(e; 1) における法線が x 軸と交わる点を Q とする.ただし, 対数は自然対数を表し,e は自然対数の底とする.次に答えよ. (1) 点 Q の座標を求めよ. (2) 点 P; Q および原点 O を通り,y 軸に平行な軸をもつ放物線の方程式を求めよ. (3) 曲線 C と x 軸との交点を R とする.(2) で求めた放物線と曲線 C および線分 OR で囲ま れる図形の面積 S を求めよ. (4) (3) の図形を x 軸のまわりに 1 回転してできる立体の体積 V を求めよ. ( 九州工業大学 2007 ) 5 曲線 C : y = 2b #b > 1 1 ; における接線 `1 と直線 `2 : y = b2 x + (x > 0) 上の点 P #a; x a 1 ; について,次に答えよ. a (1) 接線 `1 の方程式を求めよ. (2) `1 と `2 の交点を Q(X; Y) とする.X と Y をそれぞれ a; b を用いて表せ. p (3) `1 ; `2 および y 軸で囲まれる図形の面積 S が 2 ¡ 2 であるとき,ab の値を求めよ.ま たこのとき,X を a を用いて表し,Y を b を用いて表せ. p (4) 点 P が動くとき,S = 2 ¡ 2 をみたしながら動く `1 と `2 の交点 Q(X; Y) の軌跡を図 示せよ. ( 九州工業大学 2007 ) 6 a; b を 0 < a < 4b を満たす定数とする.放物線 C1 : y2 = ax と直線 ` : x = ¡b に対 p し ,放物線 C1 上の動点 P(t; at) (t = 0) を中心として直線 ` に接する円を C2 とする. 以下に答えよ. (1) 円 C2 の方程式を t; a; b を用いて表せ. (2) 円 C2 は x 軸と異なる 2 点で交わることを示せ. p (3) 動点 P(t; at) が t = 0 の範囲で動くとき,(2) における交点間の距離の最小値を求めよ. ( 九州工業大学 2007 ) 7 実数 a (a > 0) に対して曲線 C1 : y = x2 + ax および曲線 C2 : y = ¡2x2 + ax を考え る.曲線 C3 : y = f(x) は f(x) = V x2 + ax ¡2x2 (x < 0) + ax (x = 0) で与えられるものとする.また,実数 k に対して直線 ` : y = ¡ax + k を考える. (1) 曲線 C1 と曲線 C2 は原点 O で共通の接線をもつことを示せ. (2) 直線 ` が原点を通るとき,曲線 C3 と直線 ` で囲まれる部分の面積を求めよ. (3) 曲線 C3 と直線 ` の共有点の個数が 2 となるとき k を a を用いて表せ. (4) (3) で,共有点の個数が 2 となる k > 0 に対して,曲線 C3 ,直線 ` および y 軸によって 囲まれる x = 0 の部分を,x 軸の回りに 1 回転してできる立体の体積を求めよ. ( 九州工業大学 2007 ) 8 座標平面上の点 A(s; t) が 2 £ 2 行列 D により点 B(u; v) に移るとは, & u v > = D& s t > が成り立つことである.0 < µ < M=& r cos µ ¡r sin µ r sin µ r cos µ ¼ ; 0 < r < 1 とし,n を自然数とする.行列 2 > に対し,M の n 乗を Mn で表す.座標平面上の 4 点 P0 (1; 1),Q0 (¡1; 1),R0 (¡1; ¡1), S0 (1; ¡1) に対し,これらの 4 点が行列 Mn により移る点をそれぞれ Pn ,Qn ,Rn ,Sn と する.点 P1 は線分 P0 Q0 上にあるものとする.以下に答えよ. (1) r を µ を用いて表せ. (2) 次の等式が成り立つことを数学的帰納法を用いて証明せよ. Mn = & rn cos(nµ) ¡rn sin(nµ) rn sin(nµ) rn cos(nµ) > ¡¡¡¡! ¡¡! (3) Pn Pn+1 = (r sin µ)Pn Qn となることを示せ. ¡¡! ¡¡¡! (4) Pn Qn と Qn Rn は垂直であることを示せ. (5) 四角形 Pn Qn Rn Sn の面積を求めよ. ( 九州工業大学 2007 ) 9 次の問いに答えよ. (1) 袋 A には 1; 2; 3; 4 の番号が書かれた球がそれぞれ 1 個ずつ入っており,袋 B には 番号 1 が書かれた球が 1 個, 番号 2 が書かれた球が 2 個, 番号 3 が書かれた球が 3 個, 番号 4 が書かれた球が 4 個, 入っている.