PA + t¡! (1)

年番号
1
¡
!
¡!
¡
!
s; t を実数とする．平面上の異なる 4 点 A，B，C，P は PC = sPA + tPB を満たしている．ま
た，点 C および点 P は直線 AB 上にない．線分 BC を 1 : 3 に内分する点 Q が直線 AP 上にあ
るとき，次の問いに答えよ．
¡! ¡
! ¡
!
(1) PQ を PB と PC を用いて表し，t の値を求めよ．
¡!
¡!
(2) AQ = 2AP を満たすとき，s の値を求めよ．
氏名
¡
! ¡
! ¡
!
¡
!
¡
!
¡
!
¡
! ¡
!
¡
! ¡
!
a ， b ， c を空間のベクトルとし，j a j = 2，j b j = j c j = 1， a ¢ b = 0， a ¢ c = 0，
¡!
¡
!
¡
! ¡
!
¡
! ¡
!
1
b ¢ c = ¡ とする．OP = x a + y b + c とおく．次の問いに答えよ．
2
¡
! ¡
!
(1) 点 O を通り，ベクトル a ， c に平行な平面 ® がある．点 P から平面 ® に垂線を下ろし，その
¡!
¡
! ¡
! ¡
!
足を H とする．ベクトル OH を x，y， a ， b ， c のうち，必要なものを用いて表せ．
p
¡!
(2) jOPj = 3 となるように点 P が動くとする．このとき，x; y から定まる点 Q(x; y) の軌跡を
5
(3) 点 P が 4ABC の内部にあるとき，s のとり得る値の範囲を求めよ．ただし，三角形の内部に
求め，その概形をかけ．
周は含まれないものとする．
（兵庫県立大学 2014 ）
（和歌山大学 2016 ）
2
正六角形 ABCDEF において，辺 BC の中点を G，辺 DE を t : (1 ¡ t) に内分する点を H とす
¡! ¡
! ¡! ¡
!
る．ただし，0 < t < 1 である．AB = a ，AF = b とするとき，次の問いに答えよ．
¡! ¡! ¡!
¡
! ¡
!
(1) AC，AG，AH を t; a ; b を用いて表せ．
(2) 直線 CF と直線 GH の交点を I とするとき，GI : IH を求めよ．
(3) さらに，直線 AI と直線 CD の交点を J とする．点 J が線分 CD を 1 : 2 に内分するとき，t の
6
O を原点とする座標空間に 3 点 A(1; 0; 0)，B(0; 1; 0)，C(0; 0; 1) がある．点 P(x; y; z)
¡!
は 3 点 A，B，C と異なっており，jOPj = 1 とする．次の問いに答えよ．
(1) 4ABC の重心を G とする．直線 AG 上に点 P があるとき，x; y; z の値を求めよ．
¡!
¡!
¼
である．このとき
(2) 点 P が 3 点 A，B，C を通る平面上にあって，OP と OA のなす角が
3
x; y; z の値を求めよ．
値を求めよ．
（兵庫県立大学 2013 ）
（和歌山大学 2015 ）
3
三角形 ABC の辺 BC を 1 : 2 に内分する点を D，辺 CA を 1 : 2 に内分する点を E，辺 AB を
1 : 2 に内分する点を F とする．また線分 AD と線分 BE の交点を P，線分 BE と線分 CF の交
点を Q，線分 CF と線分 AD の交点を R とする．
座標空間内に 4 点 A(0; ¡1; 0)，B(2; 0; 1)，C(0; t; ¡1)，D(u; 2; 1) がある．ただし，
¡! ¡!
t; u は実数であり，AB と AC は垂直であるとする．次の問いに答えよ．
(1) t の値を求めよ．
¡! ¡!
¡
!
(2) AB，AC の両方に垂直で大きさが 1 のベクトル n = (p; q; r) のうち p > 0 となるものを
¡!
¡!
¡!
(1) AP = `AB + mAC とするとき，` と m の値を求めよ．
(2) 三角形 ABC の面積が 1 のとき，三角形 PQR の面積を求めよ．
求めよ．
（兵庫県立大学 2016 ）
4
7
空間内の 3 点 A(0; t; 1)，B(1; 0; t)，C(t; 1; 0) (0 5 t 5 1) を頂点とする 4ABC の面積
(3) 4 点 A，B，C，D が同一平面に含まれるならば u = 4 であることを示せ．
(4) u = 3 のとき四面体 ABCD の体積を求めよ．
（大阪市立大学 2014 ）
S の最小値を求めなさい．
（兵庫県立大学 2015 ）
8
座標空間内に 4 点 A(0; ¡1; 0)，B(2; t; 1 ¡ t)，C(0; s; ¡1)，D(3; 2; 1) がある．ただ
¡! ¡!
し，t と s は実数で t > ¡1 をみたし，また AB と AC は垂直であるとする．次の問いに答えよ．
(1) s を t を用いて表せ．
¡! ¡!
¡
!
(2) AB，AC の両方に垂直で大きさが 1 のベクトル n = (p; q; r) のうち p > 0 となるものを t
10 四面体 OABC が与えられており，各辺の長さが
OA = 2;
OB = 3;
OC = 3;
AB = 3;
BC = 2;
CA = 3
であるとする．また，点 O，A，C を通る平面を ®，点 O，A，B を通る平面を ¯ とし，点 B を
通り平面 ® に垂直な直線を g，点 C を通り平面 ¯ に垂直な直線を h とする．
を用いて表せ．
(3) 4 点 A，B，C，D が同一平面に含まれるための必要十分条件は，t = ¡
1
または t = 1 であ
3
ることを証明せよ．
（大阪市立大学 2014 ）
¡! ¡! ¡! ¡! ¡! ¡!
(1) 内積 OA ¢ OB，OB ¢ OC，OA ¢ OC を求めよ．
¡! ¡! ¡!
(2) 直線 g と平面 ® の交点を P，直線 h と平面 ¯ の交点を Q とするとき，OA，OB，OC を用い
¡! ¡!
て，OP，OQ を表せ．
¡! ¡!
(3) 直線 g と直線 h は交わることを示せ．また，直線 g と直線 h の交点を R とするとき，OA，OB，
¡!
¡!
OC を用いて，OR を表せ．
（大阪府立大学 2015 ）
9
右図のような 1 辺の長さが 1 の立方体 OABC-DEFG に対し，
¡!
¡
! ¡!
¡
! ¡!
¡
!
1
とな
OA = a ，OC = c ，OD = d とおく．0 < t <
2
る t に対して，辺 AE を t : 1 ¡ t に内分する点を P，辺 CG を
2t : 1 ¡ 2t に内分する点を Q とする．O，P，Q の定める平面
を ® とし，平面 ® と直線 BF との交点を R とすると，四角形
OPRQ は平行四辺形である．平行四辺形 OPRQ の面積を S，
四角錐 DOPRQ の体積を V とする．このとき，以下の問いに
答えよ．
¡! ¡!
(1) OP と OQ のなす角を µ とするとき，cos µ を t を用いて表せ．
(2) S を t を用いて表せ．
¡! ¡
! ¡
! ¡
!
(3) 平面 ® に点 D から垂線 DH を下ろす．OH を a ; c ; d と t を用いて表せ．
(4) V は t によらず一定であることを示せ．
（大阪府立大学 2016 ）

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