sinx ¡ B3 cosx = sin%x

1
2
次の問いに答えよ．
次の問いに答えよ．
(1) r を r < 1 である実数とする．自然数 n に対して
(1) 実数 x について，等式
B
sin x ¡ 3 cos x =
sin %x ¡
ス
¼
Sn = 1 + 2r + 3r2 + Ý + nrn¡1
=
セ
とおく．
が成り立つ．
(2) 0 5 x < 2¼ を満たす実数 x について，無限等比級数
S = lim Sn
n!1
B
B
2
B
3
1 + (sin x ¡ 3 cos x) + (sin x ¡ 3 cos x) + (sin x ¡ 3 cos x) + Ý
は
¼
<x<
ソ
¼
タ
;
チ
ツ
¼<x<
テ
ト
¼ で収束し，そ
の和は
1
1¡
ナ
sin %x ¡
¼
ニ
を r の式で表せ．ただし r < 1 のとき lim nrn = 0 であることを用いて
n!1
よい．
(2) n を自然数とする．2 人の弓道部員 A，B が矢を的に命中させる確率は，A
1
4
，B が
である．A，B が的に向かってそれぞれ n 回ずつ矢を射る．
が
5
2
‘ n = 1 のとき，A の射る矢が命中する確率を p1 とし，A の射る矢が命
=
中せずに B の射る矢が命中する確率を q1 とする．p1 + q1 を求めよ．
’ n = 2 のとき，1 回目から (n ¡ 1) 回目まで A の射る矢も B の射る矢
である．
も命中せず，n 回目に A の射る矢が命中する確率を pn とする．pn を求
（金沢工業大学 2015 ）
めよ．
“ n = 2 のとき，A の射る矢は 1 回目から n 回目まで命中せず，B の射る
矢は 1 回目から (n ¡ 1) 回目まで命中せずに n 回目のみ命中する確率を
qn とする．qn を求めよ．
(3) (2) で求めた pn (n = 1; 2; 3; Ý) に対して
E=
1
P
(2n ¡ 1)pn
n=1
とおく．E の値を求めよ．
3
5
以下の問いに答えよ．
(1) 関数 f(x) = x が x = 0 において微分可能でないことを微分の定義に基
づいて示せ．
(1) lim (an+1 ¡ an ) を求めよ．
n!1
(2) y = x x のグラフの概形を描け．
(2) an が最小となる n を求めよ．
(3) m は自然数とする．関数 g(x) = xm x が x = 0 において微分可能であ
るか微分可能でないかを理由をつけて答えよ．
（大阪府立大学 2014 ）
4
次の問いに答えなさい．
(1) 次の連立不等式を解きなさい．
V
x2 + 2x > 1
x¡1 51
(2) 無限級数
1
P
n=1
10
¡ log x に対して an = f(n) (n = 1; 2; 3; Ý)
x
で定められる数列 fan g を考える．次の問いに答えよ．
関数 f(x) = 2x +
1
¼
1
1
1
2¼
3¼
n¼
=
sin
+ 2 sin
+ 3 sin
+Ý
sin
2n
2
2
2
2
2
2
2
の和を求めなさい．
(3) 関数 f(x) = ex cos x の導関数 f0 (x) を求めなさい．また，実数 ®; ¯
を使って，f0 (x) = ®ex cos(x + ¯) の形に表しなさい．ただし，® > 0，
0 5 ¯ < 2¼ とする．
（龍谷大学 2014 ）
（兵庫県立大学 2014 ）
6
次の条件によって定められる関数 fn (x) (n = 1; 2; 3; Ý) を考える．
fn+1 (x) = fn 0 (x)
f1 (x) = (3x + 5)e2x ;
(1) f2 (x) = (
(1) a > 0 のとき，関数 f(x) の最大値を求めよ．
(2) 方程式 f(x) = b の異なる実数解の個数が最も多くなるときの点 (a; b) の
(2) fn (x) = (an x + bn )e2x（ an ; bn は定数）とおくと，
a1 =
;
エ
b1 =
;
オ
V
an+1 =
カ
an
bn+1 = an +
キ
範囲を図示せよ．
（金沢大学 2016 ）
(n = 1; 2; 3; Ý)
bn
9
である．
(3) an =
ク
ケ
よって，cn =
シ
n+
ス
コ
(n = 1; 2; 3; Ý) である．
サ
，つまり bn =
セ
ソ
n¡2
(
タ
n+
) (n = 1; 2; 3; Ý) である．ゆえに
fn (x) =
ツ
n¡2
(
テ
x+
ト
n+
ナ
)e2x
次の問いに答えよ．
(1) 0 5 x 5
(n = 1; 2; 3; Ý) である．
bn
とおくと，cn+1 = cn +
2n
(4) cn =
チ
¢
n¡1
B
a; b を実数とする．f(x) = 2 1 + x2 ¡ ax2 とし，x についての方程式
f(x) = b を考える．次の問いに答えよ．
(n = 1; 2; 3; Ý)
x + イウ )e2x である．
ア
8
(n = 1; 2; 3; Ý)
1
のとき，次の不等式が成り立つことを示せ．
2
¡x2 ¡ x 5 log(1 ¡ x) 5 ¡x
(2) 数列 fan g を次によって定める．
1
;
2 ¢ 12
2
1
; #1 ¡
;
= #1 ¡
2 ¢ 22
2 ¢ 22
ÞÞ
Þ
a1 = #1 ¡
a2
である．
an
（金沢工業大学 2015 ）
= #1 ¡
2
n
1
; #1 ¡
; Ý #1 ¡
;
2n 2
2n 2
2n 2
このとき，極限 lim an を求めよ．
n!1
7
a を正の定数とする．2 つの曲線 C1 : y = x log x と C2 : y = ax2 の両方
に接する直線の本数を求めよ．ただし， lim
x!1
(log x)2
x
（弘前大学 2015 ）
= 0 は証明なしに用
10 k は正の整数とする．定積分 Ik =
いてよい．
Z
k+1
k
p1 dx について，次の問いに答
x
えよ．
（横浜国立大学 2016 ）
(1) Sn =
n
P
k=1
Ik とする．S1 ; S2 ; S3 を求めよ．
1
1
(2) 不等式 p
< Ik < p が成り立つことを示せ．
k+1
k
1
1
1
の整数部分を求めよ．
(3) 1 + p + p + Ý + p
2
3
100
（富山県立大学 2016 ）
11 x = 1 で定義された関数
f(x) =
log x
x2
について，以下の問いに答えよ．
(1) x = 1 における f(x) の最大値とそのときの x の値を求めよ．
(2) (1) で求めた x の値を a とする．曲線 y = f(x) と 2 直線 y = 0，x = a
で囲まれた図形を D とする．D の面積を求めよ．
(3) (2) の図形 D を y 軸の周りに 1 回転させてできる立体の体積を求めよ．
（熊本大学 2016 ）

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