微分積分学および演習Ⅱ 演習問題 7
2016 年度後期
工学部・未来科学部 1 年
担当: 原 隆 (未来科学部数学系列・助教)
演習課題
Exercises in class ※ ∗ 印の付いた問題は、少し難易度が高めです。
問題 7-1. (多項式の展開係数と偏微分係数)
Ⅰ. 2 変数の 2 次多項式 f (x, y) = (3x − 5y − 1)2 − 3x + 2y − 1 について以下の設問に答えなさい。
(1) f (x, y) を f (x, y) = a00 + a10 x + a01 y + a20 x2 + a11 xy + a02 y 2 と展開したときの xm y n
の係数 amn を求めなさい。
(2) f (x, y) を
f (x, y) = b00 + b10 (x − 2) + b01 (y − 1) + b20 (x − 2)2 + b11 (x − 2)(y − 1) + b02 (y − 1)2
と展開したときの (x − 2)m (y − 1)n の係数 bmn を求めなさい。
Ⅱ. 2 変数の 3 次多項式 g(x, y) = (x + y − 1)3 − (x3 + y 3 ) + (x + 2y)2 − (2x + y + 1) について以下
の設問に答えなさい。
(1) g(x, y) を g(x, y) = a00 +a10 x+a01 y+a20 x2 +a11 xy+a02 y 2 +a30 x3 +a21 x2 y+a12 xy 2 +a03 y 3
と展開したときの xm y n の係数 amn を求めなさい。
(2) f (x, y) を
f (x, y) = b00 + b10 (x − 1) + b01 (y + 1) + b20 (x − 1)2 + b11 (x − 1)(y + 1) + b02 (y + 1)2
+ b30 (x − 1)3 + b21 (x − 1)2 (y + 1) + b12 (x − 1)(y + 1)2 + b03 (y + 1)3
と展開したときの (x − 1)m (y + 1)n の係数 bmn を求めなさい。
問題 7-2. (2 変数関数のマクローリン展開)
以下の 2 変数関数のマクローリン展開を、指定のされた次数の項まで求めなさい。
(1)
f (x, y) = ex+y
(2 次)
(2)
f (x, y) = Arctan (x − y)
(2 次)
(3)
f (x, y) = log(1 + 2x − y)
(2 次)
(4)
f (x, y) = cos(3x − y)
(3 次)
(3 次)
(6)
f (x, y) = ex cos y
(3 次)
(4 次)
(8)
f (x, y) = sin x sin y
(4 次)
y
e
1−x
(5)
f (x, y) =
(7)
f (x, y) = exy
【解説と解答例】
問題 7-2.
講義のときにも解説したように、多変数関数のマクローリン展開の展開係数は 高階偏微分係数
なので、直接計算しようとすると高階導関数を幾つも計算する必要があり、計算量が膨大になってし
まう。その一方で、可能な場合には 1 変数のマクローリン展開の公式 を巧く活用すると非常に簡単
にマクローリン展開が求まる場合が多い。したがって 自分の知っている (1 変数関数の) マクローリ
ン展開の公式が使えるように巧く工夫する のがマクローリン展開を効率的に計算するための秘訣で
あるとも言えよう。
ただ、真面目に高階偏微分係数を計算していけば (計算量が膨大になるとはいえ) いつかは 必ず
マクローリン展開を求めることができる のも事実であるので、巧く用いられそうな公式が見当たら
なかった場合にはあまり「公式探し」に拘泥せず、直ぐに 高階偏微分係数を直接計算してマクロー
リン展開を計算する 方針に切り替えられるようにすることも肝要である。
- マクローリン展開の展開係数を直接計算する方法
- 自分の知っているマクローリン展開の公式を巧く利用する方法
を 柔軟に 使い分けられるようにしよう。
以下に、夏学期の『微分積分学および演習Ⅰ』の復習として 丸暗記 すべき 1 変数関数のマクロー
リン展開の公式を再掲しておく。必ず丸暗記すること!!
babababababababababababababababababab
∞
xn
x2 x3
=1+x+
+
+ ......
2! 3!
n=0 n!
ex = ∑
∞
sin x = ∑ (−1)n
n=0
∞
cos x = ∑ (−1)n
n=0
∞
x2n+1
x3 x5 x7
=x−
+
−
+ ......
