年 番号 1 氏名 8 枚のカードがあり，2 枚のカードには数字の 2 が書いてあり，残りの 6 枚のカードには数 字の 6 が書いてある．8 枚のカード の中から同時に 2 枚を取り出すとき，その 2 枚のカー ドに書かれた数字に対して，次のように点数を定める． ² 2 枚のカードに書かれた数字が同じとき，その数を a とし，方程式 cos(ax) = sin(ax) (0 5 x 5 ¼) の解の個数を点数とする． ² 2 枚のカード に書かれた数字が異なるとき，大きい方の数を b，小さい方の数を c とし ， 方程式 cos(bx) = cos(cx) (0 5 x 5 ¼) の解の個数を点数とする． 次に答えよ． (1) 2 枚のカードに書かれた数字がともに 2 のときの点数を求めよ． (2) 2 枚のカードに書かれた数字の一方が 2，他方が 6 のときの点数を求めよ． (3) 2 枚のカードに書かれた数字が同じになる確率を求めよ． (4) 点数の期待値を求めよ． （ 九州工業大学 2007 ） 2 数列 fan g を， a1 = a2 = 1; an+2 = an+1 + an (n = 1; 2; 3; Ý) で定める．また，数列 fbn g を bn = cos(an ¼) (n = 1; 2; 3; Ý) で定め，数列 fcn g を cn = cos # an ¼; 2 (n = 1; 2; 3; Ý) で定める．次に答えよ． (1) b1 ; b2 ; b3 ; b4 ; b5 ; b6 の値を求めよ． (2) bn+3 (n = 1; 2; 3; Ý) を bn を用いて表せ． (3) b100 の値を求めよ． (4) c1 ; c2 ; c3 ; c4 ; c5 ; c6 の値を求めよ． (5) c2007 の値を求めよ． （ 九州工業大学 2007 ） 3 3 行列 P = ' p 2 2 ' 3 d p 1 ? がある．行列 A; B をそれぞれ A = ' 3 2 b 2 a 2 ?; B = 3 c 1 ? とする．次に答えよ． 3 (1) P = A + 4B; AB = BA をみたすように a; b; c; d を定め，積 AB を求めよ． (2) a; b; c; d を (1) で定めた値とする．自然数 n に対して An と Bn を求めよ． (3) 自然数 n に対して Pn を求めよ． （ 九州工業大学 2007 ） 4 曲線 C : y = log x 上の点 P(e; 1) における法線が x 軸と交わる点を Q とする．ただし， 対数は自然対数を表し，e は自然対数の底とする．次に答えよ． (1) 点 Q の座標を求めよ． (2) 点 P; Q および原点 O を通り，y 軸に平行な軸をもつ放物線の方程式を求めよ． (3) 曲線 C と x 軸との交点を R とする．(2) で求めた放物線と曲線 C および線分 OR で囲ま れる図形の面積 S を求めよ． (4) (3) の図形を x 軸のまわりに 1 回転してできる立体の体積 V を求めよ． （ 九州工業大学 2007 ） 5 曲線 C : y = 2b #b > 1 1 ; における接線 `1 と直線 `2 : y = b2 x + (x > 0) 上の点 P #a; x a 1 ; について，次に答えよ． a (1) 接線 `1 の方程式を求めよ． (2) `1 と `2 の交点を Q(X; Y) とする．X と Y をそれぞれ a; b を用いて表せ． p (3) `1 ; `2 および y 軸で囲まれる図形の面積 S が 2 ¡ 2 であるとき，ab の値を求めよ．ま たこのとき，X を a を用いて表し，Y を b を用いて表せ． p (4) 点 P が動くとき，S = 2 ¡ 2 をみたしながら動く `1 と `2 の交点 Q(X; Y) の軌跡を図 示せよ． （ 九州工業大学 2007 ） 6 a; b を 0 < a < 4b を満たす定数とする．放物線 C1 : y2 = ax と直線 ` : x = ¡b に対 p し ，放物線 C1 上の動点 P(t; at) (t = 0) を中心として直線 ` に接する円を C2 とする． 以下に答えよ． (1) 円 C2 の方程式を t; a; b を用いて表せ． (2) 円 C2 は x 軸と異なる 2 点で交わることを示せ． p (3) 動点 P(t; at) が t = 0 の範囲で動くとき，(2) における交点間の距離の最小値を求めよ． （ 九州工業大学 2007 ） 7 実数 a (a > 0) に対して曲線 C1 : y = x2 + ax および曲線 C2 : y = ¡2x2 + ax を考え る．曲線 C3 : y = f(x) は f(x) = V x2 + ax ¡2x2 (x < 0) + ax (x = 0) で与えられるものとする．また，実数 k に対して直線 ` : y = ¡ax + k を考える． (1) 曲線 C1 と曲線 C2 は原点 O で共通の接線をもつことを示せ． (2) 直線 ` が原点を通るとき，曲線 C3 と直線 ` で囲まれる部分の面積を求めよ． (3) 曲線 C3 と直線 ` の共有点の個数が 2 となるとき k を a を用いて表せ． (4) (3) で，共有点の個数が 2 となる k > 0 に対して，曲線 C3 ，直線 ` および y 軸によって 囲まれる x = 0 の部分を，x 軸の回りに 1 回転してできる立体の体積を求めよ． （ 九州工業大学 2007 ） 8 座標平面上の点 A(s; t) が 2 £ 2 行列 D により点 B(u; v) に移るとは， & u v > = D& s t > が成り立つことである．