学習メモ

数学Ⅱ
ラジオ
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第 44 回
第 3 章　三角関数　［三角関数］
三角関数の性質 ⑵
講師
水谷信也
わかりやすい角に置き換えよう！
さまざまな大きさの角の三角関数の値を，で
きるだけわかりやすく求めるとはどういうこと
でしょうか。それは，ある大きさの角の三角関
数の値がすぐにわからなくても，わかりやすい
大きさの角に置き換えて簡単に値がわかるよう
にしようということです。
学習のポイント
① θ＋ 180°の三角関数
② 三角関数の性質と動径の位置
③ わかりやすい大きさの角に置き換える工夫
θ＋ 180°
の三角関数
右の図で，
角θ＋ 180°の動径 OP' は，
角θの動径 OP を原点 O のまわりに 180°回転したものである。
点 P と点 P' は原点に関して対称の位置にある。
sin(θ＋180°) ＝− y ＝− sinθ
y
cos(θ＋180°) ＝− x ＝− cosθ
1
cosθ
sinθ
▼
−y y
tan(θ＋180°) ＝
＝＝ tanθ
−x x
P (x,y)
θ＋180°
−1
tan θは，180°が周期であることを意味する。
θ
1
O
x
P'(−x,−y)
−1
cos (θ＋180°）
sin (θ＋180°）
例
(1) sin210°＝ sin(30°
＋180°) ＝− sin30°＝−
1
2
(2) cos240°＝ cos(60°＋180°) ＝− cos60°＝−
問
1
2
次の三角関数の値を求めなさい。
(1) sin240° (2) cos225° (3) tan210°
− 100 −
高校講座・学習メモ
数学Ⅱ
44 三角関数の性質 ⑵
三角関数の性質と動径の位置
θ＋360°
×n ：角θ＋360°×n の動径と角θの
cosθ
y
動径は一致する。
sinθ
1
−θ
：角−θの動径は，角θの動径と
θ＋180°
x 軸に関して対称の位置にある。
−1
θ＋180°
P (x,y)
：角θ＋ 180°
の動径 OP' は，角θ
θ
1
O
x
P'(−x,−y)
の動径OPを原点Oのまわりに
−1
180°回転したものである。
cos (θ＋180°）
sin (θ＋180°）
わかりやすい大きさの角に置き換える工夫
例
cos(−570°) ＝ cos570° ← cos(−θ) ＝ cosθ
＝ cos(210°＋360°) ← cos(θ＋360°×n) ＝ cosθ
＝ cos(30°
＋180°) ← cos(θ＋180°) ＝− cosθ
＝− cos30°
3
2
1
3
(2) cos225°＝ cos(45°＋180°) ＝− cos45°＝−
1
2
(1) sin240°＝ sin(60°＋180°) ＝− sin60°＝−
2
3
問・解答
＝−
(3) tan210°＝ tan(30°
＋180°) ＝ tan30°
＝
▼
＝ cos210°
− 101 −
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