(2n + 1)!
3! 5! 7!
x2n
x2 x4 x6
=1−
+
−
+ ......
(2n)!
2! 4! 6!
log(1 + x) = ∑ (−1)n−1
n=1
xn
x2 x3 x4
=x−
+
−
+ ......
n
2
3
4
( 但し ∣x∣ < 1)
α ∈ R に対し
∞
α(α − 1)⋯(α − n + 1) n
x
n!
n=0
α(α − 1) 2 α(α − 1)(α − 2) 3
= 1 + αx +
x +
x + ......
2!
3!
(1 + x)α = ∑
( 但し ∣x∣ < 1)
次のページからの解答例では、最初に 高階偏微分係数を直接計算する方法 で求めた解答を提示し、
その後 1 変数関数のマクローリン展開の公式を利用した方法 による別解を記載する。後者の方が圧
倒的に計算量が少なくて済む ことを実感しよう。
【解答例】
(1) f (x, y) = ex+y
/o /o /o / f (0, 0) = 1
(2 次)
fx (x, y) = ex+y
/o /o /o / fx (0, 0) = 1
fy (x, y) = ex+y
/o /o /o / fy (0, 0) = 1
fxx (x, y) = ex+y
/o /o /o / fxx (0, 0) = 1
fxy (x, y) = ex+y
/o /o /o / fxy (0, 0) = 1
fyy (x, y) = ex+y
/o /o /o / fyy (0, 0) = 1
であるから
f (x, y) = f (0, 0) + {fx (0, 0)x + fy (0, 0)y}
1
1
1
+{
fxx (0, 0)x2 +
fxy (0, 0)xy +
fyy (0, 0)y 2 } + . . . . . .
2!0!
1!1!
0!2!
1
1
= 1 + x + y + x2 + xy + y 2 + . . . . . .
2
2
t
別解 x + y を一塊にして e のマクローリン展開の公式を用いると
log ex+y = 1 + (x + y) +
(2) f (x, y) = Arctan (x − y)
fx (x, y) =
fxx (x, y) =
fyy (x, y) =
1
1
1
(x + y)2 + . . . . . . = 1 + x + y + x2 + xy + y 2 + . . . . . .
2!
2
2
(2 次)
1
1 + (x − y)2
/o /o /o / fx (0, 0) = 1
−2(x − y)
{a + (x − y)2 }2
/o /o /o / fxx (0, 0) = 0
/o /o /o / f (0, 0) = 0
fy (x, y) =
fxy (x, y) =
−1
1 + (x − y)2
/o /o /o / fy (0, 0) = −1
2(x − y)
{1 + (x − y)2 }2
/o /o /o / fxy (0, 0) = 0
−2(x − y)
{1 + (x − y)2 }2
/o /o /o / fyy (0, 0) = 0
であるから
f (x, y) = f (0, 0) + {fx (0, 0)x + fy (0, 0)y}
1
1
1
+{
fxx (0, 0)x2 +
fxy (0, 0)xy +
fyy (0, 0)y 2 } + . . . . . . = x − y + . . . . . .
2!0!
1!1!
0!2!
別解
x − y を一塊にして Arctan (t) のマクローリン展開の公式
1
1
Arctan (t) = x − x3 + x5 − . . . . . .
3
5
を用いると
Arctan ((x − y)) = (x − y) − . . . . . . = x − y + . . . . . .
babababababababababababababababababab
1
は、初項 1, 公比 −t2 の無限等比級数の和
1 + t2
参考 (∗) ∶
1
= 1 − t2 + t4 − t6 + . . . . . . + (−1)n t2n + . . . . . .
1 + t2
である。(Arctan (t))′ =
1
より、(∗) の両辺を t で積分すると
1 + t2
Arctan (t) = t −
1 3 1 5
(−1)n 2n+1
t + t − ...... +
t
+ ......
3!
5!
(2n + 1)!
