図チャレ 第１回 (2001 年 10 月)
長方形内に置かれた三角形の面積は，もとの長方形の面積の
1
を越えないことを示せ。
2
出典：1994 年 名古屋大学
解答
三角形の頂点を A, B, C とする。必要ならば適当に平行移動する
A
ことにより，A と B は長方形の辺上にあるとしてよい。
AC または BC を延長して長方形の辺と交わる点を C とすると
ABC ABC
であるから，はじめから頂点 C が長方形の辺上にある場合で示せば
B
C
C
C
十分である。
どの 2 頂点も長方形の同じ辺上にないとき，ある 2 頂点は長方形の対辺上にある。
B と C が長方形の対辺上にあるとき，
A
B
A
A
C
B
A
C
A から BC に平行な直線をひいて長方形の辺と交わる点を Aとすると
ABC と A BC の面積は等しい
が，A B または A C は長方形の辺上にある。
必要ならば頂点の名前をつけかえて，A B が長方形の辺上にあるとして一般性を失わない。
A B = a とし， A B を含む長方形の辺の長さを x, その隣接辺の長さを y とすると，
1
1
(ABC の面積) = ay xy
2
2
(証明おわり)

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