演習問題2 略解

複素関数論演習問題 2 略解
1 (1) z = 1（2 位），z = 2（1 位）．
(2) lim (z − 1)3 f (z) = lim ez = e = 0. よって z = 1 に 3 位の極を持つ．
z→1
z→1
z→1
z→1
(3) lim (z − 1)3 f (z) = lim ez − 1 = e − 1 = 0. よって z = 1 に 3 位の極を持つ．
2
1. (1) 定義に基づき計算する．
1 iz1
1
1
1
(e − e−iz1 ) (eiz2 + e−iz2 ) + (eiz1 + e−iz1 ) (eiz2 − e−iz2 )
2i
2
2
2i
1 i(z1 +z2 )
{e
+ ei(z1 −z2 ) − ei(−z1 +z2 ) − ei(−z1 −z2 ) }
4i
1
+ {ei(z1 +z2 ) − ei(z1 −z2 ) + ei(−z1 +z2 ) − ei(−z1 −z2 ) }
4i
1 i(z1 +z2 )
{e
− e−i(z1 +z2 )} = sin(z1 + z2 )
2i
sin z1 cos z2 + cos z1 sin z2 =
=
=
1
1
(2) sin2 z + cos2 z = − (e2iz − 2 + e−2iz ) + (e2iz + 2 + e−2iz ) = 1.
4
4
1 iz
(e − e−iz ) = 0 より eiz = e−iz . eiz = 0 より，これは e2iz = 1 と等価である．
2. (1) sin z =
2i
(2) z = x + iy とおくと 1 = e2iz = e2i(x+iy) = e−2y e2xi . 両辺の絶対値をとると 1 = e−2y ∴ y = 0.
(3) y = 0 であるから 1 = e−2y e2xi = e2xi = cos 2x + i sin 2x すなわち cos 2x = 1, sin 2x = 0 である．
よって k を整数として 2x = 2πk すなわち x = πk が sin z の零点である．
3
1. 積分路 C を，C = C1 + C2 + C3 , C1 : z(t) = t (0 ≤ t ≤ 1), C2 : z(t) = 1 + ti (0 ≤ t ≤ 1),
C3 : z(t) = (1 + i)(1 − t) (0 ≤ t ≤ 1) とパラメータ t で表示する．それぞれにおいて dz = dt,
dz = i dt, dz = −(1 + i)dt である．
(1)
zdz
=
zdz +
zdz +
C
=
C1
1
(2)
C
z̄dz
t2
2
0
(3)
C
eiz dz
tdt +
1
0
C3
zdz
(1 + ti)i dt +
1
0
(1 + i)(1 − t){−(1 + i)}dt
1
1
i
t2 i
1
1
t2
2
+i t+
− (1 + i) t −
= + i(1 + ) − (1 + i)2 = 0.
=
2 0
2 0 2
2
2
0
1
1
1
=
tdt +
(1 + ti)i dt +
(1 + i)(1 − t){−(1 + i)}dt
0
0
0
1
1
1
tdt +
(1 − ti)i dt +
(1 − i)(1 − t){−(1 + i)}dt
=
0
C2
1
0
0
i
1
1
+ i(1 − ) − (1 − i2 ) = i.
=
2
2
2
1
1
1
it
i(1+ti)
=
e dt +
e
i dt +
ei(1+i)(1−t) {−(1 + i)}dt
0
0
0
1
1
1
eit dt + i ei
e−t dt − (1 + i) ei−1
e(1−i)t dt
=
0
0
0
1
1
1 it 1
i
−t 1
i−1
(1−i)t
e
e
+ ie −e 0 − (1 + i)e
=
i
1−i
0
0
=
ei − 1
−1 − i i−1 1−i
− iei (e−1 − 1) +
e (e
− 1) = 0.
i
1−i
2. C : z(θ) = eiθ (0 ≤ θ ≤ 2π) とパラメータ表示する．dz = ieiθ dθ.
(1)
(2)
C
C
zdz
=
Re zdz =
=
(3)
C
Im zdz =
=
4 f (z) =
2z 2 + 1 とおくと f (k) (z
2π
e2iθ dθ = i
(cos 2θ + i sin 2θ)dθ = 0.
0
0
0
2π
2π
iθ
iθ
i
Re(e ) e dθ = i
cos θ(cos θ + i sin θ)dθ
0
0
2π sin 2θ
1 + cos 2θ
+i
dθ = πi.
i
2
2
0
2π
2π
iθ iθ
i
Im(e ) e dθ = i
sin θ(cos θ + i sin θ)dθ
0
0
2π 1 − cos 2θ
sin 2θ
+i
dθ = −π.
i
2
2
0
2π
eiθ ieiθ dθ = i
k!
0) =
2πi
C
2π
f (z)
dz, k = 0, 1, 2, . . . である．よって
(z − z0 )k+1
2πi
=
f (n−1) (1). 積分値は，n = 1, 2, 3 に対して順に 6πi, 8πi, 4πi.
(n − 1)!
C
2z 2 + 1
dz
(z − 1)n

Download Report