が得られる*1 。ここで、積分をする際には厳密には無限級数の項別積分可能性を調べる必
要があるが、取り敢えずそこを認めてしまえば、わざわざ覚えなくとも Arctan (t) のマク
ローリン展開を導けてしまうのである。
(3) f (x, y) = log(1 + 2x − y)
fx (x, y) =
(2 次)
/o /o /o / f (0, 0) = 0
2
1 + 2x − y
/o /o /o / fx (0, 0) = 2
−4
(1 + 2x − y)2
/o /o /o / fxx (0, 0) = 4
1
fyy (x, y) = −
(1 + 2x − y)2
/o /o /o / fyy (0, 0) = −1
fxx (x, y) =
1
1 + 2x − y
/o /o /o / fy (0, 0) = −1
fy (x, y) = −
fxy (x, y) =
2
(1 + 2x − y)2
/o /o /o / fxy (0, 0) = 2
であるから
f (x, y) = f (0, 0) + {fx (0, 0)x + fy (0, 0)y}
1
1
1
+{
fxx (0, 0)x2 +
fxy (0, 0)xy +
fyy (0, 0)y 2 } + . . . . . .
2!0!
1!1!
0!2!
1
= 2x − y − 2x2 + 2xy − y 2 + . . . . . .
2
別解
2x − y を一塊にして log(1 + t) のマクローリン展開の公式を用いると
1
1
log(1 + (2x − y)) = (2x − y) − (2x − y)2 + . . . . . . = 2x − y − 2x2 + 2xy − y 2 + . . . . . .
2
2
*1
当然積分定数 C が発生するが、Arctan (0) = 0 であったことから C = 0 であることが分かる。
(4) f (x, y) = cos(3x − y)
/o /o /o / f (0, 0) = 1
(3 次)
fx (x, y) = −3 sin(3x − y)
/o /o /o / fx (0, 0) = 0
fxx (x, y) = −9 cos(3x − y)
/o /o /o / fxx (0, 0) = −9
fy (x, y) = sin(3x − y)
/o /o /o / fy (0, 0) = 0
fxy (x, y) = 3 cos(3x − y)
/o /o /o / fxy (0, 0) = 3
fyy (x, y) = − cos(3x − y)
/o /o /o / fyy (0, 0) = −1
fxxx (x, y) = 27 sin(3x − y)
/o /o /o / fxxx (0, 0) = 0
fxxy (x, y) = −9 sin(3x − y)
/o /o /o / fxxy (0, 0) = 0
fxyy (x, y) = 3 sin(3x − y)
/o /o /o / fxyy (0, 0) = 0
fyyy (x, y) = − sin(3x − y)
/o /o /o / fyyy (0, 0) = 0
となるので
1
1
1
fxx (0, 0)x2 +
fxy (0, 0)xy +
fyy (0, 0)y 2 }
2!0!
1!1!
0!2!
1
1
1
1
+{
fxxx (0, 0)x3 +
fxxy (0, 0)x2 y +
fxyy (0, 0)xy 2 +
fyyy (0, 0)y 3 } + . . . . . .
3!0!
2!1!
1!2!
0!3!
f (x, y) = f (0, 0) + {fx (0, 0)x + fy (0, 0)y} + {
1
9
= 1 − x2 + 3xy − y 2 + . . . . . .
2
2
別解 (3x − y) を一塊にして cos t のマクローリン展開の公式を用いると
cos (3x − y) = 1 −
(5) f (x, y) =
ey
1−x
(3 次)
fx (x, y) =
1
9
1
(3x − y)2 + . . . . . . = 1 − x2 + 3xy − y 2 + . . . . . .
2!
2
2
/o /o /o / f (0, 0) = 1
ey
(1 − x)2
/o /o /o / fx (0, 0) = 1
2ey
(1 − x)3
/o /o /o / fxx (0, 0) = 2
ey
fyy (x, y) =
1−x
/o /o /o / fyy (0, 0) = 1
fxx (x, y) =
6ey
(1 − x)4
/o /o /o / fxxx (0, 0) = 6
ey
fxyy (x, y) =
(1 − x)2
/o /o /o / fxyy (0, 0) = 1
fxxx (x, y) =
fy (x, y) =
fxy (x, y) =
ey
1−x
/o /o /o / fy (0, 0) = 1
ey
(1 − x)2
/o /o /o / fxy (0, 0) = 1
2ey
(1 − x)3
/o /o /o / fxxy (0, 0) = 2
ey
fyyy (x, y) =
1−x
/o /o /o / fyyy (0, 0) = 1
fxxy (x, y) =
となるので
1
1
1
fxx (0, 0)x2 +
fxy (0, 0)xy +
fyy (0, 0)y 2 }
2!0!
