´ ´ ERALE ´ ECOLE POLYTECHNIQUE FED DE LAUSANNE Cours de Physique du Solide I Examen, salle PO 01 Prof. Harald Brune 27 janvier 2014 NOM Pr´ enom SCIPER Informations: • L’examen se d´eroule de 08h15 ` a 11h15. • L’utilisation de tout document et machine `a calculer est interdite. • Tout ´etudiant peut ˆetre appel´e `a pr´esenter sa carte d’´etudiant pendant l’examen. Instructions: • Questions 1 a` 4: questions de compr´ehension. Questions 5 a` 8: exercices de d´eveloppement. • Le nombre de points est indiqu´e pour chaque question. • Lisez attentivement les questions. Ecrivez vos r´eponses sur les feuilles a` la suite de chaque ´enonc´e (vous avez la place aussi au verso). Soyez bref et pr´ecis dans vos r´eponses. Soignez les graphes. • Vous pouvez r´epondre en fran¸cais ou en anglais. Question 1 (Drude) 15 points a) Expliquer le temps de relaxation τ et le libre parcours moyen dans le mod`ele de Drude. A l’aide de quelle mesure peut-on d´eterminer τ ? Donner l’ordre de grandeur typique de τ pour un m´etal `a temp´erature ambiante. b) Proposer une exp´erience grˆace a` laquelle on peut d´eterminer la nature et la densit´e des porteurs de charge mobiles. Expliquer bri`evement le principe de l’exp´erience. c) La propagation d’une onde ´electromagn´etique dans un m´etal est d´ecrite par la fonction di´electrique ε(ω). Tracer ε(ω) dans le cas o` u ωτ 1 et ε∞ = 1; indiquer les diff´erents r´egimes. d) Enoncer la loi de Wiedemann-Franz (formule). Donner l’expression pour la conductivit´e thermique κel . Sp´ecifier comment on ´evalue les grandeurs dans κel dans les mod`eles de Drude et de Sommerfeld. Question 2 (Sommerfeld) 15 points a) Tracer la distribution de Fermi-Dirac f (E, T ) pour T = 0 et T ≈ 300 K. b) Tracer la densit´e d’´etats g(E) et le produit g(E)f (E, T ) `a T = 0 et T ≈ 300 K pour un gaz d’´electrons libres en 3D. En d´eriver une expression approximative pour la chaleur sp´ecifique ´electronique cv el . c) D´eriver l’expression du vecteur d’onde de Fermi kF pour un gaz d’´electrons libres en 3D. d) Expliquer la d´ependance du potentiel chimique µ en fonction de T pour un gaz d’´electrons libres en 3D. Question 3 (vibrations classiques) 15 points a) Dessiner le potentiel d’interaction entre deux ions dans un solide avec en comparaison le potentiel harmonique. b) Consid´erer une chaˆıne lin´eaire de N atomes. Donner l’expression pour le d´eplacement un (t) de l’atome n autour de sa position d’´equilibre. Expliquer la signification de chaque grandeur dans l’expression. c) Consid´erer une chaˆıne compos´ee de N mailles primitives de longueur a. Dessiner la relation de dispersion ω(k) pour deux atomes par maille. Comment les atomes bougentils pour des vecteurs d’onde au bord de la zone de Brillouin pour les deux branches? Quelle est l’origine des noms “acoustique” et “optique”? d) Consid´erer un syst`eme tridimensionnel, compos´e de N mailles, chacune avec une base de p atomes. Combien de valeurs de k y a-t-il dans la 1`ere zone de Brillouin? Combien de branches acoustiques y a-t-il? Combien de branches optiques? Question 4 (phonons) 20 points a) Donner le nombre de degr´es de libert´e par atome dans un solide et en d´eriver la loi de Dulong et Petit. b) Dessiner la chaleur sp´ecifique du r´eseau cv ph en fonction de T /TD (TD : temp´erature de Debye). c) Tracer la fonction de Bose-Einstein hn( kB T 1 )i + et donner le lien avec cv ph . ~ω 2 d) Citer deux manifestations de l’anharmonicit´e du potentiel d’interaction entre les atomes. e) Tracer le libre parcours moyen des phonons en fonction de la temp´erature. Quels r´egimes peut-on identifier? A quels processus sont-ils dˆ us? Tracer la conductivit´e therph mique κ en fonction de la temp´erature. Quels r´egimes peut-on id´entifier? Question 5 10 points Consid´erer un r´eseau de Bravais 2D d´ecrit par les vecteurs a1 = (1, 0), a2 = (0, 2). a) Repr´esenter a1 et a2 , ainsi que les vecteurs primitifs du r´eseau r´eciproque b1 et b2 . b) Donner la d´efinition de “1`ere zone de Brillouin”. c) Esquisser la 1`ere et la 2`eme zone de Brillouin associ´ees au r´eseau en question. Question 6 15 points Consid`erer un gaz d’´electrons libres en 3D, a` T = 0. a) Ecrire l’expression pour le moment magn´etique de spin d’un ´electron, m, et l’hamiltonien d’interaction entre m et un champ d’induction magn´etique B. b) Consid´erer dor´enavant B = (0, 0, B). Donner l’expression pour les ´energies des niveaux ´electroniques de spin up et down. Pour un champ B de 1 Tesla, quel est l’ordre de grandeur de l’´energie µB B? c) Donner l’expression pour les densit´es d’´etats ´electroniques g± (E) en pr´esence de B. Tracer g± (E). Indiquer EF . d) Donner l’expression pour la magn´etization Mz en fonction des densit´es ´electroniques des spin up et down. D´eriver l’expression pour la susceptibilit´e paramagn´etique de Pauli χPauli . Question 7 15 points Consid´erer un r´eseau de Bravais a` une dimension avec N mailles, constitu´e d’atomes de masse M separ´es a` l’´equilibre par une distance a. Seuls les plus proches voisins interagissent. Cette interaction est d´ecrite par un ressort de constante C. ´ a) Ecrire l’´energie potentielle pour l’atome n et l’´equation du mouvement pour cet atome. b) D´eterminer la relation de dispersion ω(k) en utilisant l’Ansatz un (t) = u0 ei(kna−ωt) . c) Tracer la relation de dispersion dans la 1`ere zone de Brillouin. d) Tracer la relation de dispersion dans le cas o` u l’on consid`ere aussi l’interaction aux 0 deuxi`emes voisins (constante du ressort C = C/2). Question 8 15 points En partant de la relation g´en´erale pour la chaleur sp´ecifique associ´ee aux vibrations du r´eseau: 1 X ∂ ~ωs (k) cv ph = V k,s ∂T exp ~ωs (k) − 1 kB T donner les ´etapes `a suivre pour calculer cv ph a` basse temp´erature et d´eriver ainsi la d´ependance en T 3 .