ただし 1 個の球には 1 つの番号が書かれている.袋 A および袋 B から球を 1 個ずつ取り出すとき,同じ番号が書かれた球を取り出す確率を求めよ. (2) 袋 A には 1; 2; Ý; n の番号が書かれた球がそれぞれ 1 個ずつ入っており,袋 B および 袋 C には 番号 1 が書かれた球が 1 個, 番号 2 が書かれた球が 2 個, 番号 3 が書かれた球が 3 個, Þ Þ Þ 番号 n が書かれた球が n 個, 入っている.ただし 1 個の球には 1 つの番号が書かれている.以下に答えよ. ‘ 袋 A および袋 B から球を 1 個ずつ取り出すものとする.同じ番号が書かれた球を取り 出す確率を n を用いて表せ. ’ 袋 A および袋 B から球を 1 個ずつ取り出すものとする.取り出した球に書かれた番号 が同じであればその番号分のポイントがもらえるものとする.平均していくらのポイ ントがもらえるか n を用いて表せ. “ 袋 B および袋 C から球を 1 個ずつ取り出すものとする.同じ番号が書かれた球を取り 出す確率を n を用いて表せ. ” 袋 B および袋 C から球を 1 個ずつ取り出すものとする.取り出した球に書かれた番号 が同じであればその番号分のポイントがもらえるものとする.平均していくらのポイ 2 1 ントがもらえるか.自然数の立方の和の公式 13 + 23 + 33 + Ý + n 3 = S n(n + 1)k 2 を用いてよい. ( 九州工業大学 2007 ) 10 1,1,2,2,3,3,0 の 7 個の数字を並べてできる 7 桁の自然数( 先頭の数字が 0 になる ことはない)について,次に答えよ. (1) 10 の倍数は何個あるか. (2) 数は全部で何個あるか. (3) 2000000 以下の数は何個あるか. (4) 一の位の数字が 1 である数は何個あるか. (5) すべての数の平均値を求めよ. ( 九州工業大学 2006 ) 11 平面上に一辺の長さが k の正方形 OABC がある.この平面上に ÎAOP = 60± ,ÎCOP = ¡! ¡ ! ¡! ¡ ! 150± ,OP = 1 となる点 P をとり,線分 AP の中点を M とする.OA = a ,OP = p と おいて,次に答えよ. ¡! (1) OM の長さを k を用いて表せ. ¡! ¡ ! ¡ ! (2) OC を k と a ; p を用いて表せ. ¡! ¡! (3) AC と OM が平行になるときの k の値を求めよ. ¡! ¡! (4) AC と AP が垂直になるときの k の値を求めよ. ( 九州工業大学 2006 ) 12 行列 A を A = ' B' 1 ¡1 1 1 1 ¡1 2 1 1 1 1 3 ? とする.B は 3 行 2 列の行列で, ? = , ¡1 ¡1 D をみたしている.次に答えよ. ¡1 ¡3 (1) B を求めよ. (2) AB および (AB)2 を求めよ. (3) 自然数 n に対して,E + AB + (AB)2 + Ý + (AB)n を求めよ.ただし,E = ' 1 0 0 1 ? とする. (4) 自然数 n に対して,BA + (BA)2 + (BA)3 + Ý + (BA)n+1 を求めよ. ( 九州工業大学 2006 ) 13 m > 0 とする.曲線 C : x2 + 3y2 = 3 (x = 0) と直線 Lm : y = mx ¡ 1 の 2 つの共有点 を A(0; ¡1),Bm (p; q) とおく.次に答えよ. (1) p; q を m を用いて表せ. (2) 2 点 A,Bm の間の距離を f(m) とする.f(m) の最大値とそのときの m の値 m0 を求 めよ. (3) (2) で求めた m0 に対して,曲線 C と線分 ABm0 の囲む図形の面積 S を求めよ. ( 九州工業大学 2006 ) 14 k を実数とする.曲線 Lk : y = x + x ¡ k と円 C : x2 + (y ¡ 2)2 = 1 がある.次に答 えよ. (1) 曲線 L2 を図示し,曲線 L2 と円 C の共有点の個数を求めよ. (2) 曲線 Lk と円 C の共有点の個数を調べよ. ( 九州工業大学 2006 )
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