1!1!
0!2!
1
1
1
1
fxxx (0, 0)x3 +
fxxy (0, 0)x2 y +
fxyy (0, 0)xy 2 +
fyyy (0, 0)y 3 } + . . . . . .
+{
3!0!
2!1!
1!2!
0!3!
f (x, y) = f (0, 0) + {fx (0, 0)x + fy (0, 0)y} + {
1
1
1
= 1 + x + y + x2 + xy + y 2 + x3 + x2 y + xy 2 + y 3 + . . . . . .
2
2
6
−1 y
−1
と ey のマクローリン展開の公式を用いると
別解 f (x, y) = (1 − x) e より、 (1 − x)
ey
1
1
= (1 + x + x2 + x3 + . . . . . . )(1 + y + y 2 + y 3 + . . . . . . )
1−x
2
3!
1
1
1
= 1 + x + y + x2 + xy + y 2 + x3 + x2 y + xy 2 + y 3 + . . . . . .
2
2
6
(6) f (x, y) = ex cos y
(3 次)
/o /o /o / f (0, 0) = 1
fx (x, y) = ex cos y
/o /o /o / fx (0, 0) = 1
fy (x, y) = −ex sin y
/o /o /o / fy (0, 0) = 0
fxx (x, y) = ex cos y
/o /o /o / fxx (0, 0) = 1
fxy (x, y) = −ex sin y
/o /o /o / fxy (0, 0) = 0
fyy (x, y) = −ex cos y
/o /o /o / fyy (0, 0) = −1
fxxx (x, y) = ex cos y
/o /o /o / fxxx (0, 0) = 1
fxxy (x, y) = −ex sin y
/o /o /o / fxxy (0, 0) = 0
fxyy (x, y) = −ex cos y
/o /o /o / fxyy (0, 0) = −1
fyyy (x, y) = ex sin y
/o /o /o / fyyy (0, 0) = 0
であるから
1
1
1
fxx (0, 0)x2 +
fxy (0, 0)xy +
fyy (0, 0)y 2 }
2!0!
1!1!
0!2!
1
1
1
1
+{
fxxx (0, 0)x3 +
fxxy (0, 0)x2 y +
fxyy (0, 0)xy 2 +
fyyy (0, 0)y 3 } + . . . . . .
3!0!
2!1!
1!2!
0!3!
f (x, y) = f (0, 0) + {fx (0, 0)x + fy (0, 0)y} + {
1
1
1
1
= 1 + x + x2 − y 2 + x3 − xy 2 + . . . . . .
2
2
6
2
x
別解 e と cos y のマクローリン展開の公式を用いて
ex cos y = (1 + x +
1 2 1 3
y2
x + x + . . . )(1 −
+ ...)
2!
3!
2!
1
1
1
1
= 1 + x + x2 − y 2 + x3 − xy 2 + . . . . . .
2
2
6
2
(7) f (x, y) = exy
(4 次)
/o /o /o / f (0, 0) = 1
fx (x, y) = yexy
/o /o /o / fx (0, 0) = 0
fy (x, y) = xexy
/o /o /o / fy (0, 0) = 0
fxx (x, y) = y 2 exy
/o /o /o / fxx (0, 0) = 0
fxy (x, y) = (xy + 1)exy
/o /o /o / fxy (0, 0) = 1
fyy (x, y) = x2 exy
/o /o /o / fyy (0, 0) = 0
fxxx (x, y) = y 3 exy
/o /o /o / fxxx (0, 0) = 0
fxxy (x, y) = y(xy + 2)exy
/o /o /o / fxxy (0, 0) = 0
fxyy (x, y) = x(xy + 2)exy
/o /o /o / fxyy (0, 0) = 0
fyyy (x, y) = x3 exy
/o /o /o / fyyy (0, 0) = 0
fxxxx (x, y) = y 4 exy
/o /o /o / fxxxx (0, 0) = 0
fxxxy (x, y) = y 2 (xy + 3)exy
/o /o /o / fxxxy (0, 0) = 0
fxxyy (x, y) = (x2 y 2 + 4xy + 2)exy
/o /o /o / fxxyy (0, 0) = 2
fxyyy (x, y) = x2 (xy + 3)exy
/o /o /o / fxyyy (0, 0) = 0
fyyyy (x, y) = x4 exy
/o /o /o / fyyyy (0, 0) = 0
であるから
1
1
1
fxx (0, 0)x2 +
fxy (0, 0)xy +
fyy (0, 0)y 2 }
2!0!
