数学 A 第1回レポート 課題:下記の問題を解いてレポートにまとめて提出 締め切り日時:7 月 28 日(木)17:00 まで(厳守) 提出先:J 棟 6F・数理教室事務室外のレポート回収ボックスに提出。7 月 19 日、7 月 26 日の講義 終了時に直接提出も可能 1 次の微分方程式を解け. xy 3x + y − 2 (1) y ′ = (2) x(x − 1)y ′ + y = 0 (3) xy ′ = x + y (4) y ′ = (5) y ′ + 2y = e−2x 2 x − 3y − 4 2 次の微分方程式の初期値問題を解け. √ (1) xy ′ + y = 0, y(2) = −2 (2) y ′ = x 1 − y 2 , y(0) = 0 3 微分方程式 y ′ = (x + y + 2)2 (∗) を考える.以下の問いに答えよ. (1) u = x + y + 2 (u は x の関数) とおくとき,u の満たす微分方程式を求めよ. (2) (∗) を解け. 4 1 階線形微分方程式 y ′ + p(x)y = q(x) (♯) を考える.y1 , y2 を (♯) の解とするとき,以下の問いに答えよ. (1) q(x) ≡ 0 のとき,αy1 + βy2 (α, β は定数) は (♯) の解となることを示せ. (2) q(x) ̸≡ 0 のとき,αy1 + βy2 (α, β は定数) は (♯) の解となるかどうか調べよ. 5 次の微分方程式を解け. (1) 2xydx + x2 dy = 0 (2) (2 cos y + 4x2 )dx − x sin ydy = 0 (3) y ′ + 2y = y 2 (4) y ′ = y 2 − 3y + 2 (ヒント: 定数関数で解になるものを探す) 6 次の微分方程式の一般解を求めよ. (1) y ′′ + 5y ′ + 6y = 0 (2) y ′′ − 2y ′ + 10y = 0 7 次の微分方程式の解を求めよ. (1) y ′′ − 4y ′ + 4y = 0, y(0) = 0, y ′ (0) = 1 (2) y ′′ + 2y ′ − 3y = 0, y(0) = 1, lim y(x) = 0 x→∞ 微分方程式 y ′′ 8 + 4y = 5 sin 3x − 10 cos 3x の一般解を求めよ.(ヒント: sin 3x, cos 3x の線形結 合で表せる解を探す) 9 開区間 (a, b) 上の関数 y1 (x), y2 (x) が線形従属(1 次従属)とは,同時に 0 にならない定数 c1 , c2 が存在して c1 y1 (x) + c2 y2 (x) = 0 (x ∈ (a, b)) が成り立つときをいう.線形従属でないとき,線形 独立(1 次独立)という.ex , e2x は線形従属か線形独立か調べよ. 10 次の微分方程式を解け. √ (1) y ′′ − 4y ′ + 4y = e2x /x (2) y ′′ + 2y ′ − 3y = 6x (3) y ′′ + 2y = cos 2x 1 11 微分方程式 y ′′ + 1 y = 0 (x > 0) 4x2 (♮) を考える.以下の問いに答えよ. √ (1) y1 = x は (♮) の解であることを示せ. (2) (♮) の解 y が関数 u を用いて y = uy1 と表せるとき,u の満たす微分方程式を求めよ. (3) (♮) の一般解を求めよ. 12 微分演算子 P (D) = a1 D + a0 , Q(D) = b1 D + b0 を考える.P (D)Q(D) = Q(D)P (D) が成 り立つことを微分演算子の積の定義を使って示せ. 13 α は定数とする.以下の問いに答えよ. (1) C 3 級の関数 y に対して,D3 (e−αx y) = e−αx (D − α)3 y が成り立つことを示せ. (2) 連続関数 f に対して,(D − α)−3 f を求めよ. 14 y1 , y2 を 2 階微分方程式 y ′′ + a(x)y ′ + b(x)y = 0 の開区間 I 上の解とする.ただし a(x), b(x) は連続とする.ある点 x0 ∈ I で y1 と y2 が同時に極値をとるならば y1 と y2 のロンスキー行列式 W [y1 , y2 ] は I 上で恒等的に 0 になることを示せ. 15 次の斉次方程式の一般解を求めよ. (1) y ′′′ − 2y ′′ − y ′ + 2y = 0 (2) y ′′′ + 3y ′′ − 4y = 0 (3) y ′′′′ + 14y ′′ + 49y = 0 16 (1) (2) (3) (4) 次のように与えられた条件を満たす斉次方程式の解を求めよ. y ′′′′ = 0, y(0) = 1, y ′ (0) = 16, y ′′ (0) = −4, y ′′′ (0) = 24 y ′′′ + 6y ′′ + 11y ′ + 6y = 0, y(0) = 0, y ′ (0) = 1, y ′′ (0) = −1 y ′′′ − y ′′ − y ′ + y = 0, y(0) = 2, y ′ (0) = 1, y ′′ (0) = 0 y ′′′′ − 10y ′′ + 9y = 0, y(0) = 0, y ′ (0) = 0, y ′′ (0) = 32, y ′′′ (0) = 0 17 非斉次微分方程式 y ′′′ + 3y ′′ + 3y ′ + y = 30e−x (♭) を考える. (1) y1 を (♭) の解の1つとし,y2 を (♭) の斉次形方程式の一般解とする.y = y1 + y2 は (♭) の一般 解であることを示せ. (2) C を定数とするとき,Cxe−x , Cx3 e−x は (♭) の解になるかどうか調べよ. (3) (♭) の一般解を求めよ. 2
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