加法定理 ⑴

数学Ⅱ
ラジオ
学習メモ
第 45 回
第 3 章　三角関数　［加法定理］
加法定理 ⑴
講師
川﨑宣昭
加法定理とは？
sin( α＋β )，cos( α＋β ) とα，βの三
学習のポイント
角関数との関係について考えます。特に今回は， ① 加法定理の意味
② サインの加法定理
加法定理が必要になる理由と，図を利用して加
③ コサインの加法定理
法定理を証明する方法を学びます。
加法定理の意味
■加法定理を具体的に説明すると･････
45°
と 30°
のサイン，コサイン，タンジェントの値がわかっていれば，
45°
＋ 30°
や 45°− 30°のサイン，コサイン，タンジェントの値が求められる定理である。すなわち，
75°
や 15°
のサイン，コサイン，タンジェントの値が求められる定理である。
■加法定理が使える条件は？
▼
α，βのサイン，コサイン，タンジェントの値がわかっている。
⬇ α＋β，α−βのサイン，コサイン，タンジェントの値が公式で求められる。
※加法定理の学習では，主にサインとコサインの加法定理を中心に学習し，
タンジェントの加法定理は結果だけを紹介することにとどめます。
サインの加法定理
⃝ x 軸上に A( １，
０) をとる。
⃝単位円の周上に点 B，C を，図のように
y
それぞれ，
∠ AOB ＝ 30°
1
C
∠ BOC ＝ 45°
となるようにとる。
30°
⃝ C から x 軸に垂線 CD を引く。
C E cos30°
1
⃝ C から OB に垂線 CE を引く。
B
⃝ E から x 軸に垂線 EF を引く。
G
⃝ E から CD に垂線 EG を引く。
45°
⃝∠ DCE ＝ 30°となる。
O
（∠ OCE ＝ 45°，∠ OCD ＝ 15°を利用）
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E
O E sin30°
30°
D
A
F
1
x
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45 加法定理 ⑴
⃝△ OCD に着目すると，CO ＝１であるから，
sin75°
＝ sin(45°＋ 30°) ＝ CD ＝ CG ＋ GD …… ①
⃝ CG ＝ CE cos30°＝ sin45°cos30°……………… ②
同じ値
⃝ GD ＝ EF ＝ OE sin30°＝ cos45°sin30° ……… ③
同じ値
⃝①，②，③から，
sin(45°
＋ 30°) ＝ sin45°cos30°＋ cos45°sin30°
⃝他の角度でもこの形の式が成り立つと考え，45°をα，30°をβにおきかえて，
sin(α＋β) ＝ sinαcosβ＋ cosαsinβ
⃝ cos( −β) ＝ cosβ，sin( −β) ＝− sinβを使えば，
sin(α −β) ＝ sin{α＋( −β)} ＝ sinαcos( −β) ＋ cosαsin( −β) ＝ sinαcosβ − cosαsinβ
【サインの加法定理】
▼
sin(α＋β) ＝ sinαcosβ＋ cosαsinβ
シン　コス　コス　シン ➡ のように覚えてみよう！
sin(α−β) ＝ sinαcosβ− cosαsinβ
コサインの加法定理
⃝前ページの図で△ OCD に着目すると，CO ＝１であるから，
cos75°
＝ cos(45°＋ 30°) ＝ OD ＝ OF − DF …… ④
⃝ OF ＝ OE cos30°＝ cos45°cos30°……………… ⑤
同じ値
⃝ DF ＝ GE ＝ CE sin30°＝ sin45°sin30° ……… ⑥
同じ値
⃝④，⑤，⑥から，
cos(45° ＋ 30°) ＝ cos45°cos30°− sin45°sin30°
⃝他の角度でもこの形の式が成り立つと考え，45°をα，30°をβにおきかえて，
cos(α＋β) ＝ cosαcosβ− sinαsinβ
⃝ cos( −β) ＝ cosβ，sin( −β) ＝− sinβを使えば，
cos(α−β) ＝ cos{α＋( −β)} ＝ cosαcoa( −β) − sinαsin( −β) ＝ cos α cosβ＋ sinαsinβ
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45 加法定理 ⑴
【コサインの加法定理】
cos(α＋β) ＝ cosαcosβ− sinαsinβ
コス　コス　シン　シン ➡ のように覚える。引き算になっている！
cos(α−β) ＝ cosαcosβ＋ sinαsinβ
補足：タンジェントの加法定理は，tan(α＋β)＝
tanα＋ tanβ
となっており，覚え方は，
1 − tanαtanβ
「左辺 → 右辺の分子 → 右辺の分母」の順に
タン　タン　プラ　タン　イチ　マイ　タン　タンと符号まで含めて覚えよう。
サインとコサインの加法定理を利用して証明できるので，挑戦してみよう！
▼
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