Weihnachtsrätsel Numerik In jeder der nachfolgenden Aufgaben ist das Ergebnis eine natürliche Zahl zwischen 1 und 26. Notieren Sie jeweils den zugehörigen Buchstaben im Alphabet. Am Ende ergeben alle Buchstaben ein Lösungswort, wenn sie in die richtige Reihenfolge gebracht werden. 1. Gegeben sei die Menge R(2, 3, 2, 1) von Maschinenzahlen. Bestimmen Sie die Maschinengenauigkeit eps. Das Ergebnis dieser Aufgabe ist der Kehrwert der Maschinengenauigkeit, also eps−1 . 2. Bestimmen Sie a und b so, dass die Funktion s : [0, 2] → R mit 3 x + 3x2 − 3x + 4 , falls 0 ≤ x ≤ 1, s(x) = ax3 + b , falls 1 < x ≤ 2 ein kubischer C 2 -Spline ist. Das Ergebnis dieser Aufgabe ist der Wert von b. 3. Gegeben sei die Funktion f (x) = − x1 . Berechnen Sie mit Hilfe des zentralen Differenzenquotienten für die Schrittweite h = 21 einen Näherungswert für f 0 (1). Stellen Sie das Ergebnis als Bruch dar, der so weit wie möglich gekürzt ist. Das Ergebnis dieser Aufgabe ist das Produkt aus Zähler und Nenner dieses Bruchs. 4. Es sei Th (f ) der Wert, den die zusammengesetzte Trapezregel als Näherungswert für das Inte´b gral I(f ) = a f (x) dx liefert, wenn das Intervall [a, b] in Teilintervalle der Länge h zerlegt wird. Gesucht ist ein möglichst großer Exponent p, sodass für alle zweimal stetig differenzierbaren Funktionen f gilt: |I(f ) − Th (f )| ≤ b−a max |f 00 (x)| | a ≤ x ≤ b · hp . 12 Das Ergebnis dieser Aufgabe ist der Wert von p. 5. Ermitteln Sie das Interpolationspolynom kleinsten Grades zu folgender Wertetabelle: xk yk −1 7 0 15 2 25 Das Ergebnis dieser Aufgabe ist der Funktionswert dieses Interpolationspolynoms an der Stelle x = 1. 6. Ermitteln Sie die Lösung x = (x1 , x2 , x3 )> des linearen Gleichungssystems Ax = b mit     1 −2 4 11 A =  0 −1 3  und b =  1  . 0 0 2 −4 Das Ergebnis dieser Aufgabe ist der Wert der Komponente x1 . 1 7. Bestimmen Sie die Koeffizienten A, B ∈ R so, dass die Quadraturformel 1 + Af (1) Q(f ) := Af (0) + Bf 2 ´1 den Integralwert I(f ) := 0 f (x) dx für alle Polynome bis zu einem möglichst hohen Grad exakt berechnet. Stellen Sie den erhaltenen Wert für B als Bruch dar, der so weit wie möglich gekürzt ist. Das Ergebnis dieser Aufgabe ist die Summe aus Zähler und Nenner dieses Bruches. 8. Gegeben sei die Menge R(2, 3, 2, 3) von Maschinenzahlen. Ermitteln Sie die größte Zahl in dieser Menge. Diese Zahl ist das Ergebnis dieser Aufgabe. 9. Bestimmen Sie die LU-Zerlegung der Matrix   −1 8 4 5 −6  . A= 2 −2 −5 3 Das Ergebnis dieser Aufgabe ist der Eintrag der Matrix U auf der Position (2, 2). ´3 10. Gegeben sei das Integral 2 x2 dx. Berechnen Sie den Wert Q1 , den die Trapezregel als Näherungswert für dieses Integral liefert. Stellen Sie das Ergebnis als Bruch dar, der so weit wie möglich gekürzt ist. Das Ergebnis dieser Aufgabe ist die Summe aus Zähler und Nenner dieses Bruchs. 11. Gegeben seien die Punkte P0 (−1, −5), P1 (0, −2), P2 (1, 0) und P3 (2, a). Dabei sei a ∈ R ein Parameter. Bekanntlich gibt es für jeden Wert a genau ein Interpolationspolynom höchstens dritten Grades, welches diese vier Punkte interpoliert. Für welchen Wert a existiert sogar ein Interpolationspolynom zweiten Grades zu diesen vier Punkten? Dieser Wert a ist das Ergebnis dieser Aufgabe. 12. Zu gegebenen Zahlen a0 , a1 , a2 , a3 , a4 ∈ R sowie x ∈ R \ {0} soll der Polynomwert y := a4 x4 + a3 x3 + a2 x2 + a1 x + a0 nach dem Horner-Algorithmus y4 := a4 , yk−1 := ak−1 + x · yk (k = 4, 3, 2, 1), yy = y0 berechnet werden. Die Anzahl der dafür benötigten Operationen (Additionen und Multiplikationen) ist das Ergebnis dieser Aufgabe. 13. Die Legendre-Polynome sind wie folgt rekursiv definiert: P0 (x) := 1, P1 (x) := x, Pn+1 (x) := 2n + 1 n xPn (x) − Pn−1 (x) (n ≥ 1). n+1 n+1 Bestimmen Sie das Legendre-Polynom P3 . Das Ergebnis dieser Aufgabe ist P3 (2) + 2. 2