0 < µ < M=& r cos µ ¡r sin µ r sin µ r cos µ ¼ ; 0 < r < 1 とし，n を自然数とする．行列 2 > に対し，M の n 乗を Mn で表す．座標平面上の 4 点 P0 (1; 1)，Q0 (¡1; 1)，R0 (¡1; ¡1)， S0 (1; ¡1) に対し，これらの 4 点が行列 Mn により移る点をそれぞれ Pn ，Qn ，Rn ，Sn と する．点 P1 は線分 P0 Q0 上にあるものとする．以下に答えよ． (1) r を µ を用いて表せ． (2) 次の等式が成り立つことを数学的帰納法を用いて証明せよ． Mn = & rn cos(nµ) ¡rn sin(nµ) rn sin(nµ) rn cos(nµ) > ¡¡¡¡! ¡¡! (3) Pn Pn+1 = (r sin µ)Pn Qn となることを示せ． ¡¡! ¡¡¡! (4) Pn Qn と Qn Rn は垂直であることを示せ． (5) 四角形 Pn Qn Rn Sn の面積を求めよ． （ 九州工業大学 2007 ） 9 次の問いに答えよ． (1) 袋 A には 1; 2; 3; 4 の番号が書かれた球がそれぞれ 1 個ずつ入っており，袋 B には 番号 1 が書かれた球が 1 個， 番号 2 が書かれた球が 2 個， 番号 3 が書かれた球が 3 個， 番号 4 が書かれた球が 4 個， 入っている．ただし 1 個の球には 1 つの番号が書かれている．袋 A および袋 B から球を 1 個ずつ取り出すとき，同じ番号が書かれた球を取り出す確率を求めよ． (2) 袋 A には 1; 2; Ý; n の番号が書かれた球がそれぞれ 1 個ずつ入っており，袋 B および 袋 C には 番号 1 が書かれた球が 1 個， 番号 2 が書かれた球が 2 個， 番号 3 が書かれた球が 3 個， Þ Þ Þ 番号 n が書かれた球が n 個， 入っている．ただし 1 個の球には 1 つの番号が書かれている．以下に答えよ． ‘ 袋 A および袋 B から球を 1 個ずつ取り出すものとする．同じ番号が書かれた球を取り 出す確率を n を用いて表せ． ’ 袋 A および袋 B から球を 1 個ずつ取り出すものとする．取り出した球に書かれた番号 が同じであればその番号分のポイントがもらえるものとする．平均していくらのポイ ントがもらえるか n を用いて表せ． “ 袋 B および袋 C から球を 1 個ずつ取り出すものとする．同じ番号が書かれた球を取り 出す確率を n を用いて表せ． ” 袋 B および袋 C から球を 1 個ずつ取り出すものとする．取り出した球に書かれた番号 が同じであればその番号分のポイントがもらえるものとする．平均していくらのポイ 2 1 ントがもらえるか．自然数の立方の和の公式 13 + 23 + 33 + Ý + n 3 = S n(n + 1)k 2 を用いてよい． （ 九州工業大学 2007 ） 10 1，1，2，2，3，3，0 の 7 個の数字を並べてできる 7 桁の自然数（ 先頭の数字が 0 になる ことはない）について，次に答えよ． (1) 10 の倍数は何個あるか． (2) 数は全部で何個あるか． (3) 2000000 以下の数は何個あるか． (4) 一の位の数字が 1 である数は何個あるか． (5) すべての数の平均値を求めよ． （ 九州工業大学 2006 ） 11 平面上に一辺の長さが k の正方形 OABC がある．この平面上に ÎAOP = 60± ，ÎCOP = ¡! ¡ ! ¡! ¡ ! 150± ，OP = 1 となる点 P をとり，線分 AP の中点を M とする．OA = a ，OP = p と おいて，次に答えよ． ¡! (1) OM の長さを k を用いて表せ． ¡! ¡ ! ¡ ! (2) OC を k と a ; p を用いて表せ． ¡! ¡! (3) AC と OM が平行になるときの k の値を求めよ． ¡! ¡! (4) AC と AP が垂直になるときの k の値を求めよ． （ 九州工業大学 2006 ） 12 行列 A を A = ' B' 1 ¡1 1 1 1 ¡1 2 1 1 1 1 3 ? とする．B は 3 行 2 列の行列で， ? = , ¡1 ¡1 D をみたしている．次に答えよ． ¡1 ¡3 (1) B を求めよ． (2) AB および (AB)2 を求めよ． (3) 自然数 n に対して，E + AB + (AB)2 + Ý + (AB)n を求めよ．ただし，E = ' 1 0 0 1 ? とする． (4) 自然数 n に対して，BA + (BA)2 + (BA)3 + Ý + (BA)n+1 を求めよ． （ 九州工業大学 2006 ） 13 m > 0 とする．曲線 C : x2 + 3y2 = 3 (x = 0) と直線 Lm : y = mx ¡ 1 の 2 つの共有点 を A(0; ¡1)，Bm (p; q) とおく．次に答えよ． (1) p; q を m を用いて表せ． (2) 2 点 A，Bm の間の距離を f(m) とする．f(m) の最大値とそのときの m の値 m0 を求 めよ． (3) (2) で求めた m0 に対して，曲線 C と線分 ABm0 の囲む図形の面積 S を求めよ． （ 九州工業大学 2006 ） 14 k を実数とする．曲線 Lk : y = x + x ¡ k と円 C : x2 + (y ¡ 2)2 = 1 がある．次に答 えよ． (1) 曲線 L2 を図示し，曲線 L2 と円 C の共有点の個数を求めよ． (2) 曲線 Lk と円 C の共有点の個数を調べよ． （ 九州工業大学 2006 ）
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