1!1!
0!2!
1
1
1
1
+{
fxxx (0, 0)x3 +
fxxy (0, 0)x2 y +
fxyy (0, 0)xy 2 +
fyyy (0, 0)y 3 }
3!0!
2!1!
1!2!
0!3!
1
1
1
+{
fxxxx (0, 0)x4 +
fxxxy (0, 0) x3 y +
fxxyy (0, 0)x2 y 2
4!0!
3!1!
2!2!
1
1
+
fxyyy (0, 0)xy 3 +
fyyyy (0, 0)y 4 } + . . . . . .
1!3!
0!4!
f (x, y) = f (0, 0) + {fx (0, 0)x + fy (0, 0)y} + {
1
= 1 + xy + x2 y 2 + . . . . . .
2
t
別解 e の指数の xy を一塊にして e のマクローリン展開の公式を用いると
exy = 1 + (xy) +
1
1
(xy)2 + . . . . . . = 1 + xy + x2 y 2 + . . . . . .
2!
2
(8) f (x, y) = sin x sin y
(4 次)
/o /o /o / f (0, 0) = 0
fx (x, y) = cos x sin y
/o /o /o / fx (0, 0) = 0
fy (x, y) = sin x cos y
/o /o /o / fy (0, 0) = 0
fxx (x, y) = − sin x sin y
/o /o /o / fxx (0, 0) = 0
fxy (x, y) = cos x cos y
/o /o /o / fxy (0, 0) = 1
fyy (x, y) = − sin x sin y
/o /o /o / fyy (0, 0) = 0
fxxx (x, y) = − cos x sin y
/o /o /o / fxxx (0, 0) = 0
fxxy (x, y) = − sin x cos y
/o /o /o / fxxy (0, 0) = 0
fxyy (x, y) = − cos x sin y
/o /o /o / fxyy (0, 0) = 0
fyyy (x, y) = − sin x cos y
/o /o /o / fyyy (0, 0) = 0
fxxxx (x, y) = sin x sin y
/o /o /o / fxxxx (0, 0) = 0
fxxxy (x, y) = − cos x cos y
/o /o /o / fxxxy (0, 0) = −1
fxxyy (x, y) = sin x sin y
/o /o /o / fxxyy (0, 0) = 0
fxyyy (x, y) = − cos x cos y
/o /o /o / fxyyy (0, 0) = −1
fyyyy (x, y) = sin x cos y
/o /o /o / fyyyy (0, 0) = 0
であるから
1
1
1
fxx (0, 0)x2 +
fxy (0, 0)xy +
fyy (0, 0)y 2 }
2!0!
1!1!
0!2!
1
1
1
1
+{
fxxx (0, 0)x3 +
fxxy (0, 0)x2 y +
fxyy (0, 0)xy 2 +
fyyy (0, 0)y 3 }
3!0!
2!1!
1!2!
0!3!
1
1
1
+{
fxxxx (0, 0)x4 +
fxxxy (0, 0) x3 y +
fxxyy (0, 0)x2 y 2
4!0!
3!1!
2!2!
1
1
fxyyy (0, 0)xy 3 +
fyyyy (0, 0)y 4 } + . . . . . .
+
1!3!
0!4!
f (x, y) = f (0, 0) + {fx (0, 0)x + fy (0, 0)y} + {
1
1
= xy − x3 y − xy 3 + . . . . . . .
6
6
別解 sin x と sin y のマクローリン展開の公式を用いて
sin x sin y = (x −
1
1 3
1
1
x + . . . . . . )(y − y 3 + . . . . . . ) = xy − x3 y − xy 3 + . . . . . .
3!
3!
6
6
© Copyright 2024 ExpyDoc
