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⼒学
第1回質点の振動運動
担当：
明愛国，杉正夫
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授業の進め方
前半の45分〜60分が講義
後半は演習．各自が問題を解く
成績評価
テスト2回（30%×2）＋演習課題の成績（40%）
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連絡先
明愛国（木曜1限担当）
Email:
居室:
オフィスアワー:
杉正夫（月曜1限担当）
Email: [email protected]
居室: 東4-522号室
オフィスアワー: 月曜2限（授業の後）
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⼒学（Mechanics）とは
運動の三法則に基づいて，
物体の運動の理解・予測
複数物体間の相互作⽤の理解
などを⾏う学問
II類の専門科目の根幹となる
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⼒学で⽤いる物理量と変数 (1)
物理量
変数
変数の次元
単位
質量
kg
位置（ベクトル）
m
時間（絶対時間※）
s
絶対時間：
空間全体に共通の時間が存在するという考え方
（相対性理論では成り⽴たない）
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⼒学で⽤いる物理量と変数 (2)
物理量
変数
変数の次元
単位
速度
m/s
加速度
m/s2
⼒
N = kgm/s2
運動量
kgm/s
エネルギー
J = kgm2/s2
仕事
J
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変数と微積分の関係
位置
時間で微分
速度
時間で微分
積分
積分
加速度
運動方程式で与えられるのは加速度に関する式
それを2回積分して，位置と時間との関係を得る
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運動の3法則
第1法則：慣性の法則
物体は「⼒」の作⽤を受けない限り，
静止または等速直線運動を続ける
第2法則：運動の法則
運動の変化は「⼒」に⽐例し，
⼒の及ぼされる方向に⾏われる（
第3法則：作⽤反作⽤の法則
）
物体1が物体2に「⼒」を及ぼすとき，
物体2は物体1に対して
同じ⼤きさで逆向きの⼒を及ぼす
（運動の3法則は，⼒とは何かということに
ついては述べていない）
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より現代的な物理学の考え方で言うと，
運動の3法則は以下の2法則にまとめられる
質量保存則
物体の質量は不変
運動量保存則
外界からの⼒を受けない物体系の全運動量は⼀定
例えば前ページの作⽤反作⽤の法則は，
運動量保存則
の両辺を
時間で微分して
と求まる
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自由振動（単振動）
以下のようなバネ・マス系（摩擦なし）
質点の質量
バネ定数の線形バネ
（自然⻑からの変位に⽐例した⼒を出す）
質点の座標（バネが自然⻑の時
とする）
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運動方程式を⽴てる
この微分方程式を解くと⼀般解は
となる
上式の変数は以下の通り
：系の固有角振動数
：初期位相
（初期値によって決まる）
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自由振動の解の意味
質点の座標は，時間に対して正弦波
となるように振動する
その正弦波の周波数は
周期は
，
である
質量が⼤きいほど周期は⻑くなり，
バネ定数が⼤きいほど周期は短くなる
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減衰振動
以下のようなバネ・マス・ダンパ系
質量，バネ定数，座標の取り方は
先ほどの自由振動の時と同じ
ダンパ（ダッシュポット）を追加
粘性抵抗⼒（=速度に⽐例した抵抗⼒）を発⽣
粘性減衰係数
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運動方程式を⽴てる
なので
となる
上の方程式の解は，粘性減衰係数
により変わることが知られている
(1)
の値
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という解を仮定して
これを(1)式に代入すると以下の式を得る
で
なので，上式の条件は
(2)
となる．(2)式を特性多項式という
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(2)式の特性多項式を，
式として解く
に関する2次方程
(3)
ただし
と置いた
(2)式（=(3)式）の解は，2次方程式の解の
公式から
判別式
の値によって場合分けが必要
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(場合1)
(
) のとき
のどちらも実数解
2つの解の重み付き線形和が⼀般解となる
と
(
は初期値によって決まる
) のとき，
系は過減衰であるという
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(
(場合2)
) のとき
どちらも複素数解
2つの解の重み付き線形和が⼀般解
(
) のとき，
系は減衰振動であるという
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(場合3)
(
) のとき
実数の重解
ということは，この場合の解は
の1つだけ？
↑こう考えるのは間違い
初期値に対する解の自由度は2つあるはず
（座標の初期値
と速度の初期値
を
それぞれ指定可能なはずなので）
つまり場合1，場合2と同様に，
⼀般解は積分定数を2つ含む形と
なっていなければおかしい
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(場合3)の⼀般解の求め方
定数変化法を使う
解の形を
と仮定する
は単なる定数ではなく，の関数だとする
この解を運動方程式
に代入
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代入した式を整理すると，
となり，
を得る．
つまり
はの2次以下の多項式で，
となる．
よって場合3の⼀般解は
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本日は課題は出しません
次回から課題を出します
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