第2回レポートの解答例

第 2 回レポートの解答例
1
[
] [ ]
[
] [ ] [ ]
−1
1
−1
1
0
1
1
1
1
(1) 部分空間ではない．実際，
,
∈ W だが，その和
+
= 2 ̸∈ W ．
1
1
1
1
2
(2) 部分空間である．多項式 0 は明らかに条件を満たすし，f (1 − x) = f (x), g(1 − x) = g(x) の
とき，(af + bg)(1 − x) = af (1 − x) + bg(1 − x) = af (x) + bg(x) = (af + bg)(x) となるから．
［補足］ y = f (1 − x) のグラフは y = f (x) のグラフを x = 21 に関して対称移動したもので
あることに注意すると，条件 f (1 − x) = f (x) は，y = f (x) のグラフが x = 21 に関して対称
であることを意味している．このような 2 つのグラフが与えられたとき，その和や実数倍も
もちろん x = 21 に関して対称である．
(3) 部分空間である．0 は x2 − x + 1 で割り切れるし，f (x), g(x) が x2 − x + 1 で割り切れると
すると，f (x) = (x2 − x + 1)q1 (x)，g(x) = (x2 − x + 1)q2 (x) とおけば，af (x) + bg(x) =
a(x2 −x+1)q1 (x)+b(x2 −x+1)q2 (x) = (x2 −x+1)(aq1 (x)+bq2 (x)) となるので，af (x)+bg(x)
も x2 − x + 1 で割り切れる．

 


 

0000
1000
0000
1000
0 1 0 0 0 0 0 0
0 1 0 0 0 0 0 0
̸∈ W ．
+
∈ W だが，その和 
,
(4) 部分空間ではない．
0 0 0 0 0 0 1 0
0 0 0 0 0 0 1 0
0001
0000
0001
0000
(5) 部分空間である．A = 0 なら明らかに条件が満たされている．また，JA + tAJ = 0 かつ
JB + tBJ = 0 のとき，J(aA + bB) + t(aA + bB)J = a(JA + tAJ) + b(JB + t BJ) = 0 だから．
(6) 部分空間である．f (x) = 0 なら f ′′ (x) = (sin x)(f (x)) は成り立つ．また，f ′′ (x) = (sin x)f (x), g ′′ (x) =
(sin x)g(x) のとき，(af +bg)′′ (x) = af ′′ (x)+bg ′′ (x) = a(sin x)f (x)+b(sin x)g(x) = (sin x)(af (x)+
bg(x))．
(7) 部分空間でない．f (x) ≡ π という定数関数は，f ′′ (x) = 0，sin f (x) = sin π ≡ 0 だから W に
属する．しかし，g(x) = 21 f (x) ≡ π2 とすると，g ′′ (x) = 0 だが，sin(g(x)) = sin π2 ≡ 1 なの
で，g ′′ (x) ̸= sin(g(x)) となってしまい， 12 f (x) ∈
/ W．
(8) 部分空間である．すべての成分が 0 の定数列は等差数列だから 0 ∈ W ．初項 p，公差 d の等
差数列 {an } と初項 q ，公差 e の等差数列 {bn } に対し，α{an } + β{bn } の一般項は，n ≧ 0
で α(p + nd) + β(q + ne) = αp + βq + n(αd + βe) となる．よって α{an } + β{bn } は，初項
αp + βq ，公差 αd + βe の等差数列であるから W に属する．
(9) 部分空間でない．すべての項が 1 の定数列は公比 1 の等比数列であり，初項 1，公比 2 の等
比数列と和を取ると，(2, 3, 5, 9, . . .) となる．これは等比数列ではないので W に属さない．
2
 


 


 
1
1
0
1
p
2
 −1 
3
 −1 
q
(1) a1 =   , a2 = 
,a =
,a =
とおいたとき，  ∈ W となるための
3
1  3 2 4  1 
r
4
−1
1
1
s
 
p
q
条件は，c1 a1 + c2 a2 + c3 a3 + c4 a4 =   となる c1 , c2 , c3 , c4 が存在することである．つまり，
r
s

1
2
3
4
1 0
−1 3
1 2
−1 1
   
1
p
c1
−1   c2   q 
=
1   c3   r 
1
s
c4
が解を持つことである．この非同次形連立一次方程式の拡大係数行列は，







1
p
1 1 0 1
1 1 0 1 p
1 1 0 1
p
−r+3p

0

 2 −1 3 −1 q 
 0 −3 3 −3 q − 2p 
 0 1 −1 1
 3 1 2 1 r  →  0 −2 2 −2 r − 3p  →  0 −5 1 −3 s −2 4p  → 
0
4 −1 1 1 s
0 −5 1 −3 s − 4p
0 −3 3 −3 q − 2p
0
1
1
0
0
0 1
−1 1
−4 2
0 0
p
−r+3p
2
2s−5r+7p
2
5p+2q−3r
2




と行基本変形でき，係数行列の階数は 3 で，これが拡大係数行列の階数と一致するための条件
は，5p + 2q − 3r[= ]
0．これが求める条件である．
]
[ ] [ ] [
[ ]
3
1
1
1
1
(2) W1 の元は c1 2 +c2 3 と表され，これらはすべて外積ベクトル 2 × 3 = −2 に垂
1
3
1
3
1
直である．つまり W1 は，この外積ベクトルを法線ベクトルとし，原点を通る平面 3x − 2y + z = 0
である．
]
]
[
[ ] [
−5
1
1
4 を法線ベクトルとし，原点を通る平面
=
同様に，W2 は外積ベクトル 1 × 2
1
−3
1
−5x + 4y + z = 0 である．
W1 ∩ W2 に属する元は，
]
] [
[
] [ 2 つの平面の法線ベクトルと垂直なので，法線ベクトルの外積ベクト
−6
−5
3
ル外積ベクトル −2 × 4 = 8 と垂直になる．従って，W1 ∩ W2 は，原点を通り，方
2
1
1
]
[
−3
x
y
向ベクトルが 4 の直線であり，その方程式は − = − = z である．
3
4
1

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