第1回レポート (2016/7/12更新)

数学 A 第１回レポート
課題：下記の問題を解いてレポートにまとめて提出
締め切り日時：7 月 28 日（木）17:00 まで（厳守）
提出先：J 棟 6F・数理教室事務室外のレポート回収ボックスに提出。7 月 19 日、7 月 26 日の講義
終了時に直接提出も可能
1 次の微分方程式を解け．
xy
3x + y − 2
(1) y ′ =
(2) x(x − 1)y ′ + y = 0 (3) xy ′ = x + y (4) y ′ =
(5) y ′ + 2y = e−2x
2
x − 3y − 4
2 次の微分方程式の初期値問題を解け．
√
(1) xy ′ + y = 0, y(2) = −2 (2) y ′ = x 1 − y 2 , y(0) = 0
3 微分方程式
y ′ = (x + y + 2)2
(∗)
を考える．以下の問いに答えよ．
(1) u = x + y + 2 (u は x の関数) とおくとき，u の満たす微分方程式を求めよ．
(2) (∗) を解け．
4 1 階線形微分方程式
y ′ + p(x)y = q(x)
(♯)
を考える．y1 , y2 を (♯) の解とするとき，以下の問いに答えよ．
(1) q(x) ≡ 0 のとき，αy1 + βy2 (α, β は定数) は (♯) の解となることを示せ．
(2) q(x) ̸≡ 0 のとき，αy1 + βy2 (α, β は定数) は (♯) の解となるかどうか調べよ．
5 次の微分方程式を解け．
(1) 2xydx + x2 dy = 0 (2) (2 cos y + 4x2 )dx − x sin ydy = 0 (3) y ′ + 2y = y 2
(4) y ′ = y 2 − 3y + 2 (ヒント: 定数関数で解になるものを探す)
6 次の微分方程式の一般解を求めよ．
(1) y ′′ + 5y ′ + 6y = 0 (2) y ′′ − 2y ′ + 10y = 0
7 次の微分方程式の解を求めよ．
(1) y ′′ − 4y ′ + 4y = 0, y(0) = 0, y ′ (0) = 1
(2) y ′′ + 2y ′ − 3y = 0, y(0) = 1, lim y(x) = 0
x→∞
微分方程式 y ′′
8
+ 4y = 5 sin 3x − 10 cos 3x の一般解を求めよ．(ヒント: sin 3x, cos 3x の線形結
合で表せる解を探す)
9 開区間 (a, b) 上の関数 y1 (x), y2 (x) が線形従属（1 次従属）とは，同時に 0 にならない定数 c1 , c2
が存在して c1 y1 (x) + c2 y2 (x) = 0 (x ∈ (a, b)) が成り立つときをいう．線形従属でないとき，線形
独立（1 次独立）という．ex , e2x は線形従属か線形独立か調べよ．
10 次の微分方程式を解け．
√
(1) y ′′ − 4y ′ + 4y = e2x /x (2) y ′′ + 2y ′ − 3y = 6x (3) y ′′ + 2y = cos 2x
1
11 微分方程式
y ′′ +
1
y = 0 (x > 0)
4x2
(♮)
を考える．以下の問いに答えよ．
√
(1) y1 = x は (♮) の解であることを示せ．
(2) (♮) の解 y が関数 u を用いて y = uy1 と表せるとき，u の満たす微分方程式を求めよ．
(3) (♮) の一般解を求めよ．
12 微分演算子 P (D) = a1 D + a0 , Q(D) = b1 D + b0 を考える．P (D)Q(D) = Q(D)P (D) が成
り立つことを微分演算子の積の定義を使って示せ．
13 α は定数とする．以下の問いに答えよ．
(1) C 3 級の関数 y に対して，D3 (e−αx y) = e−αx (D − α)3 y が成り立つことを示せ．
(2) 連続関数 f に対して，(D − α)−3 f を求めよ．
14 y1 , y2 を 2 階微分方程式 y ′′ + a(x)y ′ + b(x)y = 0 の開区間 I 上の解とする．ただし a(x), b(x)
は連続とする．ある点 x0 ∈ I で y1 と y2 が同時に極値をとるならば y1 と y2 のロンスキー行列式
W [y1 , y2 ] は I 上で恒等的に 0 になることを示せ．
15 次の斉次方程式の一般解を求めよ．
(1) y ′′′ − 2y ′′ − y ′ + 2y = 0 (2) y ′′′ + 3y ′′ − 4y = 0 (3) y ′′′′ + 14y ′′ + 49y = 0
16
(1)
(2)
(3)
(4)
次のように与えられた条件を満たす斉次方程式の解を求めよ．
y ′′′′ = 0, y(0) = 1, y ′ (0) = 16, y ′′ (0) = −4, y ′′′ (0) = 24
y ′′′ + 6y ′′ + 11y ′ + 6y = 0, y(0) = 0, y ′ (0) = 1, y ′′ (0) = −1
y ′′′ − y ′′ − y ′ + y = 0, y(0) = 2, y ′ (0) = 1, y ′′ (0) = 0
y ′′′′ − 10y ′′ + 9y = 0, y(0) = 0, y ′ (0) = 0, y ′′ (0) = 32, y ′′′ (0) = 0
17 非斉次微分方程式
y ′′′ + 3y ′′ + 3y ′ + y = 30e−x
(♭)
を考える．
(1) y1 を (♭) の解の１つとし，y2 を (♭) の斉次形方程式の一般解とする．y = y1 + y2 は (♭) の一般
解であることを示せ．
(2) C を定数とするとき，Cxe−x , Cx3 e−x は (♭) の解になるかどうか調べよ．
(3) (♭) の一般解を求めよ．
2

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